Prawdopodobieństwo dotknięcia a prawdopodobieństwo ITM

Prawdopodobieństwo dotknięcia (probability of touch) oraz prawdopodobieństwo wygaśnięcia w pieniądzu (probability ITM) to dwie różne miary dotyczące tej samej opcji. Prawdopodobieństwo ITM odnosi się do finału: gdzie znajdzie się instrument bazowy w dniu wygaśnięcia. Prawdopodobieństwo dotknięcia odnosi się do przebiegu: czy instrument bazowy kiedykolwiek osiągnie cenę wykonania w dowolnym momencie przed wygaśnięciem. W przypadku ceny wykonania typu out-of-the-money (OTM), prawdopodobieństwo dotknięcia jest mniej więcej dwukrotnie wyższe niż ITM, a ta różnica jest najczęściej niedocenianą wartością w handlu opcjami z krótką premią.

Prawdopodobieństwo dotknięcia a prawdopodobieństwo ITM w zestawieniu

Rozważmy akcje notowane po 100 USD oraz opcję call z ceną wykonania 105 USD i miesięcznym terminem zapadalności. Prawdopodobieństwo ITM stawia jedno pytanie w jednym momencie: czy w dniu wygaśnięcia kurs akcji zamknie się powyżej 105 USD? Prawdopodobieństwo dotknięcia zadaje to samo pytanie każdemu zarejestrowanemu transakcyjnie kursowi w międzyczasie: czy kurs akcji choć raz wyniesie 105 USD? Ścieżka, która w drugim tygodniu osiąga 106 USD, a następnie wraca do 99 USD, oznacza dotknięcie, ale nie oznacza wygaśnięcia w pieniądzu (ITM).

Z samych definicji wynikają dwie kwestie. Dotknięcie nigdy nie może być mniejsze niż ITM, ponieważ każda ścieżka kończąca się powyżej ceny wykonania musiała ją po drodze przekroczyć. Ponadto dotknięcie jest wartością, która determinuje wszystko, co dzieje się przed wygaśnięciem: alerty, rolowanie, zlecenia stop, czy ryzyko wcześniejszej realizacji (assignment) w przypadku krótkiej pozycji na opcji call. ITM determinuje samo rozliczenie, co jest przedmiotem co się dzieje, jeśli opcja wygasa w pieniądzu.

Dlaczego prawdopodobieństwo dotknięcia jest mniej więcej dwukrotnie wyższe od prawdopodobieństwa ITM?

Krótka odpowiedź brzmi: argument lustrzany, znany w rachunku prawdopodobieństwa jako zasada odbicia. Wyobraźmy sobie instrument bazowy jako błądzenie losowe bez trendu (driftless random walk): porusza się on w górę i w dół przy stałej zmienności, jest monitorowany w sposób ciągły i nie wykazuje wbudowanej tendencji w żadną ze stron.

Weźmy dowolną ścieżkę, która dotyka ceny wykonania przed wygaśnięciem, a następnie wraca, by zakończyć się poniżej niej. Od momentu pierwszego dotknięcia odwróćmy każdy kolejny ruch. Wzrost staje się spadkiem, spadek staje się wzrostem. W symetrycznym modelu bez trendu taka lustrzana ścieżka jest równie prawdopodobna jak oryginał i kończy się tak samo daleko powyżej ceny wykonania, jak oryginał kończył się poniżej. Każda ścieżka typu „dotknij i wróć” tworzy parę jeden do jednego ze ścieżką typu „dotknij i zostań”. Ścieżki kończące się w pieniądzu to połowa typu „dotknij i zostań”, co sprawia, że prawdopodobieństwo dotknięcia jest około dwukrotnie wyższe od ITM.

Wynik ten opiera się na czterech założeniach, z których żadne nie jest w pełni precyzyjne:

• Brak trendu (zero drift). Indeksy giełdowe w długich okresach wykazywały trend wzrostowy, co odchyla wskaźniki dotknięcia i wygaśnięcia od modelu symetrycznego.
• Stała zmienność. Rzeczywista zmienność wykazuje tendencję do grupowania się, a okresy spokoju sąsiadują z okresami gwałtownych ruchów. Sposób szacowania tej wartości opisano w jak obliczana jest zmienność implikowana.
• Ciągłe monitorowanie. Dotknięcie liczy się tylko wtedy, gdy ktoś je obserwuje. Poziom przebity między sesjami nie jest dotknięciem na taśmie notowań w godzinach regularnych.
• Jedna stała cena wykonania. Rolowanie, korekty i wczesna realizacja kontraktów w stylu amerykańskim zmieniają poziom, który jest obserwowany.

Zasada podwojenia to reguła kciuka z dowodem matematycznym: sprawdza się dla cen wykonania bliskich kursowi bieżącemu (near-the-money), a staje się mniej precyzyjna, gdy cena wykonania oddala się od kursu.

Co historia cen mówi o relacji dotknięcia do wygaśnięcia

Zasadę tę można przetestować bez użycia jakiegokolwiek modelu. Poniższy panel analizuje każdą sesję SPY od 2011 roku, wyznacza poziom 1%, 2%, 3% i 5% powyżej zamknięcia danego dnia, a następnie patrzy 21 sesji w przód, czyli mniej więcej na miesiąc kalendarzowy. Rejestruje dwie rzeczy: czy jakiekolwiek maksimum sesyjne w tym miesiącu osiągnęło ten poziom (dotknięcie) oraz czy zamknięcie na koniec miesiąca znalazło się na tym poziomie lub powyżej niego (finał).

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date >= '2011-01-01'
          AND date <  '2026-07-01'
        GROUP BY date
    ),
    fwd AS (
        SELECT
            c AS spot,
            max(h) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN 1 FOLLOWING AND 21 FOLLOWING)      AS fwd_max_high,
            leadInFrame(c, 21) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 21 FOLLOWING) AS close_fwd_21
        FROM bars
    ),
    trials AS (
        SELECT
            arrayJoin([1, 2, 3, 5])     AS pct_away,
            spot * (1 + pct_away / 100) AS level,
            fwd_max_high >= level       AS touched,
            close_fwd_21 >= level       AS finished_above
        FROM fwd
        WHERE close_fwd_21 > 0
    )
SELECT
    concat(toString(pct_away), '% above spot')   AS strike_distance,
    round(100 * avg(touched), 1)                 AS touch_pct,
    round(100 * avg(finished_above), 1)          AS finish_above_pct,
    round(avg(touched) / avg(finished_above), 2) AS touch_to_finish_ratio,
    count()                                      AS windows
FROM trials
GROUP BY pct_away
ORDER BY pct_away

W ciągu 3874 miesięcznych okien, poziom 1% above spot był dotykany w 83.8% przypadków i kończył się powyżej tylko w 56.7% przypadków, co daje stosunek 1.48. Na drugim końcu krzywej, 5% above spot, dotknięcie wystąpiło w 19.6% przypadków przy wskaźniku wygaśnięcia na poziomie 12.3%, co daje stosunek 1.6. Stosunek ten oscyluje wokół dwóch w całym zakresie krzywej, co potwierdza argument lustrzany na podstawie piętnastu lat danych bez użycia żadnego modelu.

Czy delta jest dobrym przybliżeniem prawdopodobieństwa ITM?

Delta to wrażliwość opcji na ruch instrumentu bazowego o 1 USD i służy jednocześnie jako przybliżony szacunek szansy na wygaśnięcie kontraktu w pieniądzu. Opcja call z deltą 25 zyskuje około 0,25 USD na każdy 1 USD ruchu akcji i niesie ze sobą około 25% szans na wygaśnięcie powyżej ceny wykonania. Szacunek ten nie jest dokładny: delta jest obliczana przy tych samych założeniach braku trendu i stałej zmienności, a rzeczywiste prawdopodobieństwo ITM dla opcji call jest nieco niższe od delty. Nasz przewodnik delta opcji szczegółowo omawia te mechanizmy.

Przyjmując deltę jako szacunek ITM, zasada podwojenia daje nam szacunek dotknięcia za darmo. Poniższy panel grupuje sześć miesięcy kontraktów na SPY z terminem zapadalności od 20 do 45 dni według wielkości delty i zestawia obie wartości obok siebie.

WITH graded AS (
    SELECT
        toUInt16(round(100 * abs(delta) / 5) * 5) AS delta_bucket,
        abs(delta)                                AS abs_delta
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-01-01'
      AND date <  '2026-07-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(delta) BETWEEN 0.05 AND 0.45
)
SELECT
    concat(toString(delta_bucket), ' delta') AS short_strike,
    round(100 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_itm_pct,
    round(200 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_touch_pct,
    count()                                  AS contract_days
FROM graded
GROUP BY delta_bucket
ORDER BY delta_bucket

W koszyku 25 delta średnia wielkość delty dla 5211 dni kontraktowych wyniosła 25%, a zasada podwojenia wskazuje, że szansa na to, iż instrument bazowy odwiedzi tę cenę wykonania w dowolnym momencie życia kontraktu, wynosi 49.9%. Cena wykonania, która kończy się w pieniądzu tylko raz na cztery przypadki, ma niemal 50% szans na dotknięcie.

Dlaczego zlecenie stop przy krótkiej cenie wykonania zamienia zyski w straty

W tym miejscu różnica przestaje być akademicka. Trader, który sprzedaje opcję call z deltą 25 i ustawia zlecenie stop na poziomie ceny wykonania, stworzył jedną pozycję z dwoma różnymi testami wyjścia. Wynik opcji jest rozliczany według finału, co jest zdarzeniem występującym mniej więcej raz na cztery przypadki. Zlecenie stop jest rozliczane według dotknięcia, co jest zdarzeniem występującym mniej więcej raz na dwa przypadki.

Przy takich liczbach zlecenie stop aktywuje się w około połowie przypadków, a większość zamykanych przez nie transakcji to te, które dotknęły ceny wykonania i wróciły. Są to dokładnie te transakcje, które wygasłyby bezwartościowe, pozwalając zachować pełną premię. Zlecenie stop zamienia znaczną część zyskownych transakcji w zrealizowane straty i niewiele pomaga w kontrolowaniu ryzyka ogona (tail risk), ponieważ luka cenowa przebijająca cenę wykonania i tak wypełni się poniżej ceny stop. Dostosowanie wielkości pozycji do wskaźnika dotknięcia, a nie do delty, pozwala wycenić wyjście, z którym trader faktycznie się spotka. Dostosowanie do oczekiwanego ruchu wynikającego ze zmienności implikowanej to ta sama idea, ale podejście od strony zmienności.

Ścieżka, która dotknęła i wróciła

Lipiec 2024 roku daje czysty przykład, utrwalony w przeszłości, więc liczby pozostają niezmienne. Panel zakotwiczony jest na pierwszej sesji lipca, wyznacza poziom 2% powyżej tego zamknięcia i śledzi SPY przez pierwszy tydzień sierpnia. Seria spy_high to ta, która dotyka; seria spy_close to ta, która rozlicza finał.

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2024-07-01' AND '2024-08-08'
        GROUP BY date
    ),
    anchor AS (
        SELECT argMin(c, date) * 1.02 AS lvl
        FROM bars
    )
SELECT
    toString(b.date)                  AS session_date,
    round(b.c, 2)                     AS spy_close,
    round(b.h, 2)                     AS spy_high,
    round(a.lvl, 2)                   AS strike_level,
    round(100 * (b.c / a.lvl - 1), 2) AS close_vs_level_pct,
    round(100 * (max(b.h) OVER (ORDER BY b.date ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) / a.lvl - 1), 2) AS run_max_vs_level_pct
FROM bars AS b
CROSS JOIN anchor AS a
ORDER BY b.date

SPY otworzył okno na poziomie $545.34, co ustawiło poziom na $556.25. Maksimum w trakcie trwania okresu wyniosło 1.6% powyżej tego poziomu, więc poziom został osiągnięty w trakcie okna. Ostateczne zamknięcie wyniosło -4.6% w odniesieniu do tego samego poziomu. Krótka opcja call z tą ceną wykonania zostałaby dotknięta w trakcie trwania i nadal byłaby poza pieniądzem na koniec. Zlecenie stop przy cenie wykonania zamknęłoby pozycję gdzieś pomiędzy tymi dwoma punktami.

Gdzie zasada podwojenia przestaje działać

Najważniejsze są dwa przypadki. Ceny wykonania znacznie oddalone od kursu (far OTM) wypychają stosunek powyżej dwóch, gdy prawdopodobieństwo ITM zbliża się do zera, a wtedy obie liczby są na tyle małe, że różnica rzadko zmienia decyzję. Silny trend instrumentu bazowego narusza symetrię, na której opiera się argument lustrzany, ponieważ trend sprawia, że ścieżka wzrostowa i spadkowa nie są równe. Poza tym, przy krótkich horyzontach czasowych znaczenie ma częstotliwość monitorowania: cena, która przeskakuje przez cenę wykonania w trakcie sesji nocnej, nigdy nie jest tam notowana, więc dotknięcie mierzone na taśmie i dotknięcie mierzone w modelu ciągłym mogą się różnić w tym samym dniu.

FAQ

Czym jest prawdopodobieństwo dotknięcia w handlu opcjami?

Prawdopodobieństwo dotknięcia to szansa, że instrument bazowy będzie notowany po danej cenie wykonania w dowolnym momencie przed wygaśnięciem opcji, a nie tylko w dniu wygaśnięcia. Jest to istotna wartość dla wszystkiego, co może zostać uruchomione w trakcie życia opcji, w tym zleceń stop, alertów, rolowania i ryzyka wczesnej realizacji.

Czy prawdopodobieństwo dotknięcia jest zawsze dwukrotnie wyższe od prawdopodobieństwa ITM?

Nie. Podwojenie to przybliżenie, które sprawdza się przy zerowym trendzie, stałej zmienności i ciągłym monitorowaniu cen. Jest bliskie prawdy dla cen wykonania bliskich kursowi bieżącemu i rozszerza się, gdy cena wykonania oddala się lub gdy instrument bazowy wykazuje trend.

Czy delta wskazuje prawdopodobieństwo dotknięcia?

Delta przybliża prawdopodobieństwo ITM, a nie dotknięcia. Podwojenie delty daje roboczy szacunek dotknięcia, dlatego cena wykonania z deltą 25 jest często opisywana jako mająca około 50% szans na dotknięcie w dowolnym momencie przed wygaśnięciem.

Dlaczego zlecenia stop-loss przy krótkiej cenie wykonania szkodzą krótkim pozycjom opcyjnym?

Zlecenie stop przy cenie wykonania jest rozliczane przez dotknięcie, podczas gdy wynik opcji jest rozliczany przez finał. Ponieważ dotknięcie występuje mniej więcej dwa razy częściej, zlecenie stop zamyka wiele pozycji, które wygasłyby bezwartościowe, zamieniając część zyskownych transakcji w zrealizowane straty.

Każdy panel tutaj zawiera dokładne zapytanie SQL, które go wygenerowało, więc liczby dotknięć i finałów można prześledzić wiersz po wierszu. Aby przeprowadzić ten sam test dotknięcia w stosunku do finału dla innego tickera lub innego horyzontu, zadaj pytanie prostym językiem w terminalu Strasmore.