Put-Call Parity: حقیقی نمبروں سے وضاحت

Put-call parity وہ مقررہ arithmetic ہے جو call، matching put، underlying share اور cash loan کو ایک ہی قیمت سے جوڑتی ہے۔ ایک ہی strike اور expiration date رکھنے والے European options کے لیے call price minus put price، stock کی forward price اور اس strike کے درمیان فرق کی discounted value کے برابر ہوتا ہے۔ کسی حقیقی chain پر یہ relation لاگو کریں تو options سے implied share price ملتی ہے، جو tape پر موجود قیمت سے شاذ ہی برابر ہوتی ہے۔ دونوں کے درمیان فرق میں dividend اور financing rate شامل ہوتے ہیں۔

Put-call parity دراصل کیا بتاتی ہے

مکمل طور پر لکھیں تو relation C - P = S - PV(K) - PV(D) ہے۔ C سے مراد اسی strike اور expiration پر call price ہے، جبکہ P put price ہے۔ S آج کی share price ہے۔ PV(K) سے مراد financing rate پر discount کی گئی strike ہے، اور PV(D) ان dividends کی present value ہے جو share expiration سے پہلے ادا کرتی ہے۔ Call options strike پر خریدنے کا حق دیتی ہیں، جبکہ put options اسی strike پر فروخت کرنے کا حق دیتی ہیں۔

اس algebra کے پیچھے ایک مکمل package ہے۔ ایک strike پر call خریدیں اور put فروخت کریں تو expiration کے دن آپ اسی strike پر share کے مالک بن جاتے ہیں، قیمت چاہے کچھ بھی ہو: strike سے اوپر قیمت ہو تو آپ exercise کرتے ہیں، اور strike سے نیچے ہو تو آپ کو assignment ملتی ہے۔ یہ جوڑا synthetic long share position ہوتا ہے، جو credit پر خریدی گئی ہو؛ یعنی share کی ادائیگی آج کے بجائے expiration پر ہوتی ہے، اور اس دوران کوئی dividend وصول نہیں ہوتا۔ Parity صرف ان دونوں adjustments کی pricing کرتی ہے، اس کے علاوہ کچھ نہیں۔

فرض کریں share کی قیمت $100 ہے، ایک سالہ call کا strike $100 ہے اور اس کا quote $9 ہے، matching put $5 پر ہے، اور درمیان میں کوئی dividend نہیں۔ اس جوڑے کی لاگت $4 بنتی ہے۔ Strike دوبارہ شامل کریں تو options، $100 پر quoted share کے لیے $104 کی implied قیمت دیتے ہیں۔ یہ $4 ایک سال کے مؤخر شدہ purchase price پر سود ہے، یعنی تقریباً چار فیصد۔ یہ اعداد صرف وضاحت کے لیے ہیں اور آسان arithmetic کے لیے round رکھے گئے ہیں۔

Options سے implied share price

Relation کو rearrange کریں تو اس سے share price کی اپنی قیمت ملتی ہے: call price minus put price plus strike۔ ایک ہی expiration پر ہر strike کے لیے یہ subtraction کریں تو نتائج ایک دوسرے سے چند pennies کے اندر آتے ہیں۔ یہی synthetic stock price ہے، اور اس price اور tape پر موجود close کے درمیان فرق synthetic کا basis یا carry ہے۔ Expiration تک interest basis کو اوپر لے جاتا ہے۔ Expiration سے پہلے ادا ہونے والے dividends اسے نیچے لاتے ہیں۔

Parity gap میں کیا شامل ہوتا ہے

چار چیزیں، اور صرف چار:

• Expiration تک interest۔ Strike ابھی کے بجائے بعد میں ادا کرنا contract کی مدت کے لیے loan کے برابر ہے، اور یہ جوڑا اس کی لاگت وصول کرتا ہے۔
• Expiration سے پہلے dividends۔ Synthetic holder کو کوئی dividend نہیں ملتا، اس لیے contract ختم ہونے سے پہلے ex ہونے والا ہر dividend gap سے منہا ہو جاتا ہے۔
• Borrow cost۔ جو فریق دوسری طرف کھڑا ہو کر share short کرتا ہے، وہ stock loan fee ادا کرتا ہے، اور یہ fee بھی اسی gap میں شامل ہو جاتی ہے۔
• American contracts میں early exercise value، جو equality کو ایک band میں بدل دیتی ہے۔

مختلف expirations پر یہی relation

Interest روزانہ accrue ہوتا ہے اور dividends مخصوص dates پر ادا ہوتے ہیں، اس لیے basis ایک واحد number کے بجائے curve ہوتا ہے۔ ایک chain اس curve پر ایک اضافی readout بھی دیتی ہے۔ Parity ایک strike پر call اور put کو ایک forward سے جوڑتی ہے، اس لیے chain کے اپنے rate اور dividend سے کام کرنے والا pricer دونوں legs کے لیے ایک ہی implied volatility واپس دیتا ہے۔ Legs کے درمیان فرق assumptions کے درمیان فرق کو ظاہر کرتا ہے۔

یہ panel ماضی کی ایک تاریخ پر fixed ہے، اس لیے اس صفحے کے numbers تبدیل نہیں ہوتے: July 2026 سے January 2027 تک AAPL کی monthly expirations، June 16, 2026 کے session سے لی گئی ہیں، اور ہر expiration کے لیے close کے قریب ترین strike استعمال کیا گیا ہے۔

SELECT
    expiry_date,
    days_out,
    concat('$', toString(argMin(strike, atm_gap)))                        AS atm_strike_used,
    round(100 * argMin(call_iv, atm_gap), 1)                              AS call_iv_pct,
    round(100 * argMin(put_iv, atm_gap), 1)                               AS put_iv_pct,
    round(100 * (argMin(call_iv, atm_gap) - argMin(put_iv, atm_gap)), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        expiry_date,
        days_out,
        strike,
        call_iv,
        put_iv,
        abs(strike / spot_close - 1) AS atm_gap
    FROM
    (
        SELECT
            toString(expiration_date)                                    AS expiry_date,
            max(dateDiff('day', toDate(date), toDate(expiration_date)))  AS days_out,
            round(toFloat64(strike_price), 2)                            AS strike,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')              AS call_iv,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')              AS put_iv,
            max(toFloat64(underlying_close))                             AS spot_close
        FROM
        (
            SELECT
                date,
                expiration_date,
                strike_price,
                implied_volatility,
                underlying_close,
                upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
            FROM global_markets.options_greeks
            WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
              AND date = '2026-06-16'
              AND expiration_date BETWEEN '2026-07-01' AND '2027-01-31'
              AND toDayOfWeek(toDate(expiration_date)) = 5
              AND toDayOfMonth(toDate(expiration_date)) BETWEEN 15 AND 21
              AND iv_converged = 1
              AND volume > 0
              AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
        )
        GROUP BY expiry_date, strike
        HAVING countIf(leg = 'C') > 0
           AND countIf(leg = 'P') > 0
    )
)
GROUP BY expiry_date, days_out
ORDER BY expiry_date

2026-07-17 پر، 31 دن باقی ہونے کے ساتھ، $300 strike پر call 21.9 percent پر تھی جبکہ put 20.5 percent پر، اور gap 1.4 points تھا۔ 2027-01-15 پر، 213 دن باقی ہونے کے ساتھ، gap 0.3 points ہے۔ پورے calendar میں دونوں legs ایک دوسرے کے ساتھ نیچے حرکت کرتی ہیں۔

Implied dividend یا implied borrow rate کیسے نکالیں

Implied dividend کے لیے ایسی دو expirations لیں جو کمپنی کی ex-dividend date کے دونوں طرف ہوں، ہر ایک کا basis نکالیں، پھر دونوں میں فرق کریں۔ اضافی دنوں کے دوران اضافی interest کم اور prevailing bill rate سے قابلِ حساب ہوتا ہے۔ اس کے بعد جو باقی رہ جائے، وہ وہ cash ہے جس کے درمیان ex ہونے کی chain توقع کر رہی ہے۔ اسے ہماری ex-dividend dates and options page پر موجود declared schedule کے مقابل رکھیں، تو chain کی اپنی dividend assumption سامنے آ جاتی ہے۔

Implied borrow rate کے لیے عمل الٹا کریں۔ Dividend کو declared amount پر اور financing کو bill rate پر fixed رکھیں، ان دونوں سے پیدا ہونے والا basis نکالیں، پھر اسے chain کے quoted basis سے compare کریں۔ آسانی سے borrow ہونے والے share میں دونوں ایک دوسرے کے برابر آتے ہیں۔ Hard-to-borrow share میں quoted basis computed basis سے نیچے ہوتا ہے، اور یہ annualized shortfall وہ borrow fee ہے جو options charge کر رہے ہوتے ہیں۔

اس کے لیے پہلے یہ معلوم ہونا ضروری ہے کہ screen سے کون سی دو prices لینی ہیں، اور ہماری option chain guide layout کی وضاحت کرتی ہے۔

American options equality کو کہاں توڑتے ہیں

American options کو expiration تک کسی بھی دن exercise کیا جا سکتا ہے۔ European options صرف expiration پر exercise ہو سکتے ہیں، اور strict equality کے طور پر parity کا اطلاق European case پر ہوتا ہے۔ American contracts میں یہ relation ایک band میں تبدیل ہو جاتی ہے، جو اس سمت میں زیادہ چوڑی ہوتی ہے جہاں early exercise کا قیمتی حق موجود ہو۔ American call کو جلد exercise کرنا صرف اس وقت فائدہ مند ہوتا ہے جب کسی dividend سے فوراً پہلے اس کی remaining time value سے بڑا فائدہ حاصل ہو؛ اسی لیے early call exercise عموماً ex-dividend date سے ایک دن پہلے concentrated ہوتی ہے۔

ایک ہی expiration پر مختلف strikes کے درمیان بھی یہی volatility test چلتا ہے، اور اسی مقام پر band کی چوڑائی ظاہر ہوتی ہے۔

SELECT
    strike,
    round(100 * call_iv, 1)             AS call_iv_pct,
    round(100 * put_iv, 1)              AS put_iv_pct,
    round(100 * (call_iv - put_iv), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        round(toFloat64(strike_price), 2)                AS strike,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')  AS call_iv,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')  AS put_iv
    FROM
    (
        SELECT
            strike_price,
            implied_volatility,
            upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
          AND date = '2026-06-16'
          AND expiration_date = '2026-09-18'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.15
          AND toUInt32(toFloat64(strike_price)) % 5 = 0
    )
    GROUP BY strike
    HAVING countIf(leg = 'C') > 0
       AND countIf(leg = 'P') > 0
)
ORDER BY strike

Ladder کے پورے حصے میں دونوں lines ایک ساتھ حرکت کرتی ہیں۔ 255 strike پر call 30.5 percent اور put 29.3 percent imply کرتی ہے، جبکہ gap 1.2 points ہے۔ Far strikes پر جہاں gap کھلتا ہے، وہاں ممکنہ وجوہات میں ایک طرف stale closing print، اس strike پر thin market، model میں شامل نہ کیا گیا early exercise premium، یا chain کی priced dividend سے مختلف dividend assumption شامل ہو سکتی ہے۔

Conversions اور reversals، وہ flow جو relation کو نافذ کرتا ہے

Conversion میں long shares، short call اور ایک ہی strike پر long put شامل ہوتے ہیں۔ Reversal اس کا mirror ہوتا ہے۔ دونوں packages expiration پر share price کے مقابلے میں flat رہتے ہیں، اور باقی financing اور dividend terms رہ جاتی ہیں۔ Market makers انہیں اس وقت لگاتے ہیں جب یہ جوڑا ان کی costs سے زیادہ فرق پر چلا جائے، اور یہ flow quotes کو دوبارہ line کی طرف کھینچتا ہے۔ اس میں موجود edge ان desks کو حاصل ہوتا ہے جن کے پاس سستی financing اور اپنے پیچھے stock loan book ہو؛ یہ صفحہ اس trade کی رہنمائی نہیں کرتا۔

Parity، put/call ratio سے کیسے مختلف ہے

دونوں کو ایک دوسرے سے confuse کیا جاتا ہے۔ Put-call parity ایک strike پر ایک call اور ایک put کے درمیان pricing identity ہے، اور یہ arithmetic ہے۔ Put/call ratio پوری chain میں volume یا open interest کو شمار کرتا ہے اور اسے sentiment gauge کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔ Parity بتاتی ہے کہ share کے مقابلے میں ایک جوڑے کی قیمت کیا ہونی چاہیے۔ Ratio بتاتا ہے کہ لوگوں نے کیا trade کیا۔

FAQ

Put-call parity formula کیا ہے؟

ایک ہی strike اور expiration رکھنے والے European options کے لیے call price minus put price، share price minus strike کی present value minus expiration سے پہلے ادا ہونے والے dividends کی present value کے برابر ہوتا ہے۔ Rearranged صورت میں: call price minus put price plus strike، options سے implied share price دیتا ہے۔

کیا put-call parity American options پر بھی لاگو ہوتی ہے؟

Strict equality کے طور پر نہیں۔ Early exercise rights اسے European relation کے گرد ایک band میں بدل دیتے ہیں۔

Option chain سے implied dividend کیسے calculate کروں؟

ایک strike اور expiration پر call اور put لیں، call minus put plus strike calculate کریں، پھر share price منہا کریں۔ یہ gap expiration تک interest minus expected dividends کے برابر ہے۔ اسی مدت کے bill rate سے interest نکالیں؛ باقی رقم وہ dividend ہے جس کی chain pricing کر رہی ہے۔

ایک ہی strike پر call اور put کی implied volatility ایک جیسی کیوں ہوتی ہے؟

Parity دونوں prices کو ایسے جوڑتی ہے کہ link میں volatility term شامل نہیں ہوتی۔ اس لیے ایک model اگر دیے گئے forward اور discount rate سے ایک option کی pricing کرے تو انہی inputs سے دوسرے option کی بھی pricing کرتا ہے۔

اس صفحے کے ہر panel کے ساتھ اس کے نیچے SQL موجود ہے۔ کسی دوسرے نام یا مزید دور کی expiration پر یہی ladder چلانے کے لیے Strasmore terminal پر plain English میں درخواست کریں۔