Probability of touch проти ймовірності ITM

Probability of touch і probability ITM вимірюють два різні параметри одного й того самого опціону. Probability ITM стосується результату на момент експірації: де базовий актив завершить торги в день закінчення строку дії опціону. Probability of touch стосується руху ціни: чи торгуватиметься базовий актив на рівні strike у будь-який момент до експірації. Для strike поза грошима probability of touch становить приблизно вдвічі більше, ніж probability ITM. Цю різницю найчастіше недооцінюють під час торгівлі з продажем опціонної премії.

Імовірність дотику та ймовірність ITM: порівняння

Візьмімо акцію, яка торгується по $100, і call-опціон зі strike $105 та строком до експірації один місяць. Імовірність ITM ставить одне запитання в один момент: чи закриється акція вище $105 у день експірації? Імовірність дотику стосується кожного print у проміжку до цієї дати: чи торгувалася акція по $105 хоча б один раз? Якщо на другому тижні ціна піднялася до $106, а потім знизилася до $99, це був дотик, але не закриття ITM.

Із самих визначень випливають два висновки. Імовірність дотику не може бути нижчою за ймовірність ITM, оскільки кожна траєкторія, що завершується вище strike, мала перетнути цей рівень. Саме імовірність дотику визначає все, що відбувається до експірації: спрацювання сповіщення, roll, stop order або побоювання щодо assignment за short call. Імовірність ITM визначає саме розрахунок за контрактом. Про це йдеться в матеріалі що відбувається, якщо опціон експірує ITM.

Чому probability of touch приблизно вдвічі вища за probability ITM?

Коротка відповідь — це дзеркальний аргумент, відомий у теорії ймовірностей як принцип відображення. Уявімо базовий актив як випадкове блукання без дрейфу: він рухається вгору й униз із постійною волатильністю, а спостереження ведеться безперервно. Наперед заданої тенденції в будь-який бік немає.

Розглянемо будь-яку траєкторію, яка досягає strike до експірації, а потім завершує рух нижче нього. Від моменту першого дотику змінимо напрямок кожного подальшого руху на протилежний. Рух угору стає рухом униз, а рух униз — рухом угору. У симетричній моделі без дрейфу така дзеркальна траєкторія має точно таку саму ймовірність, як і початкова. Вона завершує рух на такій самій відстані вище strike, на якій початкова траєкторія завершила його нижче. Кожній траєкторії «дотик і повернення» відповідає одна траєкторія «дотик і утримання вище рівня». Траєкторії, які завершуються in the money, становлять половину всіх траєкторій із дотиком. Тому probability of touch приблизно вдвічі вища за probability ITM.

Цей результат спирається на чотири припущення, і жодне з них не виконується точно:

• Нульовий дрейф. За тривалими періодами equity indexes зростали, що віддаляє показники дотику до рівня та завершення вище рівня від симетричного випадку.
• Постійна волатильність. У реальному ринку волатильність кластеризується: спокійні періоди змінюються різкими рухами. Метод оцінювання цього показника розглянуто в матеріалі як розраховується implied volatility.
• Безперервне спостереження. Дотик зараховується лише тоді, коли за рівнем ведеться спостереження. Якщо рівень було пробито між торговими сесіями, це не вважається дотиком на стрічці regular-hours.
• Один фіксований strike. Ролування, коригування та дострокове виконання контрактів американського типу змінюють рівень, за яким ведеться спостереження.

Правило подвоєння має теоретичне обґрунтування, але залишається орієнтиром: воно достатньо точне для strike, близьких до at-the-money, і менш точне, коли strike віддаляється від поточної ціни.

Що історія цін показує про досягнення рівня проти закріплення вище нього

Це правило можна перевірити взагалі без моделі. Панель нижче охоплює всі торгові сесії SPY з 2011 року. Для кожного дня вона визначає рівні на 1%, 2%, 3% і 5% вище ціни закриття, а потім аналізує наступні 21 сесію — приблизно календарний місяць. Фіксуються два показники: чи досягав денний максимум упродовж цього місяця відповідного рівня (touch), і чи закрилася ціна наприкінці місяця на цьому рівні або вище (finish).

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date >= '2011-01-01'
          AND date <  '2026-07-01'
        GROUP BY date
    ),
    fwd AS (
        SELECT
            c AS spot,
            max(h) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN 1 FOLLOWING AND 21 FOLLOWING)      AS fwd_max_high,
            leadInFrame(c, 21) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 21 FOLLOWING) AS close_fwd_21
        FROM bars
    ),
    trials AS (
        SELECT
            arrayJoin([1, 2, 3, 5])     AS pct_away,
            spot * (1 + pct_away / 100) AS level,
            fwd_max_high >= level       AS touched,
            close_fwd_21 >= level       AS finished_above
        FROM fwd
        WHERE close_fwd_21 > 0
    )
SELECT
    concat(toString(pct_away), '% above spot')   AS strike_distance,
    round(100 * avg(touched), 1)                 AS touch_pct,
    round(100 * avg(finished_above), 1)          AS finish_above_pct,
    round(avg(touched) / avg(finished_above), 2) AS touch_to_finish_ratio,
    count()                                      AS windows
FROM trials
GROUP BY pct_away
ORDER BY pct_away

За 3874 місячних періодів рівень 1% above spot було досягнуто у 83.8% випадків, а закриття вище нього відбулося лише у 56.7% випадків; співвідношення становило 1.48. На дальньому кінці кривої рівень 5% above spot було досягнуто у 19.6% випадків, тоді як частка закриттів вище нього становила 12.3%; співвідношення — 1.6. На всій кривій це співвідношення тримається близько двох. Саме таким його показує аргумент дзеркального відображення — на п’ятнадцяти роках ринкової історії та взагалі без моделі.

Чи є delta хорошим наближеним показником імовірності завершення ITM?

Delta показує чутливість опціону до руху базового активу на $1. Водночас вона дає приблизну оцінку ймовірності того, що контракт завершить торги в грошах. Call-опціон із delta 25 приносить близько $0,25 на кожен рух акції на $1. Імовірність експірації вище за strike для нього становить приблизно 25%. Оцінка не є точною. Delta розраховується за тих самих припущень про відсутність дрейфу та сталу волатильність. Фактична ймовірність завершення ITM для call трохи нижча за delta. У нашому поясненні про delta опціону описано механіку цього показника.

Сприймайте delta як оцінку ймовірності ITM — і правило подвоєння без додаткових розрахунків дасть приблизну оцінку ймовірності дотику до strike. Панель нижче групує дні існування контрактів SPY за шість місяців із терміном до експірації від 20 до 45 днів залежно від величини delta та показує ці два показники поруч.

WITH graded AS (
    SELECT
        toUInt16(round(100 * abs(delta) / 5) * 5) AS delta_bucket,
        abs(delta)                                AS abs_delta
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-01-01'
      AND date <  '2026-07-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(delta) BETWEEN 0.05 AND 0.45
)
SELECT
    concat(toString(delta_bucket), ' delta') AS short_strike,
    round(100 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_itm_pct,
    round(200 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_touch_pct,
    count()                                  AS contract_days
FROM graded
GROUP BY delta_bucket
ORDER BY delta_bucket

У кошику 25 delta середня величина delta за 5211 днями існування контрактів становила 25%. За правилом подвоєння ймовірність того, що базовий актив у певний момент протягом строку дії контракту досягне цього strike, становить 49.9%. Якщо опціон завершує торги в грошах приблизно в одному випадку з чотирьох, імовірність дотику до strike близька до підкидання монети.

Чому stop на strike проданого опціону перетворює прибуткові угоди на збиткові

Саме тут ця відмінність перестає бути суто академічною. Трейдер, який продає call-опціон із дельтою 25 і встановлює stop order на рівні strike, фактично створює одну позицію з двома різними критеріями виходу. Результат за опціоном визначається на момент експірації — це подія з імовірністю приблизно one-in-four. Stop спрацьовує за фактом дотику ціни — це подія з імовірністю приблизно one-in-two.

За таких умов stop спрацьовує приблизно у половині випадків, і більшість закритих ним угод — це угоди, у яких ціна торкнулася strike, а потім повернулася. Саме такі угоди в іншому разі завершилися б без вартості, а трейдер зберіг би всю опційну премію. Stop перетворює значну частину прибуткових угод на зафіксовані збитки й майже не захищає від ризику, заради якого його встановлювали: якщо ціна з гэпом проходить через strike, позиція все одно буде виконана нижче рівня stop. Розмір позиції, визначений за частотою дотику, а не за дельтою, краще враховує рівень виходу, з яким трейдер фактично зіткнеться. Визначення розміру позиції за очікуваним рухом, розрахованим на основі implied volatility, — це той самий підхід з боку волатильності.

Шлях, який торкнувся рівня та повернувся

Липень 2024 року дає чіткий приклад із зафіксованими в минулому даними, тому цифри не змінюються. Графік прив’язаний до першої торгової сесії липня, показує рівень на 2% вище за ціну закриття цього дня та відстежує SPY до першого тижня серпня. Серія spy_high показує момент досягнення рівня, а серія spy_close визначає підсумковий результат.

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2024-07-01' AND '2024-08-08'
        GROUP BY date
    ),
    anchor AS (
        SELECT argMin(c, date) * 1.02 AS lvl
        FROM bars
    )
SELECT
    toString(b.date)                  AS session_date,
    round(b.c, 2)                     AS spy_close,
    round(b.h, 2)                     AS spy_high,
    round(a.lvl, 2)                   AS strike_level,
    round(100 * (b.c / a.lvl - 1), 2) AS close_vs_level_pct,
    round(100 * (max(b.h) OVER (ORDER BY b.date ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) / a.lvl - 1), 2) AS run_max_vs_level_pct
FROM bars AS b
CROSS JOIN anchor AS a
ORDER BY b.date

SPY відкрив цей період за ціною $545.34, тому рівень становив $556.25. Максимум за період завершився на 1.6% вище за цей рівень, отже, його було досягнуто протягом зазначеного періоду. Фінальна ціна закриття становила -4.6% відносно того самого рівня. Короткий call-опціон зі strike на цьому рівні був би тимчасово в зоні досягнення, але наприкінці періоду все ще залишався б out of the money. Stop на рівні strike закрив би позицію десь між цими двома значеннями.

Де правило подвоєння перестає працювати

Найважливішими є два випадки. Страйки, які значно віддалені від поточної ціни та перебувають out-of-the-money, підвищують співвідношення понад два, оскільки ймовірність опинитися ITM наближається до нуля. На цьому етапі обидва показники вже настільки малі, що різниця між ними рідко впливає на рішення. Сильний тренд базового активу порушує симетрію, на якій ґрунтується аргумент дзеркального відображення, оскільки напрям руху ціни спочатку робить висхідний і низхідний сценарії нерівнозначними. Крім того, на коротких горизонтах важлива частота спостережень: якщо ціна вночі гепом проходить через strike, угоди за цією ціною не відбуваються. Тому touch, виміряний за фактичними угодами, і touch, розрахований у безперервній моделі, можуть відрізнятися в один і той самий день.

Поширені запитання

Що таке ймовірність дотику в торгівлі опціонами?

Ймовірність дотику — це ймовірність того, що базовий актив досягне певного strike у будь-який момент до експірації опціону, а не лише на дату експірації. Це показник, який має значення для всього, що може спрацювати протягом строку дії опціону, зокрема для stop-ордерів, сповіщень, ролювання позицій і ризику дострокового призначення.

Чи завжди ймовірність дотику вдвічі вища за ймовірність ITM?

Ні. Подвоєння є наближенням, яке працює за нульового дрейфу, сталої волатильності та безперервного моніторингу ціни. Для strike, близьких до поточної ціни, оцінка зазвичай є близькою. Вона стає менш точною, коли strike віддаляється або коли базовий актив рухається в певному напрямку.

Чи показує delta ймовірність дотику?

Delta наближено показує ймовірність ITM, а не ймовірність дотику. Подвоєння delta дає практичну оцінку ймовірності дотику. Саме тому strike із delta 25 часто описують як такий, що має приблизно 50% імовірність бути досягнутим у певний момент до експірації.

Чому stop-loss-ордери на рівні short strike шкодять позиціям із проданими опціонами?

Stop-ордер на рівні strike спрацьовує за фактом дотику, тоді як виплата за опціоном визначається ціною на момент завершення строку дії. Оскільки дотик відбувається приблизно вдвічі частіше, stop закриває багато позицій, які інакше завершилися б без вартості. У результаті частина прибуткових угод перетворюється на зафіксовані збитки.

Кожна панель містить точний SQL-запит, за яким її було сформовано. Тому кількість дотиків і кількість досягнень рівня на момент завершення можна відстежити рядок за рядком. Щоб виконати такий самий тест «дотик проти завершення» для іншого тикера або іншого горизонту, сформулюйте запит звичайною англійською мовою в терміналі Strasmore.