By Matt Connor · · Updated 2026-08-08確率タッチとITM確率の違いと関係
確率タッチが満期時のITM確率のおよそ二倍になる理由を、反射原理によるランダムウォークの説明とSPYの実データで検証します。
確率タッチとITM確率は、同じオプションについて異なる事象を測る。ITM確率は満期時点の結果を示す。つまり、満期日に原資産がどの水準で決済されるかだ。確率タッチは経路を示す。満期前のどこかの時点で、原資産が行使価格で一度でも取引されるかどうかだ。アウト・オブ・ザ・マネーの行使価格では、確率タッチはITM確率のおよそ二倍となる。この差は、プレミアム売りの取引で最も過小評価されている数字である。
確率タッチとITM確率を比較する
株価100ドルの銘柄と、残存期間一カ月、行使価格105ドルのコールを考える。ITM確率が問うのは、一つの時点に関する一つの質問だ。満期日に株価は105ドルを上回って引けるか。確率タッチは、その間のすべての約定について同じ質問をする。株価は一度でも105ドルで取引されるか。二週目に106ドルまで上昇した後、99ドルで終わる経路は、タッチには該当するが、満期時のITMには該当しない。
定義だけから、二つのことが分かる。ITM確率を下回ることはない。満期日に行使価格を上回った経路は、そこに到達する途中で必ず行使価格を通過しているからだ。また、満期前に起こる事象を決めるのは確率タッチである。アラート、ロール、逆指値注文、ショートコールの早期割り当て懸念などが該当する。ITM確率が決めるのは決済そのものであり、これはオプションがイン・ザ・マネーで満期を迎えるとどうなるかで扱っている。
なぜ確率タッチはITM確率のおよそ二倍なのか
短く言えば、確率論で反射原理と呼ばれる対称性の議論による。原資産が、一定のボラティリティで上下に動き、どちらか一方向への傾向を持たない、ドリフトのないランダムウォークだと考える。価格は連続的に観測する。
満期前に行使価格へ到達し、その後、行使価格を下回って終わる経路を一つ取り上げる。最初にタッチした時点以降の値動きをすべて反転させる。上昇は下落に、下落は上昇になる。対称でドリフトのないモデルでは、この反転経路は元の経路と同じ確率で発生し、元の経路が行使価格を下回って終わった幅と同じだけ、行使価格を上回って終わる。タッチして戻る経路は、タッチしたまま上で終わる経路と一対一で対応する。イン・ザ・マネーで終わる経路は、タッチしたまま上で終わる側である。そのため、確率タッチはITM確率のおよそ二倍になる。
この結果を支える前提は四つあるが、いずれも完全には成り立たない。
- ゼロ・ドリフト。株価指数は長期的な期間では上昇傾向を示してきたため、上方向のタッチ率と満期時の上方到達率は対称なケースから乖離する。
- ボラティリティ一定。実際のボラティリティはクラスター化し、穏やかな局面と急変局面が隣り合う。そもそもこの数字をどう推計するかは、インプライド・ボラティリティの計算方法で説明している。
- 連続的な監視。誰かが監視している場合に限り、タッチとして記録される。セッション間に水準を通過しても、通常取引時間のテープ上でのタッチにはならない。
- 固定された一つの行使価格。ロール、ポジション調整、アメリカン・スタイル契約の早期割り当てによって、監視対象の水準は変わる。
二倍のルールは、理論的な裏付けを持つ経験則である。アット・ザ・マネーに近い行使価格では近似しやすいが、行使価格が遠くなるほど精度は低下する。
価格履歴が示すタッチと満期時の結果
このルールは、モデルを使わずに検証できる。下のパネルでは、2011年以降のSPYの全セッションを対象に、その日の終値から1%、2%、3%、5%上の水準を設定し、その後21セッション、つまりおよそ一カ月を追跡している。記録するのは二つだ。その一カ月の間に、いずれかのセッション高値がその水準に達したかどうか、つまりタッチしたかどうか。そして、一カ月後の終値がその水準以上になったかどうか、つまり満期時の結果である。
各数値の背後にある正確なSQL
WITH
bars AS (
SELECT
date,
any(toFloat64(close)) AS c,
max(toFloat64(high)) AS h
FROM global_markets.stocks_daily_aggs
WHERE ticker = 'SPY'
AND date >= '2011-01-01'
AND date < '2026-07-01'
GROUP BY date
),
fwd AS (
SELECT
c AS spot,
max(h) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN 1 FOLLOWING AND 21 FOLLOWING) AS fwd_max_high,
leadInFrame(c, 21) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 21 FOLLOWING) AS close_fwd_21
FROM bars
),
trials AS (
SELECT
arrayJoin([1, 2, 3, 5]) AS pct_away,
spot * (1 + pct_away / 100) AS level,
fwd_max_high >= level AS touched,
close_fwd_21 >= level AS finished_above
FROM fwd
WHERE close_fwd_21 > 0
)
SELECT
concat(toString(pct_away), '% above spot') AS strike_distance,
round(100 * avg(touched), 1) AS touch_pct,
round(100 * avg(finished_above), 1) AS finish_above_pct,
round(avg(touched) / avg(finished_above), 2) AS touch_to_finish_ratio,
count() AS windows
FROM trials
GROUP BY pct_away
ORDER BY pct_away3874の月次期間では、1% above spotの水準が83.8%の割合でタッチされ、満期時に上回った割合は56.7%だった。比率は1.48である。曲線の最も遠い部分では、タッチ率は5% above spotで、満期時の到達率12.3%に対して19.6%となり、比率は1.6だった。15年間の価格履歴にモデルを適用しなくても、比率は曲線全体でおよそ二倍に近い。これは反射原理が示す水準でもある。
デルタはITM確率の適切な代替指標か
デルタは、原資産が1ドル動いたときのオプション価格の感応度である。同時に、契約が満期時にイン・ザ・マネーとなる確率の大まかな推計値としても使われる。デルタ25のコールは、株価が1ドル上昇すると約0.25ドル上昇し、行使価格を上回って満期を迎える確率はおよそ25%である。この推計は正確ではない。デルタも、ドリフトがなくボラティリティが一定という同じ前提の下で計算されるためだ。実際のITM確率は、コールではデルタをやや下回る。仕組みについては、オプションのデルタの解説で説明している。
デルタをITM確率の推計値として使えば、二倍のルールから確率タッチの推計値を得られる。下のパネルでは、残存期間20～45日のSPYのコントラクト・デイを六カ月分集計し、デルタの大きさで分類したうえで、二つの数字を並べている。
各数値の背後にある正確なSQL
WITH graded AS (
SELECT
toUInt16(round(100 * abs(delta) / 5) * 5) AS delta_bucket,
abs(delta) AS abs_delta
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
AND date >= '2026-01-01'
AND date < '2026-07-01'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(delta) BETWEEN 0.05 AND 0.45
)
SELECT
concat(toString(delta_bucket), ' delta') AS short_strike,
round(100 * avg(abs_delta), 1) AS approx_itm_pct,
round(200 * avg(abs_delta), 1) AS approx_touch_pct,
count() AS contract_days
FROM graded
GROUP BY delta_bucket
ORDER BY delta_bucket25 deltaの区分では、5211コントラクト・デイにおけるデルタの平均値は25%だった。二倍のルールに基づくと、契約期間中のどこかで原資産がその行使価格に到達する確率は49.9%となる。満期時にイン・ザ・マネーとなる確率が約四分の一の行使価格は、一度でもタッチされる確率ではコイン投げに近い。
ショート行使価格に逆指値を置くと、なぜ利益が損失に変わるのか
ここで、この違いは単なる理論ではなくなる。デルタ25のコールを売り、行使価格に逆指値注文を置くトレーダーは、一つのポジションに異なる二つの決済条件を設定している。オプションのペイオフは満期時の結果で決まり、およそ四分の一の確率で発生する。逆指値はタッチで発動し、およそ二分の一の確率で発動する。
この数字に基づけば、逆指値はおよそ半分の確率で発動する。その多くは、タッチした後に戻った取引だ。これらは、本来なら無価値で満期を迎え、プレミアム全額を維持できた取引である。逆指値は利益となる取引の大きな部分を実現損失に変える一方、抑制するはずだったテールリスクにはあまり効果がない。行使価格を飛び越えるギャップが発生すれば、逆指値価格を下回って約定するからだ。デルタではなくタッチ率を基準にポジションサイズを決めれば、実際に直面する決済条件を反映できる。インプライド・ボラティリティから見た予想変動幅を基準にする方法も、ボラティリティの側面から同じ考え方に近づくものである。
タッチした後に戻った経路
2024年7月は、過去のデータとして固定されているため数字が変わらず、分かりやすい例になる。パネルでは7月最初のセッションを起点とし、その終値から2%上の水準を設定して、8月最初の週までSPYを追跡している。spy_high系列がタッチの動きを示し、spy_close系列が満期時の結果を示す。
各数値の背後にある正確なSQL
WITH
bars AS (
SELECT
date,
any(toFloat64(close)) AS c,
max(toFloat64(high)) AS h
FROM global_markets.stocks_daily_aggs
WHERE ticker = 'SPY'
AND date BETWEEN '2024-07-01' AND '2024-08-08'
GROUP BY date
),
anchor AS (
SELECT argMin(c, date) * 1.02 AS lvl
FROM bars
)
SELECT
toString(b.date) AS session_date,
round(b.c, 2) AS spy_close,
round(b.h, 2) AS spy_high,
round(a.lvl, 2) AS strike_level,
round(100 * (b.c / a.lvl - 1), 2) AS close_vs_level_pct,
round(100 * (max(b.h) OVER (ORDER BY b.date ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) / a.lvl - 1), 2) AS run_max_vs_level_pct
FROM bars AS b
CROSS JOIN anchor AS a
ORDER BY b.dateSPYはこの期間の開始時点で$545.34で寄り付き、その水準は$556.25となった。期間中の最高値はその水準を1.6%上回り、期間中に水準へ到達したことが分かる。最終終値は同じ水準に対して-4.6%となった。そこを行使価格とするショートコールは途中でタッチされたものの、最終的にはアウト・オブ・ザ・マネーだった。行使価格に逆指値を置いていれば、二つの時点の間でポジションが決済されていた。
二倍のルールが崩れる局面
特に重要なのは二つのケースだ。大幅にアウト・オブ・ザ・マネーの行使価格では、ITM確率がゼロに近づくため比率は二倍を上回る。ただし、その段階では両方の数字が十分に小さくなっており、差が判断を変えることは少ない。強いトレンドがある原資産では、反射原理の前提となる対称性が崩れる。ドリフトによって、上方向の経路と下方向の経路がそもそも同じではなくなるからだ。これらに加えて、短い期間では監視の粒度も重要になる。夜間に行使価格をギャップで通過した価格は、そこで取引されていない。そのため、テープ上で測定したタッチと、連続モデルで測定したタッチが同じ日に異なることがある。
よくある質問
オプション取引における確率タッチとは何ですか
確率タッチとは、オプションが満期を迎えるまでのどこかの時点で、原資産が特定の行使価格で取引される確率です。満期時点だけを対象とするのではありません。逆指値注文、アラート、ロール、早期割り当てリスクなど、契約期間中に発動し得る事象に関係する数字です。
確率タッチは常にITM確率の二倍ですか
いいえ。二倍というのは、ドリフトがなく、ボラティリティが一定で、価格を連続的に監視する場合の近似です。アット・ザ・マネーに近い行使価格では近い値になりますが、行使価格が遠くなるほど、また原資産にトレンドがあるほど乖離します。
デルタから確率タッチが分かりますか
デルタが近似するのはタッチではなくITM確率です。デルタを二倍すれば、実務上の確率タッチの推計値になります。そのため、デルタ25の行使価格は、満期前のどこかの時点でタッチされる確率がおよそ50%と説明されることが多いです。
ショート行使価格にストップロス注文を置くと、なぜショートオプションのポジションに不利なのですか
行使価格に置いた逆指値はタッチで決済されます。一方、オプションのペイオフは満期時の結果で決まります。タッチは満期時のITMよりおよそ二倍の頻度で発生するため、本来なら無価値で満期を迎えたはずのポジションも多数決済され、利益となる取引の一部が実現損失に変わります。
ここで示したすべてのパネルには、作成に使ったSQLがそのまま掲載されています。そのため、タッチと満期時の結果の件数を行単位で追跡できます。別のティッカーや期間で同じタッチ対満期時の結果の検証を行うには、Strasmore terminalで平易な英語にして質問してください。