Put-Call Parity: Ufafanuzi na Mfano wa Hesabu Halisi

Put-call parity ni hesabu isiyobadilika inayounganisha call, put inayolingana nayo, hisa husika, na mkopo wa fedha taslimu kuwa bei moja. Kwa options za Ulaya (European options) zinazoshiriki strike price na tarehe ya mwisho ya mkataba, bei ya call ikiondoa bei ya put inalingana na tofauti iliyopunguzwa thamani (discounted) kati ya bei ya baadaye (forward price) ya hisa na strike price hiyo. Ukitumia uhusiano huu kwenye mnyororo halisi wa options, unapata bei ya hisa inayodokezwa na options hizo, ambayo mara chache sana huwa ndiyo bei iliyo kwenye soko. Pengo kati ya hizo mbili ndipo mahali ambapo dividend na kiwango cha riba ya ufadhili (financing rate) hukaa.

Put-call parity inamaanisha nini hasa

Ikiandikwa, uhusiano huo ni C - P = S - PV(K) - PV(D). C ni bei ya call na P ni bei ya put katika strike price na muda wa mwisho uleule. S ni bei ya hisa leo. PV(K) ni strike price iliyopunguzwa thamani kwa kutumia kiwango cha riba ya ufadhili, na PV(D) ni thamani ya sasa ya dividends ambazo hisa hulipa kabla ya muda wa mkataba kuisha. Call options hubeba haki ya kununua kwa strike price, na put options hubeba haki ya kuuza kwa bei hiyo.

Nyuma ya aljebra hii kuna kifurushi. Nunua call na uuze put kwa strike price moja na utajikuta unamiliki hisa kwa strike price hiyo siku ya mwisho ya mkataba bila kujali bei itakavyokuwa: ikiwa juu ya strike price unatekeleza haki yako (exercise), ikiwa chini yake unalazimika kuikubali (assigned). Jozi hii ni nafasi ya synthetic long kwenye hisa, iliyonunuliwa kwa mkopo, inayolipiwa hisa wakati wa mwisho wa mkataba badala ya leo, na isiyokusanya dividends zozote katika kipindi hicho. Parity hupangia bei marekebisho hayo mawili na si kingine.

Hebu fikiria hisa ya $100, call ya mwaka mmoja yenye strike price ya $100 iliyonukuliwa kwa $9, put inayolingana nayo kwa $5, na hakuna dividend katikati. Jozi hiyo inagharimu $4. Ongeza strike price na options hizo zinadokeza $104 kwa hisa iliyonukuliwa kwa $100. Hiyo $4 ni riba ya bei ya ununuzi iliyoahirishwa kwa mwaka mmoja, kwa takriban asilimia nne. Takwimu hizo ni za kielelezo, zilizochaguliwa kwa ajili ya hesabu rahisi.

Bei ya hisa inayodokezwa na options

Ikipangwa upya, uhusiano huo hutoa bei ya hisa yenyewe: bei ya call ikiondoa bei ya put ikijumlishwa na strike price. Fanya hesabu hiyo ya kutoa katika kila strike price kwenye muda mmoja wa mwisho wa mkataba na majibu yatakaribiana sana. Namba hiyo ndiyo bei ya synthetic stock, na umbali kati yake na bei ya kufunga soko (close) ndio msingi, au carry, ya synthetic hiyo. Riba hadi muda wa mwisho wa mkataba husukuma msingi huo juu. Dividends kabla ya muda wa mwisho wa mkataba huushusha chini.

Kilichomo ndani ya pengo la parity

Mambo manne, na manne pekee:

• Riba hadi muda wa mwisho wa mkataba. Kulipa strike price baadaye badala ya sasa ni mkopo kwa muda wote wa mkataba, na jozi hiyo hutoza gharama kwa ajili hiyo.
• Dividends kabla ya muda wa mwisho wa mkataba. Mwenye synthetic hakusanyi yoyote, hivyo kila dividend inayotoka (ex-dividend) kabla ya mkataba kuisha hutoka kwenye pengo hilo.
• Gharama ya kukopa (Borrow cost). Yeyote anayechukua upande mwingine na kufanya short kwenye hisa hulipa ada ya mkopo wa hisa, na ada hiyo hutua kwenye pengo hilo hilo.
• Thamani ya kutekeleza haki mapema (early exercise) kwenye mikataba ya Marekani (American contracts), ambayo hugeuza usawa huo kuwa bendi.

Uhusiano uleule katika muda tofauti wa mwisho wa mkataba

Riba hujilimbikiza kila siku na dividends hutua kwenye tarehe maalum, hivyo msingi huo ni mdundo (curve) badala ya namba moja. Mnyororo wa options hubeba usomaji wa pili kwenye mdundo huo. Parity huunganisha call na put kwenye strike price moja na forward moja, hivyo mchambuzi wa bei anayefanya kazi kutoka kwa kiwango cha mnyororo huo na dividend hutoa implied volatility ileile kwa miguu yote miwili, na tofauti yoyote kati ya miguu hiyo ni tofauti kati ya dhana zilizotumika.

Jopo hili limefungwa kwenye wakati uliopita, hivyo namba kwenye ukurasa huu hazibadiliki: AAPL muda wa mwisho wa mkataba wa kila mwezi kuanzia Julai 2026 hadi Januari 2027, zilizosomwa kutoka kikao cha Juni 16, 2026, kwenye strike price iliyo karibu zaidi na bei ya kufunga soko kwa kila moja.

SELECT
    expiry_date,
    days_out,
    concat('$', toString(argMin(strike, atm_gap)))                        AS atm_strike_used,
    round(100 * argMin(call_iv, atm_gap), 1)                              AS call_iv_pct,
    round(100 * argMin(put_iv, atm_gap), 1)                               AS put_iv_pct,
    round(100 * (argMin(call_iv, atm_gap) - argMin(put_iv, atm_gap)), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        expiry_date,
        days_out,
        strike,
        call_iv,
        put_iv,
        abs(strike / spot_close - 1) AS atm_gap
    FROM
    (
        SELECT
            toString(expiration_date)                                    AS expiry_date,
            max(dateDiff('day', toDate(date), toDate(expiration_date)))  AS days_out,
            round(toFloat64(strike_price), 2)                            AS strike,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')              AS call_iv,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')              AS put_iv,
            max(toFloat64(underlying_close))                             AS spot_close
        FROM
        (
            SELECT
                date,
                expiration_date,
                strike_price,
                implied_volatility,
                underlying_close,
                upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
            FROM global_markets.options_greeks
            WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
              AND date = '2026-06-16'
              AND expiration_date BETWEEN '2026-07-01' AND '2027-01-31'
              AND toDayOfWeek(toDate(expiration_date)) = 5
              AND toDayOfMonth(toDate(expiration_date)) BETWEEN 15 AND 21
              AND iv_converged = 1
              AND volume > 0
              AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
        )
        GROUP BY expiry_date, strike
        HAVING countIf(leg = 'C') > 0
           AND countIf(leg = 'P') > 0
    )
)
GROUP BY expiry_date, days_out
ORDER BY expiry_date

Katika 2026-07-17, siku 31 zilizobaki, strike price ya $300 ilibeba call kwa asilimia 21.9 dhidi ya put kwa asilimia 20.5, pengo la pointi 1.4. Katika 2027-01-15, siku 213 zilizobaki, pengo ni pointi 0.3. Miguu yote miwili hufuatana katika kalenda nzima.

Jinsi ya kupata implied dividend au implied borrow rate

Kwa implied dividend, chukua muda mbili za mwisho wa mkataba zinazozunguka tarehe ya ex-dividend ya kampuni, hesabu msingi kwa kila moja, na utoe. Riba ya ziada katika siku za ziada ni ndogo na inaweza kuhesabika kutoka kwa kiwango cha sasa cha bili. Kilichobaki ni fedha taslimu ambayo mnyororo unatarajia itatoka (ex) katikati. Ilinganishe hiyo na ratiba iliyotangazwa kwenye ukurasa wetu wa ex-dividend dates and options na dhana ya dividend ya mnyororo huo itakuwa wazi.

Kwa implied borrow rate, ifanye kinyume. Weka dividend kwa kiasi kilichotangazwa na ufadhili kwa kiwango cha bili, hesabu msingi ambao hizo mbili huzalisha, na ulinganishe na msingi ambao mnyororo unanukuu. Kwenye hisa rahisi kukopwa, hizo mbili hulingana. Kwenye hisa ngumu kukopwa, msingi uliotajwa hukaa chini ya ule uliohesabiwa, na upungufu wa kila mwaka ndiyo ada ya kukopa ambayo options hizo zinatoza.

Sharti ni kujua ni bei zipi mbili za kuchukua kutoka kwenye skrini, na option chain guide yetu inashughulikia mpangilio huo.

Mahali ambapo American options huvunja usawa

American options zinaweza kutekelezwa (exercised) siku yoyote hadi muda wa mwisho wa mkataba. European options zinaweza kutekelezwa tu wakati wa mwisho wa mkataba, na parity kama usawa mkali ni wa kesi ya Ulaya. Kwenye mikataba ya Marekani, usawa huo hulegea na kuwa bendi, inayokuwa pana zaidi upande wowote unaoshikilia haki ya kutekeleza mapema yenye thamani ya kifedha. American call inafaa kutekelezwa mapema tu kabla ya dividend kubwa kuliko thamani yake ya muda iliyobaki, ndiyo maana utekelezaji wa mapema wa call hujitokeza siku moja kabla ya tarehe ya ex-dividend.

Jaribio lilelile la volatility hufanyika katika strike price mbalimbali kwenye muda mmoja wa mwisho wa mkataba, na hapo ndipo bendi hiyo huonyesha upana wake.

SELECT
    strike,
    round(100 * call_iv, 1)             AS call_iv_pct,
    round(100 * put_iv, 1)              AS put_iv_pct,
    round(100 * (call_iv - put_iv), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        round(toFloat64(strike_price), 2)                AS strike,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')  AS call_iv,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')  AS put_iv
    FROM
    (
        SELECT
            strike_price,
            implied_volatility,
            upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
          AND date = '2026-06-16'
          AND expiration_date = '2026-09-18'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.15
          AND toUInt32(toFloat64(strike_price)) % 5 = 0
    )
    GROUP BY strike
    HAVING countIf(leg = 'C') > 0
       AND countIf(leg = 'P') > 0
)
ORDER BY strike

Mistari hiyo miwili huenda pamoja kwenye ngazi ya strike price. Katika strike price ya 255, call inadokeza asilimia 30.5 na put asilimia 29.3, pengo la pointi 1.2. Pale pengo linapofunguka kwenye strike price za mbali, wagombea ni bei ya kufunga soko iliyopitwa na wakati upande mmoja, soko dogo (thin market) kwenye strike price hiyo, malipo ya utekelezaji wa mapema (early exercise premium) ambayo mfano haubebi, au dhana ya dividend inayotofautiana na ile inayopangwa bei na mnyororo.

Conversions na reversals, mtiririko unaotekeleza usawa

Conversion ni hisa ndefu (long shares), call fupi (short call), put ndefu (long put) kwenye strike price moja. Reversal ni kioo chake. Vifurushi vyote viwili hukaa sawa na bei ya hisa wakati wa mwisho wa mkataba, na kilichobaki ni masharti ya ufadhili na dividend. Market makers huviweka wakati jozi hiyo inapokengeuka vya kutosha ili kufidia gharama zao, na mtiririko huo huvuta nukuu kurudi kwenye mstari. Faida katika hili ni ya madawati (desks) yenye ufadhili wa bei nafuu na kitabu cha mkopo wa hisa nyuma yao, na ukurasa huu si mwongozo wa kufanya biashara hiyo.

Jinsi parity inavyotofautiana na put/call ratio

Hizi mbili huchanganywa. Put-call parity ni utambulisho wa bei kati ya call moja na put moja kwenye strike price moja, na ni hesabu. Put/call ratio huhesabu kiasi (volume) au open interest katika mnyororo mzima na husomwa kama kipimo cha hisia za soko. Parity husema jozi inapaswa kugharimu kiasi gani dhidi ya hisa. Ratio husema watu walifanya biashara gani.

FAQ

Fomula ya put-call parity ni ipi?

Kwa European options kwenye strike price na muda wa mwisho wa mkataba uleule, bei ya call ikiondoa bei ya put inalingana na bei ya hisa, ikiondoa thamani ya sasa ya strike price, ikiondoa thamani ya sasa ya dividends zilizolipwa kabla ya muda wa mwisho wa mkataba. Ikipangwa upya: bei ya call ikiondoa bei ya put ikijumlishwa na strike price inatoa bei ya hisa inayodokezwa na options.

Je, put-call parity inafanya kazi kwa American options?

Si kama usawa mkali. Haki za utekelezaji wa mapema huigeuza kuwa bendi kuzunguka uhusiano wa Ulaya.

Ninawezaje kuhesabu implied dividend kutoka kwa option chain?

Chukua call na put kwenye strike price na muda wa mwisho wa mkataba mmoja, hesabu call ikiondoa put ikijumlishwa na strike price, na utoe bei ya hisa. Pengo hilo ni riba hadi muda wa mwisho wa mkataba ikiondoa dividends zinazotarajiwa. Hesabu riba kutoka kwa kiwango cha bili kwa siku zilezile, na kilichobaki ni dividend ambayo mnyororo unapangia bei.

Kwa nini call na put kwenye strike price moja zina implied volatility ileile?

Parity huunganisha bei hizo mbili pamoja bila neno la volatility kwenye kiungo, hivyo mfano unaopangia bei moja kutoka kwa forward na discount rate fulani hupangia bei nyingine kutoka kwa pembejeo zilezile.

Kila jopo hapa linakuja na SQL iliyo chini yake. Ili kuendesha ngazi ileile kwenye jina lingine au muda wa mwisho wa mkataba wa mbali zaidi, iombe kwa Kiingereza rahisi kwenye terminal ya Strasmore.