Wahrscheinlichkeit Berührung vs. ITM

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Ausübungspreis berührt wird, und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Option im Geld endet, messen bei derselben Option zwei unterschiedliche Dinge. Die Wahrscheinlichkeit, im Geld zu enden, bezieht sich auf das Ergebnis: wo der Basiswert am Verfallstag notiert. Die Wahrscheinlichkeit einer Berührung bezieht sich auf den Weg dorthin: ob der Basiswert den Ausübungspreis irgendwann vor dem Verfall erreicht. Bei einem Ausübungspreis außerhalb des Geldes liegt die Wahrscheinlichkeit einer Berührung ungefähr doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit, im Geld zu enden. Diese Differenz ist die am meisten unterschätzte Kennzahl im Handel mit dem Verkauf von Optionsprämien.

Wahrscheinlichkeit der Berührung gegenüber der Wahrscheinlichkeit, im Geld zu sein

Nehmen Sie eine Aktie, die bei 100 $ handelt, und eine Kaufoption mit einem Ausübungspreis von 105 $ und einer Restlaufzeit von einem Monat. Die Wahrscheinlichkeit, im Geld zu sein, stellt eine Frage zu einem einzigen Zeitpunkt: Schließt die Aktie am Verfallstag über 105 $? Die Wahrscheinlichkeit der Berührung stellt dieselbe Frage für jeden zwischenzeitlichen Kurs: Handelt die Aktie auch nur einmal bei 105 $? Ein Kursverlauf, der in der zweiten Woche auf 106 $ steigt und anschließend bei 99 $ schließt, gilt als Berührung, aber nicht als Abschluss im Geld.

Aus den Definitionen ergeben sich zwei Punkte. Die Wahrscheinlichkeit der Berührung kann nie niedriger sein als die Wahrscheinlichkeit, im Geld zu sein. Jeder Kursverlauf, der über dem Ausübungspreis endet, musste diesen auf dem Weg dorthin überschreiten. Außerdem bestimmt die Wahrscheinlichkeit der Berührung alles, was vor dem Verfall geschieht: eine Benachrichtigung, eine Anpassung der Position, eine Stop-Order oder die Sorge vor einer Zuteilung bei einer leerverkauften Kaufoption. Die Wahrscheinlichkeit, im Geld zu sein, bestimmt dagegen die Abwicklung selbst. Darum geht es in was passiert, wenn eine Option im Geld verfällt.

Warum liegt die Wahrscheinlichkeit einer Berührung ungefähr doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld endet?

Die kurze Antwort beruht auf einem Spiegelungsargument, das in der Wahrscheinlichkeitsrechnung als Reflexionsprinzip bekannt ist. Stellen Sie sich den Basiswert als Random Walk ohne Drift vor: Er bewegt sich bei konstanter Volatilität nach oben und unten. Die Entwicklung wird kontinuierlich beobachtet und weist keine eingebaute Tendenz in eine Richtung auf.

Nehmen Sie einen Pfad, der den Ausübungspreis vor dem Verfall berührt und anschließend unterhalb davon endet. Ab dem Zeitpunkt der ersten Berührung wird jede spätere Bewegung gespiegelt. Aus einer Aufwärtsbewegung wird eine Abwärtsbewegung und umgekehrt. In einem symmetrischen Modell ohne Drift ist der gespiegelte Pfad exakt so wahrscheinlich wie der ursprüngliche. Er endet außerdem in derselben Entfernung oberhalb des Ausübungspreises, in der der ursprüngliche Pfad darunter endet. Jeder Pfad, der den Ausübungspreis berührt und anschließend zurückfällt, lässt sich daher eins zu eins einem Pfad zuordnen, der ihn berührt und darüber endet. Die Pfade, die im Geld enden, bilden die Hälfte der Pfade mit Berührung. Deshalb liegt die Berührungswahrscheinlichkeit ungefähr doppelt so hoch wie die ITM-Wahrscheinlichkeit.

Vier Annahmen tragen dieses Ergebnis. Keine davon ist exakt erfüllt:

• Keine Drift. Aktienindizes sind über lange Zeiträume gestiegen. Dadurch weichen die Wahrscheinlichkeiten einer Berührung und eines Abschlusses oberhalb des Ausübungspreises vom symmetrischen Fall ab.
• Konstante Volatilität. Die tatsächliche Volatilität weist Cluster auf. Auf ruhige Phasen folgen oft heftige Bewegungen. Wie diese Kennzahl überhaupt geschätzt wird, wird unter Berechnung der impliziten Volatilität erläutert.
• Kontinuierliche Beobachtung. Eine Berührung zählt nur, wenn jemand den Kurs kontinuierlich überwacht. Wird ein Niveau zwischen zwei Handelssitzungen durchbrochen, gilt dies im regulären Handel nicht als Berührung.
• Ein fester Ausübungspreis. Rollvorgänge, Anpassungen und eine vorzeitige Ausübung bei Kontrakten amerikanischen Typs verändern jeweils das beobachtete Niveau.

Die Verdopplungsregel ist eine Faustregel mit mathematischer Herleitung. Für Ausübungspreise nahe am Geld ist sie relativ genau; je weiter sich der Ausübungspreis entfernt, desto ungenauer wird sie.

What price history says about touch versus finish

The rule is testable without any model at all. The panel below walks every SPY session since 2011, draws a level 1%, 2%, 3%, and 5% above that day's close, then looks forward 21 sessions, roughly a calendar month. It records two things: whether any session high in that month reached the level (a touch), and whether the close at the end of the month landed at or above it (the finish).

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date >= '2011-01-01'
          AND date <  '2026-07-01'
        GROUP BY date
    ),
    fwd AS (
        SELECT
            c AS spot,
            max(h) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN 1 FOLLOWING AND 21 FOLLOWING)      AS fwd_max_high,
            leadInFrame(c, 21) OVER (ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 21 FOLLOWING) AS close_fwd_21
        FROM bars
    ),
    trials AS (
        SELECT
            arrayJoin([1, 2, 3, 5])     AS pct_away,
            spot * (1 + pct_away / 100) AS level,
            fwd_max_high >= level       AS touched,
            close_fwd_21 >= level       AS finished_above
        FROM fwd
        WHERE close_fwd_21 > 0
    )
SELECT
    concat(toString(pct_away), '% above spot')   AS strike_distance,
    round(100 * avg(touched), 1)                 AS touch_pct,
    round(100 * avg(finished_above), 1)          AS finish_above_pct,
    round(avg(touched) / avg(finished_above), 2) AS touch_to_finish_ratio,
    count()                                      AS windows
FROM trials
GROUP BY pct_away
ORDER BY pct_away

Over 3874 monthly windows, a level 1% above spot was touched 83.8% of the time and finished above only 56.7% of the time, a ratio of 1.48. At the far end of the curve, 5% above spot, touch ran 19.6% against a finish rate of 12.3%, a ratio of 1.6. The ratio sits near two across the whole curve, which is where the mirror argument puts it, on fifteen years of tape and no model at all.

Ist Delta ein guter Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Option im Geld endet?

Delta misst die Sensitivität des Optionspreises gegenüber einer Bewegung des Basiswerts um $1. Gleichzeitig dient Delta als grobe Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass der Kontrakt im Geld endet. Ein Call mit einem Delta von 25 gewinnt bei einer Bewegung der Aktie um $1 ungefähr $0,25. Zugleich liegt die Wahrscheinlichkeit, dass er oberhalb seines Ausübungspreises verfällt, grob bei 25 %. Die Schätzung ist nicht exakt. Delta wird unter denselben Annahmen einer driftfreien Entwicklung und konstanter Volatilität berechnet. Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass ein Call im Geld endet, liegt etwas unter dem Delta. Unser Erklärstück zu Delta bei Optionen erläutert die Mechanik.

Verwenden Sie Delta als Schätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld endet. Die Verdopplungsregel liefert Ihnen damit kostenlos eine Schätzung der Touch-Wahrscheinlichkeit. Das folgende Panel ordnet die Kontrakt-Tage von SPY über sechs Monate nach der Höhe des Delta. Berücksichtigt werden Kontrakte mit 20 bis 45 Tagen Restlaufzeit. Die beiden Kennzahlen werden jeweils direkt gegenübergestellt.

WITH graded AS (
    SELECT
        toUInt16(round(100 * abs(delta) / 5) * 5) AS delta_bucket,
        abs(delta)                                AS abs_delta
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-01-01'
      AND date <  '2026-07-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(delta) BETWEEN 0.05 AND 0.45
)
SELECT
    concat(toString(delta_bucket), ' delta') AS short_strike,
    round(100 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_itm_pct,
    round(200 * avg(abs_delta), 1)           AS approx_touch_pct,
    count()                                  AS contract_days
FROM graded
GROUP BY delta_bucket
ORDER BY delta_bucket

Im 25 delta-Bucket betrug das durchschnittliche Delta über 5211 Kontrakt-Tage 25%. Nach der Verdopplungsregel lag die Wahrscheinlichkeit, dass der Basiswert den betreffenden Ausübungspreis irgendwann während der Laufzeit des Kontrakts erreicht, bei 49.9%. Ein Ausübungspreis, bei dem die Option nur in etwa einem von vier Fällen im Geld endet, wird mit nahezu gleicher Wahrscheinlichkeit erreicht oder verfehlt.

Warum ein Stop am Short-Strike Gewinner in Verlierer verwandelt

Hier endet die akademische Unterscheidung. Ein Trader, der einen Call mit 25-Delta verkauft und eine Stop-Order am Strike platziert, hat eine Position mit zwei unterschiedlichen Ausstiegskriterien aufgebaut. Der Ertrag der Option wird anhand des Schlussstands abgerechnet. Das entsprechende Ereignis tritt ungefähr in einem von vier Fällen ein. Der Stop wird dagegen bereits beim Berühren des Kursniveaus ausgelöst. Das geschieht ungefähr in einem von zwei Fällen.

Auf dieser Grundlage wird der Stop etwa in der Hälfte der Fälle ausgelöst. Die meisten dadurch geschlossenen Trades sind Positionen, die das Niveau berührt haben und anschließend zurückgekommen sind. Genau diese Trades wären wertlos verfallen und hätten die vollständige Prämie eingebracht. Der Stop verwandelt einen großen Teil der Gewinner in realisierte Verluste. Den Extremfall, den er eigentlich begrenzen soll, reduziert er kaum. Bei einer Kurslücke durch den Strike wird die Position ohnehin unterhalb des Stop-Preises ausgeführt. Wer eine Position anhand der Berührungswahrscheinlichkeit statt anhand des Delta dimensioniert, kalkuliert den Ausstieg ein, den der Trader tatsächlich erleben wird. Eine Positionsgröße auf Basis der erwarteten Bewegung aus der impliziten Volatilität folgt demselben Gedanken aus Sicht der Volatilität.

Ein Verlauf, der das Niveau berührte und zurückkam

Juli 2024 liefert ein klares, in der Vergangenheit fixiertes Beispiel, sodass sich die Zahlen nicht ändern. Die Grafik setzt am ersten Handelstag im Juli an, legt ein Niveau 2 % über diesem Schlusskurs fest und verfolgt SPY bis zur ersten Augustwoche. Die spy_high-Serie zeigt die Berührung des Niveaus. Die spy_close-Serie bestimmt den Schlussstand.

WITH
    bars AS (
        SELECT
            date,
            any(toFloat64(close)) AS c,
            max(toFloat64(high))  AS h
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2024-07-01' AND '2024-08-08'
        GROUP BY date
    ),
    anchor AS (
        SELECT argMin(c, date) * 1.02 AS lvl
        FROM bars
    )
SELECT
    toString(b.date)                  AS session_date,
    round(b.c, 2)                     AS spy_close,
    round(b.h, 2)                     AS spy_high,
    round(a.lvl, 2)                   AS strike_level,
    round(100 * (b.c / a.lvl - 1), 2) AS close_vs_level_pct,
    round(100 * (max(b.h) OVER (ORDER BY b.date ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) / a.lvl - 1), 2) AS run_max_vs_level_pct
FROM bars AS b
CROSS JOIN anchor AS a
ORDER BY b.date

SPY eröffnete den Beobachtungszeitraum bei $545.34. Damit lag das Niveau bei $556.25. Das zwischenzeitliche Hoch lag am Ende des Zeitraums 1.6% über diesem Niveau. Das Niveau wurde im Beobachtungszeitraum also erreicht. Der Schlusskurs lag schließlich -4.6% gegenüber demselben Niveau. Eine dort ausgeübte Short-Call-Position wäre im Verlauf berührt worden und am Ende dennoch aus dem Geld gewesen. Ein Stop beim Ausübungspreis hätte die Position irgendwo zwischen diesen beiden Punkten geschlossen.

Wo die Verdopplungsregel nicht greift

Zwei Fälle sind besonders wichtig. Bei weit aus dem Geld liegenden Ausübungspreisen steigt das Verhältnis über zwei, wenn die Wahrscheinlichkeit einer Ausübung im Geld gegen null geht. Zu diesem Zeitpunkt sind jedoch beide Werte so klein, dass der Unterschied nur selten eine Entscheidung verändert. Ein stark trendender Basiswert durchbricht die Symmetrie, auf der das Spiegelargument beruht. Die Drift macht den Aufwärts- und den Abwärtspfad von vornherein ungleich. Darüber hinaus ist bei kurzen Zeithorizonten die Granularität der Überwachung entscheidend: Ein Kurs, der über Nacht mit einer Kurslücke über einen Ausübungspreis springt, wird dort nie gehandelt. Deshalb können sich eine im Tape gemessene Berührung und eine Berührung in einem kontinuierlichen Modell am selben Tag unterscheiden.

FAQ

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Basiswert beim Optionshandel den Ausübungspreis berührt?

Die Wahrscheinlichkeit des Berührens bezeichnet die Chance, dass der Basiswert den jeweiligen Ausübungspreis irgendwann vor dem Verfall der Option erreicht oder überschreitet – nicht nur am Verfallstag. Diese Kennzahl ist für alles relevant, was während der Laufzeit ausgelöst werden kann, darunter Stop-Orders, Kursalarme, Rollvorgänge und das Risiko einer vorzeitigen Zuteilung.

Ist die Wahrscheinlichkeit des Berührens immer doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld liegt?

Nein. Die Verdoppelung ist eine Näherung, die bei einer Drift von null, konstanter Volatilität und kontinuierlicher Kursüberwachung gilt. Für Ausübungspreise nahe am Geld ist sie relativ genau. Je weiter der Ausübungspreis entfernt liegt oder je stärker der Basiswert tendiert, desto größer wird die Abweichung.

Gibt das Delta die Wahrscheinlichkeit des Berührens an?

Nein. Das Delta nähert die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Option im Geld liegt, nicht die Wahrscheinlichkeit des Berührens. Eine Verdoppelung des Deltas liefert eine praktikable Schätzung für die Wahrscheinlichkeit des Berührens. Deshalb wird bei einem Ausübungspreis mit einem Delta von 25 häufig von einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 50 % gesprochen, dass er irgendwann vor dem Verfall erreicht wird.

Warum belasten Stop-Loss-Orders am Ausübungspreis Short-Optionspositionen?

Ein Stop am Ausübungspreis wird durch das Berühren ausgelöst. Der Auszahlungsbetrag der Option hängt dagegen vom Schlusskurs beziehungsweise vom Kurs am Verfall ab. Da der Ausübungspreis ungefähr doppelt so häufig berührt wird, schließt der Stop viele Positionen, die wertlos verfallen wären. Dadurch werden profitable Trades teilweise in realisierte Verluste verwandelt.

Jede Grafik enthält hier den exakten SQL-Code, mit dem sie erzeugt wurde. Dadurch lassen sich die Zahlen zu Berührungen und zum Verfall Zeile für Zeile nachvollziehen. Um denselben Vergleich zwischen Berührung und Schlusskurs für einen anderen ticker oder einen anderen Zeitraum durchzuführen, formulieren Sie die Frage in natürlicher Sprache im Strasmore-Terminal.