تفاوت احتمال لمس و احتمال ITM در معاملات اختیار معامله

احتمال لمس (Probability of touch) و احتمال در سود بودن (Probability ITM) دو مفهوم متفاوت را درباره یک اختیار معامله (Option) اندازه‌گیری می‌کنند. احتمال ITM به نقطه پایان مربوط است: اینکه دارایی پایه در روز انقضا در چه قیمتی تثبیت می‌شود. احتمال لمس به مسیر حرکت مربوط است: اینکه آیا دارایی پایه در هر مقطعی پیش از انقضا، با قیمت اعمال (Strike price) معامله می‌شود یا خیر. برای یک قیمت اعمال خارج از سود (OTM)، احتمال لمس تقریباً دو برابر احتمال ITM است و این شکاف، نادیده‌گرفته‌شده‌ترین عدد در معاملات فروش اختیار با حق‌بیمه (Short-premium) است.

مقایسه احتمال لمس و احتمال ITM

فرض کنید سهمی با قیمت 100 دلار معامله می‌شود و یک اختیار خرید (Call) با قیمت اعمال 105 دلار و سررسید یک‌ماهه وجود دارد. احتمال ITM در یک لحظه یک پرسش را مطرح می‌کند: آیا در روز انقضا، قیمت سهم بالاتر از 105 دلار بسته می‌شود؟ احتمال لمس همین پرسش را برای تک‌تک معاملات (Prints) در طول این مدت مطرح می‌کند: آیا قیمت سهم حتی برای یک‌بار هم که شده به 105 دلار می‌رسد؟ مسیری که در هفته دوم به 106 دلار می‌رسد و دوباره در قیمت 99 دلار تثبیت می‌شود، یک «لمس» محسوب می‌شود، اما یک پایان ITM نیست.

دو نتیجه از این تعاریف حاصل می‌شود. احتمال لمس هرگز نمی‌تواند کمتر از احتمال ITM باشد، زیرا هر مسیری که بالاتر از قیمت اعمال به پایان برسد، ناگزیر باید در طول مسیر از آن عبور کرده باشد. همچنین، احتمال لمس عددی است که بر تمام رویدادهای پیش از انقضا حاکم است: هشدارها، غلتاندن موقعیت (Roll)، سفارش حد ضرر (Stop order) و ریسک اعمال زودهنگام در یک اختیار خرید فروخته‌شده. احتمال ITM تنها بر تسویه نهایی حاکم است که موضوع اگر اختیار معامله در سود منقضی شود چه اتفاقی می‌افتد است.

چرا احتمال لمس تقریباً دو برابر احتمال ITM است؟

پاسخ کوتاه، استدلالی مبتنی بر تقارن است که در احتمالات به «اصل بازتاب» (Reflection principle) معروف است. دارایی پایه را به شکل یک گام تصادفی بدون جهت (Driftless random walk) تصور کنید: دارایی با نوسان ثابت بالا و پایین می‌رود، به‌طور مداوم رصد می‌شود و هیچ تمایل ذاتی برای حرکت در یک جهت خاص ندارد.

هر مسیری را در نظر بگیرید که پیش از انقضا قیمت اعمال را لمس می‌کند و سپس بازمی‌گردد تا زیر آن به پایان برسد. از لحظه اولین لمس، تمام حرکات بعدی را معکوس کنید. بالا به پایین تبدیل می‌شود و پایین به بالا. در یک مدل متقارن بدون جهت، احتمال آن مسیر معکوس دقیقاً برابر با مسیر اصلی است و به همان اندازه‌ای که مسیر اصلی زیر قیمت اعمال به پایان رسیده، مسیر معکوس بالاتر از آن به پایان می‌رسد. هر مسیر «لمس و بازگشت» با یک مسیر «لمس و ماندن» جفت می‌شود. مسیرهایی که در سود به پایان می‌رسند، همان نیمه «لمس و ماندن» هستند که باعث می‌شود احتمال لمس تقریباً دو برابر احتمال ITM باشد.

چهار فرض این نتیجه را پشتیبانی می‌کنند که هیچ‌کدام دقیقاً برقرار نیستند:

• نبود جهت (Zero drift): شاخص‌های سهام در بازه‌های طولانی دارای جهت صعودی بوده‌اند که نرخ لمس و پایان صعودی را از حالت متقارن خارج می‌کند.
• نوسان ثابت: نوسانات واقعی خوشه‌ای هستند و دوره‌های آرام در کنار دوره‌های پرتلاطم قرار می‌گیرند. نحوه برآورد اولیه این عدد در چگونه نوسان ضمنی محاسبه می‌شود پوشش داده شده است.
• رصد مداوم: لمس تنها زمانی شمرده می‌شود که کسی ناظر آن باشد. قیمتی که در فاصله بین جلسات معاملاتی شکسته شود، در نوار معاملات ساعات عادی، لمس محسوب نمی‌شود.
• یک قیمت اعمال ثابت: غلتاندن موقعیت‌ها، تعدیل‌ها و اعمال زودهنگام در قراردادهای سبک آمریکایی، همگی سطح مورد رصد را تغییر می‌دهند.

قانون دو برابر، یک قاعده سرانگشتی با پشتوانه اثبات ریاضی است: برای قیمت‌های اعمال نزدیک به قیمت فعلی (Near-the-money) دقیق است و با دور شدن قیمت اعمال، دقت آن کاهش می‌یابد.

تاریخچه قیمت درباره لمس در برابر پایان چه می‌گوید

این قاعده بدون نیاز به هیچ مدلی قابل آزمایش است. پنل زیر تمام جلسات معاملاتی SPY از سال 2011 را بررسی می‌کند، سطحی 1٪، 2٪، 3٪ و 5٪ بالاتر از قیمت بسته شدن آن روز ترسیم می‌کند و سپس 21 جلسه معاملاتی (تقریباً یک ماه تقویمی) را به جلو می‌برد. این پنل دو مورد را ثبت می‌کند: آیا بالاترین قیمت در آن ماه به آن سطح رسیده است (لمس) و آیا قیمت بسته شدن در پایان ماه در آن سطح یا بالاتر از آن بوده است (پایان).

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date >= '2011-01-01'
          AND date <  '2026-07-01'
        GROUP BY date
    ),
    fwd AS (
        SELECT
            c AS spot,
            max(h) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN 1 FOLLOWING AND 21 FOLLOWING)      AS fwd_max_high,
            leadInFrame(c, 21) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 21 FOLLOWING) AS close_fwd_21
        FROM bars
    ),
    trials AS (
        SELECT
            arrayJoin([1, 2, 3, 5])     AS pct_away,
            spot * (1 + pct_away / 100) AS level,
            fwd_max_high >= level       AS touched,
            close_fwd_21 >= level       AS finished_above
        FROM fwd
        WHERE close_fwd_21 > 0
    )
SELECT
    concat(toString(pct_away), '% above spot')   AS strike_distance,
    round(100 * avg(touched), 1)                 AS touch_pct,
    round(100 * avg(finished_above), 1)          AS finish_above_pct,
    round(avg(touched) / avg(finished_above), 2) AS touch_to_finish_ratio,
    count()                                      AS windows
FROM trials
GROUP BY pct_away
ORDER BY pct_away

در طول 3874 پنجره‌های ماهانه، سطحی به میزان 1% above spot در 83.8% مواقع لمس شد و تنها در 56.7% مواقع بالاتر از آن به پایان رسید که نسبت 1.48 را نشان می‌دهد. در انتهای منحنی، یعنی 5% above spot، نرخ لمس 19.6% در برابر نرخ پایان 12.3% بود که نسبت 1.6 را به دست می‌دهد. این نسبت در کل منحنی نزدیک به دو است که با استدلال تقارن در پانزده سال داده‌های معاملاتی و بدون هیچ مدلی همخوانی دارد.

آیا دلتا (Delta) معیار مناسبی برای احتمال ITM است؟

دلتا حساسیت اختیار معامله به تغییر یک دلاری در دارایی پایه است و به عنوان برآوردی تقریبی از احتمال پایان یافتن قرارداد در سود عمل می‌کند. یک اختیار خرید با دلتای 25، به ازای هر یک دلار حرکت سهم، حدود 0.25 دلار سود می‌کند و تقریباً 25٪ احتمال دارد که بالاتر از قیمت اعمال خود منقضی شود. این برآورد دقیق نیست: دلتا تحت همان فرضیات نبود جهت و نوسان ثابت محاسبه می‌شود و احتمال واقعی ITM برای اختیار خریدها کمی کمتر از دلتا است. توضیحات ما در دلتا اختیار معامله مکانیسم آن را بررسی می‌کند.

دلتا را به عنوان برآورد ITM در نظر بگیرید؛ قانون دو برابر، برآورد احتمال لمس را به رایگان در اختیار شما می‌گذارد. پنل زیر شش ماه از روزهای معاملاتی قراردادهای SPY با 20 تا 45 روز تا انقضا را بر اساس اندازه دلتا دسته‌بندی کرده و این دو رقم را کنار هم قرار می‌دهد.

WITH graded AS (
    SELECT
        toUInt16(round(100 * abs(delta) / 5) * 5) AS delta_bucket,
        abs(delta)                                AS abs_delta
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-01-01'
      AND date <  '2026-07-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(delta) BETWEEN 0.05 AND 0.45
)
SELECT
    concat(toString(delta_bucket), ' delta') AS short_strike,
    round(100 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_itm_pct,
    round(200 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_touch_pct,
    count()                                  AS contract_days
FROM graded
GROUP BY delta_bucket
ORDER BY delta_bucket

در دسته 25 delta، میانگین اندازه دلتا در طول 5211 روز معاملاتی قرارداد، 25% بود و قانون دو برابر، احتمال بازدید دارایی پایه از آن قیمت اعمال در مقطعی از عمر قرارداد را 49.9% برآورد می‌کند. قیمت اعمالی که تنها در یک‌چهارم مواقع در سود به پایان می‌رسد، تقریباً 50٪ احتمال لمس شدن دارد.

چرا حد ضرر در قیمت اعمالِ اختیار فروخته‌شده، برندگان را به بازندگان تبدیل می‌کند

اینجاست که تمایز از حالت آکادمیک خارج می‌شود. معامله‌گری که یک اختیار خرید با دلتای 25 می‌فروشد و یک سفارش حد ضرر در قیمت اعمال قرار می‌دهد، یک موقعیت واحد با دو آزمون خروج متفاوت ایجاد کرده است. بازده اختیار معامله با «پایان» تعیین می‌شود که رویدادی تقریباً یک‌درچهار است. حد ضرر با «لمس» تعیین می‌شود که رویدادی تقریباً یک‌دردو است.

با این اعداد، حد ضرر در نیمی از مواقع فعال می‌شود و بیشتر معاملاتی که می‌بندد، همان‌هایی هستند که لمس شده و بازگشته‌اند. این‌ها دقیقاً همان معاملاتی هستند که اگر باقی می‌ماندند، بدون ارزش منقضی شده و کل حق‌بیمه را حفظ می‌کردند. حد ضرر بخش بزرگی از برندگان را به زیان‌های تحقق‌یافته تبدیل می‌کند و در مورد ریسک‌های بزرگی که برای کنترل آن‌ها قرار داده شده بود، کار چندانی انجام نمی‌دهد، زیرا شکاف قیمتی (Gap) که از قیمت اعمال عبور می‌کند، در هر صورت پایین‌تر از قیمت حد ضرر پر می‌شود. تعیین اندازه موقعیت بر اساس نرخ لمس به جای دلتا، قیمت‌گذاری خروج را با واقعیتی که معامله‌گر با آن مواجه می‌شود، همسو می‌کند. تعیین اندازه بر اساس حرکت مورد انتظار از نوسان ضمنی نیز همان ایده است که از سمت نوسان به آن نگریسته شده است.

مسیری که لمس شد و بازگشت

ژوئیه 2024 یک مثال شفاف و تثبیت‌شده ارائه می‌دهد که در گذشته ثبت شده و اعداد آن تغییر نمی‌کنند. پنل بر اولین جلسه معاملاتی ژوئیه متمرکز است، سطحی 2٪ بالاتر از قیمت بسته شدن آن روز ترسیم می‌کند و SPY را تا هفته اول اوت دنبال می‌کند. سری spy_high همان چیزی است که لمس را انجام می‌دهد؛ سری spy_close همان چیزی است که پایان را تعیین می‌کند.

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2024-07-01' AND '2024-08-08'
        GROUP BY date
    ),
    anchor AS (
        SELECT argMin(c, date) * 1.02 AS lvl
        FROM bars
    )
SELECT
    toString(b.date)                  AS session_date,
    round(b.c, 2)                     AS spy_close,
    round(b.h, 2)                     AS spy_high,
    round(a.lvl, 2)                   AS strike_level,
    round(100 * (b.c / a.lvl - 1), 2) AS close_vs_level_pct,
    round(100 * (max(b.h) OVER (ORDER BY b.date ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) / a.lvl - 1), 2) AS run_max_vs_level_pct
FROM bars AS b
CROSS JOIN anchor AS a
ORDER BY b.date

SPY پنجره را در قیمت $545.34 باز کرد و سطح را در $556.25 قرار داد. بالاترین قیمت در طول این دوره 1.6% بالاتر از آن سطح بود، بنابراین سطح در طول پنجره لمس شد. قیمت بسته شدن نهایی -4.6% در برابر همان سطح ثبت شد. یک اختیار خرید فروخته‌شده در آن قیمت، در طول مسیر لمس می‌شد و در پایان همچنان خارج از سود (OTM) باقی می‌ماند. یک حد ضرر در قیمت اعمال، موقعیت را در جایی بین این دو نقطه می‌بست.

کجا قانون دو برابر شکست می‌خورد

دو مورد بیشترین اهمیت را دارند. قیمت‌های اعمال بسیار دور از سود (Far OTM)، نسبت را به بالای دو می‌برند، زیرا احتمال ITM به صفر نزدیک می‌شود و در آن زمان هر دو عدد آن‌قدر کوچک هستند که تفاوت آن‌ها به‌ندرت تصمیمی را تغییر می‌دهد. دارایی پایه‌ای که روند قوی دارد، تقارنی را که استدلال بازتاب بر آن استوار است می‌شکند، زیرا جهت‌دار بودن حرکت، مسیر صعودی و نزولی را از ابتدا نابرابر می‌کند. فراتر از این‌ها، دقت رصد در بازه‌های کوتاه اهمیت دارد: قیمتی که در طول شب با شکاف از قیمت اعمال عبور می‌کند، در آنجا معامله نمی‌شود؛ بنابراین لمسی که در نوار معاملات ثبت می‌شود و لمسی که در یک مدل پیوسته اندازه‌گیری می‌شود، می‌توانند در یک روز واحد متفاوت باشند.

پرسش‌های متداول

احتمال لمس در معاملات اختیار معامله چیست؟

احتمال لمس، شانس این است که دارایی پایه در هر مقطعی پیش از انقضای اختیار معامله، با قیمت اعمال مشخصی معامله شود، نه فقط در زمان انقضا. این عدد برای هر چیزی که بتواند در میانه عمر قرارداد فعال شود، از جمله سفارش‌های حد ضرر، هشدارها، غلتاندن موقعیت و ریسک اعمال زودهنگام، عدد مربوطه است.

آیا احتمال لمس همیشه دو برابر احتمال ITM است؟

خیر. دو برابر کردن یک تقریب است که تحت شرایط نبود جهت، نوسان ثابت و رصد مداوم قیمت برقرار است. این تقریب برای قیمت‌های اعمال نزدیک به قیمت فعلی دقیق است و با دورتر شدن قیمت اعمال یا رونددار شدن دارایی پایه، شکاف آن بیشتر می‌شود.

آیا دلتا احتمال لمس را نشان می‌دهد؟

دلتا احتمال ITM را تقریب می‌زند، نه احتمال لمس را. دو برابر کردن دلتا یک برآورد کاربردی از احتمال لمس به دست می‌دهد؛ به همین دلیل است که قیمت اعمال با دلتای 25 اغلب به عنوان موقعیتی با احتمال تقریباً 50٪ برای لمس شدن در مقطعی پیش از انقضا توصیف می‌شود.

چرا سفارش‌های حد ضرر در قیمت اعمالِ اختیار فروخته‌شده به موقعیت‌های فروش آسیب می‌زند؟

حد ضرر در قیمت اعمال توسط «لمس» تعیین می‌شود، در حالی که بازده اختیار معامله توسط «پایان» تعیین می‌شود. از آنجا که احتمال لمس تقریباً دو برابر بیشتر است، حد ضرر بسیاری از موقعیت‌هایی را که بدون ارزش منقضی می‌شدند می‌بندد و بخشی از معاملات سودآور را به زیان‌های تحقق‌یافته تبدیل می‌کند.

هر پنل در اینجا حاوی کد SQL دقیقی است که آن را تولید کرده است، بنابراین تعداد لمس‌ها و پایان‌ها را می‌توان سطر به سطر ردیابی کرد. برای اجرای همان آزمایش لمس در برابر پایان روی یک تیکر دیگر یا یک افق زمانی دیگر، پرسش خود را به زبان ساده در ترمینال Strasmore مطرح کنید.