機率觸及與到期價內機率有何不同

機率觸及與到期價內機率衡量的是同一檔選擇權的兩件不同事情。到期價內機率關注的是結果：標的資產在到期日的結算位置。機率觸及關注的是過程：到期前的任何時點，標的資產是否曾經交易至履約價。對價外履約價而言，機率觸及約為到期價內機率的兩倍；這項差距是賣出權利金交易中最常被低估的數字。

機率觸及與到期價內機率並列比較

假設某股票交易價格為 $100，履約價為 $105 的買權距離到期還有一個月。到期價內機率只在一個時間點提出一個問題：到期日當天，股票收盤價是否高於 $105？機率觸及則會檢視期間的每一筆成交：股票是否曾經至少一次交易至 $105？如果股價在第2週升至 $106，最後回落至 $99，這條路徑算是曾觸及，但到期時並未價內。

光是根據定義，就能得到兩項結論。機率觸及不可能低於到期價內機率，因為所有最後收在履約價之上的路徑，都必須曾在途中穿越該履約價。機率觸及也決定到期前會發生的各種事情，包括警示、展期、停損單，以及賣出買權的被指派疑慮。到期價內機率則決定結算結果；相關內容請參閱選擇權到期時若處於價內會發生什麼事。

為什麼機率觸及約為到期價內機率的兩倍？

簡短答案是鏡射論證。在機率論中，這稱為反射原理。可以把標的資產想成沒有漂移的隨機漫步：價格在固定波動率下持續上下移動，沒有內建的方向傾向。

取一條在到期前觸及履約價、之後回落並在履約價下方收盤的路徑。從首次觸及的時點開始，將之後的每一段價格變動反轉。上漲變成下跌，下跌變成上漲。在對稱且無漂移的模型下，這條鏡射路徑與原始路徑的發生機率完全相同；而且其收盤位置高於履約價的幅度，等於原始路徑收盤低於履約價的幅度。每一條「觸及後回落」的路徑，都能與一條「觸及後維持在上方」的路徑一一配對。最後價內的路徑正是後者，因此機率觸及約為到期價內機率的兩倍。

這項結果建立在四項假設上，而現實中沒有一項能完全成立：

• 零漂移。股票指數在長期樣本中通常呈現上行漂移，使上行觸及率與上行到期價內率偏離對稱情況。
• 固定波動率。實際波動率會聚集，平靜期間往往與劇烈波動期間相鄰。波動率的估計方式請參閱隱含波動率如何計算。
• 連續監控。只有在有人持續監看時，觸及才算數。若價格在交易時段之間穿越某個價位，該價位並不算在正常交易時段的成交紀錄上被觸及。
• 單一固定履約價。展期、調整，以及美式契約的提前指派，都會改變被監看的價位。

兩倍規則是有理論證明支持的經驗法則：對接近平價的履約價較準確；履約價越偏離現價，誤差越大。

價格歷史對觸及與到期結果的顯示

完全不使用模型，也能檢驗這項規則。下方圖表逐一檢視 SPY 自 2011 年以來的每個交易日，在當日收盤價上方 1%、2%、3% 與 5% 設定一個價位，再向前觀察 21 個交易日，約為一個月。圖表記錄兩件事：該月內是否有任何交易日的最高價觸及該價位（觸及），以及月底收盤價是否達到或高於該價位（到期結果）。

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date >= '2011-01-01'
          AND date <  '2026-07-01'
        GROUP BY date
    ),
    fwd AS (
        SELECT
            c AS spot,
            max(h) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN 1 FOLLOWING AND 21 FOLLOWING)      AS fwd_max_high,
            leadInFrame(c, 21) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 21 FOLLOWING) AS close_fwd_21
        FROM bars
    ),
    trials AS (
        SELECT
            arrayJoin([1, 2, 3, 5])     AS pct_away,
            spot * (1 + pct_away / 100) AS level,
            fwd_max_high >= level       AS touched,
            close_fwd_21 >= level       AS finished_above
        FROM fwd
        WHERE close_fwd_21 > 0
    )
SELECT
    concat(toString(pct_away), '% above spot')   AS strike_distance,
    round(100 * avg(touched), 1)                 AS touch_pct,
    round(100 * avg(finished_above), 1)          AS finish_above_pct,
    round(avg(touched) / avg(finished_above), 2) AS touch_to_finish_ratio,
    count()                                      AS windows
FROM trials
GROUP BY pct_away
ORDER BY pct_away

在 3874 個月度觀察區間中，位於 1% above spot 的價位有 83.8% 的機率被觸及，最後收於其上方的機率則僅為 56.7%，兩者比率為 1.48。在曲線最右端，5% above spot 的價位有 19.6% 的機率被觸及，而最後收於其上方的機率為 12.3%，兩者比率為 1.6。整條曲線的比率都接近兩倍。這正是鏡射論證所推導出的結果，而這裡使用的是十五年的實際成交資料，完全沒有套用模型。

Delta 是到期價內機率的良好替代指標嗎？

Delta 是選擇權價格對標的資產每 $1 變動的敏感度，也常被用作契約到期時價內機率的粗略估計。一檔 25-delta 買權代表股票每上漲 $1，選擇權價格約上升 $0.25；同時，該買權到期時高於履約價的機率約為 25%。這項估計並不精確：Delta 是在相同的無漂移、固定波動率假設下計算，而買權的實際到期價內機率通常略低於 delta。我們的選擇權 delta說明介紹了其中的計算機制。

可以將 delta 視為到期價內機率的估計值，再用兩倍規則免費推算機率觸及。下方圖表將六個月內、距離到期 20 至 45 天的 SPY 契約交易日，依 delta 大小分組，並將兩項數字並列比較。

WITH graded AS (
    SELECT
        toUInt16(round(100 * abs(delta) / 5) * 5) AS delta_bucket,
        abs(delta)                                AS abs_delta
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-01-01'
      AND date <  '2026-07-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(delta) BETWEEN 0.05 AND 0.45
)
SELECT
    concat(toString(delta_bucket), ' delta') AS short_strike,
    round(100 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_itm_pct,
    round(200 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_touch_pct,
    count()                                  AS contract_days
FROM graded
GROUP BY delta_bucket
ORDER BY delta_bucket

在 25 delta 分組中，5211 個契約交易日的 delta 平均值為 25%。依兩倍規則，標的資產在契約存續期間某個時點觸及該履約價的機率為 49.9%。某履約價到期時約僅有四分之一的機率處於價內，但被觸及的機率已接近五成。

為什麼在賣出履約價設停損會把獲利交易變成虧損交易

這項差異在此不再只是學術問題。交易員賣出一檔 25-delta 買權，並在履約價設定停損單，等於為同一個部位建立了兩種不同的出場條件。選擇權的損益由到期結果決定，發生機率約為四分之一。停損則由觸及決定，發生機率約為二分之一。

依據這些數字，停損約有一半機率被觸發，而且被平倉的交易中，多數屬於曾觸及後又回落的交易。這些交易原本正是會在到期時歸零、並讓賣方保留全部權利金的交易。停損會將大部分獲利交易轉為已實現虧損，卻無法有效處理原本要控制的尾端風險，因為價格跳空穿越履約價時，成交價仍會低於停損價。依機率觸及而非 delta 來決定部位規模，才能反映交易員實際可能遇到的出場情況。依隱含波動率推算的預期波動幅度來決定部位規模，則是從波動率角度處理同一項問題。

一條曾觸及後回落的路徑

2024年7月提供了一個清楚的固定案例。由於時間已經確定，數字不會變動。圖表以7月的第一個交易日為基準，在該日收盤價上方 2% 設定一個價位，並追蹤 SPY 至8月第一週。spy_high序列代表觸及過程；spy_close序列代表最後的結算結果。

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2024-07-01' AND '2024-08-08'
        GROUP BY date
    ),
    anchor AS (
        SELECT argMin(c, date) * 1.02 AS lvl
        FROM bars
    )
SELECT
    toString(b.date)                  AS session_date,
    round(b.c, 2)                     AS spy_close,
    round(b.h, 2)                     AS spy_high,
    round(a.lvl, 2)                   AS strike_level,
    round(100 * (b.c / a.lvl - 1), 2) AS close_vs_level_pct,
    round(100 * (max(b.h) OVER (ORDER BY b.date ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) / a.lvl - 1), 2) AS run_max_vs_level_pct
FROM bars AS b
CROSS JOIN anchor AS a
ORDER BY b.date

SPY 在觀察區間開盤時為 $545.34，因此該價位為 $556.25。這段期間的最高價最終高於該價位 1.6%，表示價格曾在期間內觸及該價位。最後收盤價則相對於同一價位為 -4.6%。若在該價位賣出買權，部位會在期間中途被觸及，但到期時仍處於價外。在履約價設定停損，則會在兩者之間的某個價位平倉。

兩倍規則失效的情況

有兩種情況最為重要。極度價外的履約價會使兩者比率高於兩倍，因為當到期價內機率接近零時，兩個數字都已經很小，差異通常不會改變交易決策。強烈趨勢中的標的資產則會破壞鏡射論證所依據的對稱性，因為漂移從一開始就使上行路徑與下行路徑的機率不同。除此之外，在短期觀察區間中，監控頻率也很重要：價格若隔夜跳空穿越履約價，就不會實際在該價位成交。因此，同一天以成交紀錄衡量的觸及，可能與連續模型衡量的觸及不同。

常見問答

選擇權交易中的機率觸及是什麼？

機率觸及是指，在選擇權到期前的任何時點，標的資產交易至某一履約價的機率，而不只是在到期日判斷。凡是可能在契約存續期間觸發的事項，都應參考這項數字，包括停損單、警示、展期與提前指派風險。

機率觸及是否總是到期價內機率的兩倍？

不是。兩倍只是近似值，成立的前提是零漂移、固定波動率與連續價格監控。對接近平價的履約價而言通常較接近；履約價越偏離現價，或標的資產趨勢越強，差距就越大。

Delta 能否告訴你機率觸及？

Delta 估計的是到期價內機率，不是機率觸及。將 delta 加倍可以得到實用的觸及機率估計，因此 25-delta 履約價常被描述為在到期前某個時點被觸及的機率約為 50%。

為什麼在賣出履約價設定停損單會傷害賣出選擇權部位？

履約價的停損由觸及決定，而選擇權損益由到期結果決定。由於觸及的發生頻率約為兩倍，停損會平掉許多原本會在到期時歸零的部位，將部分原本獲利的交易轉為已實現虧損。

本頁每個圖表都附有產生該圖表的完整 SQL，因此觸及與到期結果的筆數都能逐列追溯。若要在其他 ticker 或不同觀察期間執行相同的觸及與到期結果測試，請以自然語言在 Strasmore terminal 中提出問題。