הסתברות למגע לעומת הסתברות להיות בכסף באופציות

ההסתברות למגע (Probability of touch) וההסתברות להיות בכסף (Probability ITM) מודדות שני דברים שונים לגבי אותה אופציה. ההסתברות להיות בכסף מתייחסת לסיום: היכן ייסגר נכס הבסיס ביום הפקיעה. ההסתברות למגע מתייחסת למסע: האם נכס הבסיס נסחר אי פעם במחיר המימוש בכל נקודת זמן לפני הפקיעה. עבור מחיר מימוש מחוץ לכסף (OTM), ההסתברות למגע גבוהה בערך פי שניים מההסתברות להיות בכסף, ופער זה הוא הנתון שזוכה להכי פחות הערכה במסחר בפרמיות קצרות.

הסתברות למגע לעומת הסתברות להיות בכסף, זו לצד זו

קחו מניה הנסחרת ב-$100 ואופציית Call במחיר מימוש של $105 עם חודש לפקיעה. ההסתברות להיות בכסף שואלת שאלה אחת ברגע אחד: ביום הפקיעה, האם המניה נסגרת מעל $105? ההסתברות למגע שואלת את אותה שאלה לגבי כל עסקה (print) בדרך: האם המניה נסחרת ב-$105 ולו פעם אחת? מסלול שמגיע ל-$106 בשבוע השני וחוזר להיסגר ב-$99 הוא מסלול של מגע, אך לא של סיום בכסף.

שני דברים נובעים מהגדרות אלו בלבד. המגע לעולם לא יכול להיות קטן מההסתברות להיות בכסף, שכן כל מסלול שמסתיים מעל מחיר המימוש היה חייב לחצות אותו בדרך. והמגע הוא הנתון שקובע את כל מה שקורה לפני הפקיעה: התראה, גלגול (roll), פקודת קטיעת הפסד (stop order), או חשש מהקצאה (assignment) באופציית Call כתובה. ההסתברות להיות בכסף קובעת את ההתחשבנות עצמה, שהיא הנושא של מה קורה אם אופציה פוקעת בתוך הכסף.

מדוע ההסתברות למגע היא בערך כפולה מההסתברות להיות בכסף?

התשובה הקצרה היא טיעון המראה, הידוע בהסתברות כעקרון ההשתקפות. דמיינו את נכס הבסיס כהילוך אקראי ללא מגמה (driftless): הוא נע מעלה ומטה בתנודתיות קבועה, תחת מעקב רציף, ללא נטייה מובנית לאף כיוון.

קחו כל מסלול שנוגע במחיר המימוש לפני הפקיעה ואז חוזר להיסגר מתחתיו. מרגע המגע הראשון, הפכו כל תנועה מאוחרת יותר. עלייה הופכת לירידה, ירידה הופכת לעלייה. במודל סימטרי ללא מגמה, מסלול משוקף זה סביר בדיוק כמו המקורי, והוא מסתיים רחוק מעל מחיר המימוש כפי שהמקורי הסתיים מתחתיו. כל מסלול של "מגע וחזרה" מזווג אחד לאחד עם מסלול של "מגע והישארות". המסלולים שמסתיימים בתוך הכסף הם מחצית ה"מגע והישארות", מה שמעמיד את המגע על בערך פי שניים מההסתברות להיות בכסף.

ארבע הנחות עומדות בבסיס תוצאה זו, ואף אחת מהן אינה מתקיימת במדויק:

• אפס מגמה (Zero drift). למדדי מניות יש מגמה עלייתית לאורך דגימות ארוכות, מה שמושך את שיעורי המגע והסיום כלפי מעלה הרחק מהמקרה הסימטרי.
• תנודתיות קבועה. תנודתיות אמיתית נוטה להתקבץ, וקטעי רגיעה יושבים לצד קטעי תנודתיות אלימה. האופן שבו הנתון נאמד מלכתחילה מכוסה ב-איך מחושבת תנודתיות גלומה.
• מעקב רציף. מגע נספר רק אם מישהו צופה בו. מחיר שנפרץ בין ימי מסחר אינו נחשב למגע בטייפ של שעות המסחר הרגילות.
• מחיר מימוש קבוע אחד. גלגולים, התאמות והקצאה מוקדמת בחוזים בסגנון אמריקאי משנים כולם את הרמה הנצפית.

כלל הכפולה הוא כלל אצבע עם הוכחה מאחוריו: הוא מדויק עבור מחירי מימוש קרובים לכסף, ורופף יותר ככל שמחיר המימוש מתרחק.

מה אומרת היסטוריית המחירים על מגע לעומת סיום

הכלל ניתן לבדיקה ללא כל מודל. הלוח להלן סורק כל יום מסחר של SPY מאז 2011, משרטט רמה של 1%, 2%, 3% ו-5% מעל מחיר הסגירה של אותו יום, ואז מסתכל 21 ימי מסחר קדימה, בערך חודש קלנדרי. הוא מתעד שני דברים: האם שיא יומי כלשהו באותו חודש הגיע לרמה (מגע), והאם הסגירה בסוף החודש נחתה ברמה או מעליה (סיום).

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date >= '2011-01-01'
          AND date <  '2026-07-01'
        GROUP BY date
    ),
    fwd AS (
        SELECT
            c AS spot,
            max(h) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN 1 FOLLOWING AND 21 FOLLOWING)      AS fwd_max_high,
            leadInFrame(c, 21) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 21 FOLLOWING) AS close_fwd_21
        FROM bars
    ),
    trials AS (
        SELECT
            arrayJoin([1, 2, 3, 5])     AS pct_away,
            spot * (1 + pct_away / 100) AS level,
            fwd_max_high >= level       AS touched,
            close_fwd_21 >= level       AS finished_above
        FROM fwd
        WHERE close_fwd_21 > 0
    )
SELECT
    concat(toString(pct_away), '% above spot')   AS strike_distance,
    round(100 * avg(touched), 1)                 AS touch_pct,
    round(100 * avg(finished_above), 1)          AS finish_above_pct,
    round(avg(touched) / avg(finished_above), 2) AS touch_to_finish_ratio,
    count()                                      AS windows
FROM trials
GROUP BY pct_away
ORDER BY pct_away

במהלך 3874 חלונות חודשיים, רמה של 1% above spot נגעה ב-83.8% מהזמן וסיימה מעל רק ב-56.7% מהזמן, יחס של 1.48. בקצה הרחוק של העקומה, 5% above spot, המגע עמד על 19.6% מול שיעור סיום של 12.3%, יחס של 1.6. היחס נשאר קרוב לשתיים לאורך כל העקומה, שזה המקום שבו טיעון המראה מציב אותו, על פני חמש-עשרה שנים של נתונים וללא כל מודל.

האם דלתא היא מדד טוב להסתברות להיות בכסף?

דלתא היא הרגישות של האופציה לשינוי של $1 בנכס הבסיס, והיא משמשת גם כאומדן גס לסיכוי שהחוזה יסתיים בתוך הכסף. אופציית Call עם דלתא 25 עולה בערך ב-$0.25 על כל עלייה של $1 במניה, ויש לה סיכוי של בערך 25% לפקוע מעל מחיר המימוש שלה. האומדן אינו מדויק: דלתא מחושבת תחת אותן הנחות של העדר מגמה ותנודתיות קבועה, וההסתברות האמיתית להיות בכסף נמוכה מעט מהדלתא עבור אופציות Call. ההסבר שלנו על דלתא של אופציה עובר על המכניקה הזו.

קחו את הדלתא כאומדן להסתברות להיות בכסף, וכלל הכפולה נותן לכם אומדן למגע בחינם. הלוח להלן מחלק שישה חודשים של ימי חוזה ב-SPY עם 20 עד 45 ימים לפקיעה לפי גודל הדלתא, ומציב את שני הנתונים זה לצד זה.

WITH graded AS (
    SELECT
        toUInt16(round(100 * abs(delta) / 5) * 5) AS delta_bucket,
        abs(delta)                                AS abs_delta
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-01-01'
      AND date <  '2026-07-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(delta) BETWEEN 0.05 AND 0.45
)
SELECT
    concat(toString(delta_bucket), ' delta') AS short_strike,
    round(100 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_itm_pct,
    round(200 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_touch_pct,
    count()                                  AS contract_days
FROM graded
GROUP BY delta_bucket
ORDER BY delta_bucket

בקטגוריית 25 delta, הגודל הממוצע של הדלתא על פני 5211 ימי חוזה היה 25%, וכלל הכפולה מציב את הסיכוי שנכס הבסיס יבקר באותו מחיר מימוש בנקודה כלשהי במהלך חיי החוזה על 49.9%. מחיר מימוש שמסיים בתוך הכסף רק פעם אחת מתוך ארבע, הוא קרוב להטלת מטבע מבחינת הסיכוי למגע.

מדוע פקודת קטיעת הפסד במחיר המימוש הכתוב הופכת מנצחים למפסידים

כאן ההבחנה מפסיקה להיות אקדמית. סוחר שמוכר אופציית Call עם דלתא 25 ומציב פקודת קטיעת הפסד (stop order) במחיר המימוש, בנה פוזיציה אחת עם שני מבחני יציאה שונים. התשלום של האופציה נקבע לפי הסיום, אירוע של בערך אחד לארבע. הסטופ נקבע לפי המגע, אירוע של בערך אחד לשתיים.

לפי מספרים אלו, הסטופ מופעל בערך בחצי מהמקרים, ורוב העסקאות שהוא סוגר הן אלו שנגעו וחזרו. אלו בדיוק העסקאות שהיו פוקעות חסרות ערך ומותירות את מלוא הפרמיה. הסטופ הופך חלק גדול מהמנצחים להפסדים ממומשים, והוא עושה מעט מאוד לגבי זנב הסיכון שהוא נועד לשלוט בו, שכן פריצה חדה דרך מחיר המימוש ממילא תתבצע מתחת למחיר הסטופ. תמחור פוזיציה לפי שיעור המגע ולא לפי הדלתא מתמחר את היציאה שהסוחר יפגוש בפועל. תמחור לפי התנועה הצפויה מתנודתיות גלומה הוא אותו רעיון שניגשים אליו מצד התנודתיות.

מסלול שנגע וחזר

יולי 2024 מספק דוגמה נקייה וברורה, מקובעת בעבר כך שהמספרים לעולם לא ישתנו. הלוח מעגן את יום המסחר הראשון של יולי, משרטט רמה של 2% מעל אותה סגירה, ועוקב אחר SPY עד השבוע הראשון של אוגוסט. סדרת ה-spy_high היא זו שמבצעת את המגע; סדרת ה-spy_close היא זו שקובעת את הסיום.

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2024-07-01' AND '2024-08-08'
        GROUP BY date
    ),
    anchor AS (
        SELECT argMin(c, date) * 1.02 AS lvl
        FROM bars
    )
SELECT
    toString(b.date)                  AS session_date,
    round(b.c, 2)                     AS spy_close,
    round(b.h, 2)                     AS spy_high,
    round(a.lvl, 2)                   AS strike_level,
    round(100 * (b.c / a.lvl - 1), 2) AS close_vs_level_pct,
    round(100 * (max(b.h) OVER (ORDER BY b.date ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) / a.lvl - 1), 2) AS run_max_vs_level_pct
FROM bars AS b
CROSS JOIN anchor AS a
ORDER BY b.date

SPY פתח את החלון ב-$545.34, מה שהציב את הרמה על $556.25. השיא במהלך התקופה הסתיים ב-1.6% מעל אותה רמה, כך שהרמה הושגה במהלך החלון. הסגירה הסופית נרשמה ב--4.6% מול אותה רמה. אופציית Call כתובה במחיר זה הייתה ננגעת באמצע הדרך ועדיין הייתה נשארת מחוץ לכסף בסוף. סטופ במחיר המימוש היה סוגר את הפוזיציה איפשהו בין השניים.

היכן כלל הכפולה נכשל

שני מקרים הם החשובים ביותר. מחירי מימוש רחוקים מאוד מחוץ לכסף דוחפים את היחס מעל שתיים ככל שההסתברות להיות בכסף מתקרבת לאפס, ובשלב זה שני המספרים קטנים מספיק כך שההבדל לעיתים רחוקות משנה החלטה. נכס בסיס עם מגמה חזקה שובר את הסימטריה שעליה נשען טיעון המראה, שכן המגמה הופכת את מסלול העלייה ומסלול הירידה ללא שווים מלכתחילה. מעבר לכך, לרזולוציית המעקב יש חשיבות בטווחים קצרים: מחיר שפורץ מחיר מימוש במהלך הלילה לעולם לא נסחר שם, כך שמגע שנמדד בטייפ ומגע שנמדד במודל רציף יכולים להיפרד באותו יום.

שאלות נפוצות

מהי הסתברות למגע במסחר באופציות?

הסתברות למגע היא הסיכוי שנכס הבסיס ייסחר במחיר מימוש נתון בנקודה כלשהי לפני פקיעת האופציה, ולא רק במועד הפקיעה. זהו הנתון הרלוונטי לכל דבר שיכול להיות מופעל באמצע חיי האופציה, כולל פקודות קטיעת הפסד, התראות, גלגולים וסיכון להקצאה מוקדמת.

האם ההסתברות למגע היא תמיד כפולה מההסתברות להיות בכסף?

לא. הכפלה היא קירוב שמתקיים תחת אפס מגמה, תנודתיות קבועה ומעקב מחירים רציף. הוא קרוב עבור מחירי מימוש קרובים לכסף ומתרחב ככל שמחיר המימוש מתרחק או ככל שנכס הבסיס מפתח מגמה.

האם דלתא אומרת לך את ההסתברות למגע?

דלתא מקרבת את ההסתברות להיות בכסף, לא את המגע. הכפלת הדלתא נותנת אומדן עבודה למגע, וזו הסיבה שמחיר מימוש עם דלתא 25 מתואר לעיתים קרובות כבעל סיכוי של כ-50% למגע בנקודה כלשהי לפני הפקיעה.

מדוע פקודות קטיעת הפסד במחיר המימוש הכתוב פוגעות בפוזיציות אופציות כתובות?

סטופ במחיר המימוש נקבע לפי המגע, בעוד שהתשלום של האופציה נקבע לפי הסיום. מכיוון שהמגע תדיר בערך פי שניים, הסטופ סוגר פוזיציות רבות שהיו פוקעות חסרות ערך, והופך חלק מהעסקאות הרווחיות להפסדים ממומשים.

כל לוח כאן נושא את ה-SQL המדויק שיצר אותו, כך שניתן לעקוב אחר ספירות המגע והסיום שורה אחר שורה. כדי להריץ את אותה בדיקת מגע-מול-סיום על טיקר אחר או טווח זמן אחר, שאלו את השאלה באנגלית פשוטה בטרמינל של Strasmore.