Put-Call Parity کیا ہے؟ حقیقی اعداد کے ساتھ وضاحت

Put-call parity ایک مقررہ حسابی تعلق ہے جو call، matching put، underlying share اور cash loan کو ایک ہی price میں باندھتا ہے۔ ایک ہی strike اور expiration date رکھنے والے European options کے لیے call price میں سے put price منہا کرنے پر stock کی forward price اور strike کے discounted فرق کے برابر رقم حاصل ہوتی ہے۔ اس تعلق کو حقیقی option chain پر لاگو کرنے سے options کی implied share price ملتی ہے، جو tape پر درج price سے شاذ ہی عین مطابقت رکھتی ہے۔ دونوں کے درمیان فرق میں dividend اور financing rate شامل ہوتے ہیں۔

Put-call parity دراصل کیا بتاتی ہے

تحریری صورت میں یہ تعلق C - P = S - PV(K) - PV(D) ہے۔ C سے مراد اسی strike اور expiration پر call price ہے، جبکہ P put price ہے۔ S آج کی share price ہے۔ PV(K) سے مراد financing rate پر discount کی گئی strike ہے، اور PV(D) ان dividends کی present value ہے جو share expiration سے پہلے ادا کرتی ہے۔ Call options strike پر خریدنے کا حق دیتے ہیں، جبکہ put options اسی strike پر فروخت کرنے کا حق دیتے ہیں۔

اس algebra کے پیچھے ایک مکمل package موجود ہے۔ ایک ہی strike پر call خریدنے اور put فروخت کرنے سے expiration کے دن آپ اس strike پر share کے مالک بن جاتے ہیں، چاہے price کچھ بھی ہو: strike سے اوپر price ہو تو آپ exercise کرتے ہیں، اور strike سے نیچے ہو تو آپ کو assignment ملتی ہے۔ یہ pair ایک synthetic long share position ہے، جو credit پر خریدی جاتی ہے۔ اس میں share کی ادائیگی آج کے بجائے expiration پر ہوتی ہے، اور اس دوران کوئی dividend وصول نہیں ہوتا۔ Parity صرف انہی دو adjustments کی قیمت متعین کرتی ہے۔

فرض کریں share $100 پر ہے، ایک سال کی call کا strike $100 ہے اور اس کا quote $9 ہے، matching put $5 پر ہے، اور درمیان میں کوئی dividend نہیں۔ اس pair کی cost $4 بنتی ہے۔ Strike دوبارہ شامل کرنے پر options ایسی share price imply کرتے ہیں جو $104 ہے، جبکہ quoted share price $100 ہے۔ یہ $4 ایک سال کے مؤخر شدہ purchase price پر interest ہے، جو تقریباً چار فیصد بنتا ہے۔ یہ اعداد صرف مثال کے لیے ہیں اور حساب کو آسان رکھنے کے لیے منتخب کیے گئے ہیں۔

Options کی implied share price

تعلق کو rearrange کرنے پر اپنی الگ share price ملتی ہے: call price میں سے put price منہا کریں اور strike جمع کر دیں۔ ایک ہی expiration پر ہر strike کے لیے یہ subtraction کرنے سے حاصل ہونے والے اعداد عموماً چند pennies کے فرق سے ایک دوسرے کے قریب آتے ہیں۔ یہ synthetic stock price ہے۔ اس price اور tape پر موجود close کے درمیان فاصلہ synthetic کا basis یا carry ہے۔ Expiration تک interest basis کو اوپر لے جاتا ہے۔ Expiration سے پہلے ادا ہونے والے dividends اسے نیچے لاتے ہیں۔

Parity gap میں کیا شامل ہوتا ہے

چار چیزیں، اور صرف چار:

• Expiration تک interest۔ Strike ابھی کے بجائے بعد میں ادا کرنا contract کی مدت تک loan کے برابر ہے، اور pair اس کی cost وصول کرتا ہے۔
• Expiration سے پہلے dividends۔ Synthetic holder کو کوئی dividend نہیں ملتا، اس لیے contract expire ہونے سے پہلے ex ہونے والا ہر dividend gap میں سے منہا ہو جاتا ہے۔
• Borrow cost۔ جو فریق دوسری طرف ہو اور share short کرے، وہ stock loan fee ادا کرتا ہے، اور یہ fee بھی اسی gap میں شامل ہوتی ہے۔
• American contracts میں early exercise value، جو equality کو ایک band میں بدل دیتی ہے۔

Expirations کے درمیان یہی تعلق

Interest روزانہ accrue ہوتا ہے اور dividends مخصوص تاریخوں پر ادا ہوتے ہیں، اس لیے basis ایک single number کے بجائے curve ہوتا ہے۔ Option chain اس curve پر ایک اضافی readout دیتی ہے۔ Parity ایک strike پر call اور put کو ایک forward سے جوڑتی ہے۔ چنانچہ chain کے اپنے rate اور dividend سے کام کرنے والا pricer دونوں legs کے لیے ایک ہی implied volatility واپس دیتا ہے۔ Legs کے درمیان daylight assumptions کے درمیان فرق کو ظاہر کرتی ہے۔

یہ panel ماضی کے data پر مبنی ہے، اس لیے اس صفحے کے اعداد کبھی تبدیل نہیں ہوتے: July 2026 سے January 2027 تک AAPL کی monthly expirations، June 16, 2026 کے session سے لی گئی ہیں، اور ہر expiration کے لیے close کے قریب ترین strike استعمال کیا گیا ہے۔

SELECT
    expiry_date,
    days_out,
    concat('$', toString(argMin(strike, atm_gap)))                        AS atm_strike_used,
    round(100 * argMin(call_iv, atm_gap), 1)                              AS call_iv_pct,
    round(100 * argMin(put_iv, atm_gap), 1)                               AS put_iv_pct,
    round(100 * (argMin(call_iv, atm_gap) - argMin(put_iv, atm_gap)), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        expiry_date,
        days_out,
        strike,
        call_iv,
        put_iv,
        abs(strike / spot_close - 1) AS atm_gap
    FROM
    (
        SELECT
            toString(expiration_date)                                    AS expiry_date,
            max(dateDiff('day', toDate(date), toDate(expiration_date)))  AS days_out,
            round(toFloat64(strike_price), 2)                            AS strike,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')              AS call_iv,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')              AS put_iv,
            max(toFloat64(underlying_close))                             AS spot_close
        FROM
        (
            SELECT
                date,
                expiration_date,
                strike_price,
                implied_volatility,
                underlying_close,
                upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
            FROM global_markets.options_greeks
            WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
              AND date = '2026-06-16'
              AND expiration_date BETWEEN '2026-07-01' AND '2027-01-31'
              AND toDayOfWeek(toDate(expiration_date)) = 5
              AND toDayOfMonth(toDate(expiration_date)) BETWEEN 15 AND 21
              AND iv_converged = 1
              AND volume > 0
              AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
        )
        GROUP BY expiry_date, strike
        HAVING countIf(leg = 'C') > 0
           AND countIf(leg = 'P') > 0
    )
)
GROUP BY expiry_date, days_out
ORDER BY expiry_date

2026-07-17 پر، 31 دن باقی ہونے کے ساتھ، $300 strike کی call 21.9 percent پر تھی، جبکہ put 20.5 percent پر تھی؛ فرق 1.4 points تھا۔ 2027-01-15 پر، 213 دن باقی ہونے کے ساتھ، gap 0.3 points ہے۔ دونوں legs پورے calendar میں ایک دوسرے کے ساتھ نیچے آتی ہیں۔

Implied dividend یا implied borrow rate کیسے نکالیں

Implied dividend کے لیے ایسی دو expirations لیں جو کمپنی کی ex-dividend date کے دونوں طرف ہوں۔ ہر expiration کا basis نکالیں اور دونوں میں فرق کریں۔ اضافی دنوں کا اضافی interest موجودہ bill rate سے کم اور قابلِ حساب ہوتا ہے۔ جو رقم باقی بچے گی وہ وہ cash ہے جس کے درمیان میں ex ہونے کی chain توقع کر رہی ہے۔ اسے ہماری ex-dividend dates and options page پر دیے گئے declared schedule سے ملائیں، اور chain کی اپنی dividend assumption سامنے آ جائے گی۔

Implied borrow rate کے لیے طریقہ الٹا چلائیں۔ Dividend کو declared amount پر اور financing کو bill rate پر مقرر کریں۔ ان دونوں سے پیدا ہونے والا basis نکالیں اور اسے chain کے quoted basis سے ملائیں۔ آسانی سے borrow ہونے والے share میں دونوں اعداد تقریباً ایک جیسے ہوں گے۔ Hard-to-borrow share میں quoted basis calculated basis سے کم ہوگا، اور annualized shortfall وہ borrow fee ہے جو options وصول کر رہے ہیں۔

اس عمل کے لیے پہلے یہ جاننا ضروری ہے کہ screen سے کون سی دو prices لینی ہیں۔ ہماری option chain guide layout کی وضاحت کرتی ہے۔

American options equality کو کہاں توڑتے ہیں

American options کو expiration تک کسی بھی دن exercise کیا جا سکتا ہے۔ European options صرف expiration پر exercise ہوتے ہیں، اور strict equality کے طور پر parity کا اطلاق European case میں ہوتا ہے۔ American contracts میں یہ equality ایک band میں تبدیل ہو جاتی ہے۔ یہ band اس طرف زیادہ وسیع ہوتی ہے جہاں early exercise کا حق مالی قدر رکھتا ہو۔ American call کو صرف اس وقت جلد exercise کرنا فائدہ مند ہوتا ہے جب dividend قریب ہو اور اس کی رقم باقی time value سے زیادہ ہو۔ اسی لیے early call exercise عموماً ex-dividend date سے ایک دن پہلے ہوتا ہے۔

ایک ہی expiration پر strikes کے درمیان یہی volatility test چلایا جاتا ہے، اور اسی مقام پر band کی چوڑائی ظاہر ہوتی ہے۔

SELECT
    strike,
    round(100 * call_iv, 1)             AS call_iv_pct,
    round(100 * put_iv, 1)              AS put_iv_pct,
    round(100 * (call_iv - put_iv), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        round(toFloat64(strike_price), 2)                AS strike,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')  AS call_iv,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')  AS put_iv
    FROM
    (
        SELECT
            strike_price,
            implied_volatility,
            upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
          AND date = '2026-06-16'
          AND expiration_date = '2026-09-18'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.15
          AND toUInt32(toFloat64(strike_price)) % 5 = 0
    )
    GROUP BY strike
    HAVING countIf(leg = 'C') > 0
       AND countIf(leg = 'P') > 0
)
ORDER BY strike

دونوں lines پوری ladder پر ایک دوسرے کے ساتھ چلتی ہیں۔ 255 strike پر call 30.5 percent اور put 29.3 percent imply کرتا ہے، جبکہ فرق 1.2 points ہے۔ دور والے strikes پر gap کھلے تو ممکنہ وجوہات میں ایک طرف کا stale closing print، اس strike پر thin market، ایسا early exercise premium جسے model شامل نہیں کرتا، یا chain کی قیمت میں شامل dividend assumption سے مختلف dividend assumption ہو سکتی ہے۔

Conversions اور reversals: وہ flow جو parity نافذ کرتا ہے

Conversion میں long shares، short call اور ایک ہی strike پر long put شامل ہوتے ہیں۔ Reversal اس کا mirror ہوتا ہے۔ دونوں packages expiration پر share price کے لحاظ سے flat رہتے ہیں، اور آخر میں financing اور dividend terms باقی رہتے ہیں۔ Market makers انہیں اس وقت قائم کرتے ہیں جب pair اتنا دور چلا جائے کہ ان کی costs پوری ہو سکیں۔ یہ flow quotes کو دوبارہ parity line کی طرف کھینچتا ہے۔ اس میں edge ان desks کو حاصل ہوتی ہے جن کے پاس سستی financing اور stock loan book موجود ہو۔ یہ صفحہ اس strategy کی trading guide نہیں ہے۔

Parity، put/call ratio سے کیسے مختلف ہے

دونوں کو ایک دوسرے کے ساتھ الجھایا جاتا ہے۔ Put-call parity ایک strike پر ایک call اور ایک put کے درمیان pricing identity ہے، اور یہ arithmetic ہے۔ Put/call ratio پوری chain میں volume یا open interest کو شمار کرتا ہے اور اسے sentiment gauge کے طور پر پڑھا جاتا ہے۔ Parity بتاتی ہے کہ share کے مقابلے میں ایک pair کی cost کیا ہونی چاہیے۔ Ratio بتاتا ہے کہ لوگوں نے کیا trade کیا۔

FAQ

Put-call parity formula کیا ہے؟

ایک ہی strike اور expiration والے European options میں call price میں سے put price منہا کرنے پر share price، strike کی present value اور expiration سے پہلے ادا کیے گئے dividends کی present value منہا کرنے کے برابر رقم حاصل ہوتی ہے۔ Rearranged صورت میں call price میں سے put price منہا کر کے strike جمع کرنے سے وہ share price ملتی ہے جو options imply کرتے ہیں۔

کیا put-call parity American options پر لاگو ہوتی ہے؟

Strict equality کے طور پر نہیں۔ Early exercise rights اسے European relation کے گرد ایک band میں تبدیل کر دیتے ہیں۔

Option chain سے implied dividend کیسے calculate کریں؟

ایک ہی strike اور expiration پر call اور put لیں۔ Call میں سے put منہا کریں، strike جمع کریں، اور share price منہا کریں۔ یہ gap expiration تک interest میں سے expected dividends منہا کرنے کے برابر ہے۔ اسی مدت کے bill rate سے interest نکالیں۔ باقی رقم وہ dividend ہے جس کی chain قیمت لگا رہی ہے۔

ایک ہی strike پر call اور put کی implied volatility یکساں کیوں ہوتی ہے؟

Parity دونوں prices کو ایسے تعلق سے باندھتی ہے جس میں volatility term شامل نہیں ہوتا۔ اس لیے جو model ایک leg کی price کسی forward اور discount rate سے نکالتا ہے، وہی inputs استعمال کر کے دوسری leg کی price بھی نکالتا ہے۔

یہاں ہر panel کے ساتھ اس کے نیچے SQL موجود ہے۔ اسی ladder کو کسی دوسرے name یا مزید دور کی expiration پر چلانے کے لیے Strasmore terminal میں plain English میں درخواست دیں۔