Put-Call Parity: Ufafanuzi na Mfano wa Hesabu Halisi

Put-call parity ni hesabu isiyobadilika inayounganisha call, put inayolingana nayo, hisa husika, na mkopo wa fedha taslimu kuwa bei moja. Kwa options za Ulaya (European options) zinazoshiriki strike price na tarehe ya mwisho ya mkataba, bei ya call ikitoa bei ya put inalingana na tofauti iliyopunguzwa thamani (discounted) kati ya bei ya forward ya hisa na strike price hiyo. Ukiitumia kanuni hii kwenye chain halisi, inatoa bei ya hisa inayodokezwa na options hizo, ambayo mara chache sana ndiyo bei inayochapishwa kwenye soko. Pengo kati ya bei hizo mbili ndipo dividend na kiwango cha riba ya ufadhili (financing rate) vinapokaa.

Put-call parity inamaanisha nini hasa

Ikiandikwa, uhusiano huo ni C - P = S - PV(K) - PV(D). C ni bei ya call na P ni bei ya put katika strike price na muda wa mwisho uleule. S ni bei ya hisa leo. PV(K) ni strike price iliyopunguzwa thamani kwa kutumia kiwango cha riba ya ufadhili, na PV(D) ni thamani ya sasa ya dividends ambazo hisa hulipa kabla ya muda wa mkataba kuisha. Call options hutoa haki ya kununua kwa strike price, na put options hutoa haki ya kuuza kwa bei hiyo.

Nyuma ya aljebra hii kuna kifurushi. Nunua call na uuze put kwa strike price moja na utajikuta unamiliki hisa kwa bei hiyo siku ya mwisho ya mkataba bila kujali bei itakavyokuwa: ikiwa juu ya strike price unatumia haki yako (exercise), ikiwa chini yake unalazimika kutekeleza mkataba (assigned). Jozi hiyo ni nafasi ya synthetic long kwenye hisa, iliyonunuliwa kwa mkopo, inayolipiwa hisa hiyo mwishoni mwa mkataba badala ya leo, na isiyokusanya dividends zozote katika kipindi hicho. Parity hupangia bei marekebisho hayo mawili na si kingine.

Fikiria hisa ya $100, call ya mwaka mmoja yenye strike price ya $100 iliyonukuliwa kwa $9, put inayolingana nayo kwa $5, na hakuna dividend katikati. Jozi hiyo inagharimu $4. Ongeza strike price na options hizo zinadokeza $104 kwa hisa iliyonukuliwa kwa $100. Hiyo $4 ni riba ya bei ya ununuzi iliyoahirishwa kwa mwaka mmoja, kwa takriban asilimia nne. Takwimu hizo ni za kielelezo, zilizochaguliwa kwa ajili ya hesabu rahisi.

Bei ya hisa inayodokezwa na options

Ikipangwa upya, uhusiano huo hutoa bei ya hisa yenyewe: bei ya call ikitoa bei ya put ikijumlishwa na strike price. Fanya hesabu hiyo ya kutoa na kujumlisha katika kila strike price kwenye muda mmoja wa mwisho wa mkataba na majibu yatakuwa karibu sana. Namba hiyo ni bei ya synthetic stock, na umbali kati yake na bei ya kufunga soko (close) ni basis, au carry, ya synthetic hiyo. Riba hadi muda wa mwisho wa mkataba husukuma basis juu. Dividends kabla ya muda wa mwisho wa mkataba huivuta chini.

Kilichomo ndani ya pengo la parity

Mambo manne, na manne pekee:

• Riba hadi muda wa mwisho wa mkataba. Kulipa strike price baadaye badala ya sasa ni mkopo kwa muda wote wa mkataba, na jozi hiyo hutoza gharama hiyo.
• Dividends kabla ya muda wa mwisho wa mkataba. Mwenye synthetic hakusanyi yoyote, hivyo kila dividend inayokwenda ex kabla ya mkataba kuisha hutoka kwenye pengo hilo.
• Gharama ya kukopa (Borrow cost). Yeyote anayechukua upande mwingine na kufanya short kwenye hisa hulipa ada ya mkopo wa hisa, na ada hiyo huishia kwenye pengo hilohilo.
• Thamani ya kutumia haki ya mkataba mapema (early exercise) kwenye mikataba ya Marekani, ambayo hugeuza usawa huo kuwa bendi.

Uhusiano uleule katika muda tofauti wa mwisho wa mkataba

Riba hujilimbikiza kila siku na dividends hutolewa katika tarehe maalum, kwa hivyo basis ni mkondo (curve) badala ya namba moja. Chain hubeba usomaji wa pili kwenye mkondo huo. Parity huunganisha call na put kwa strike price moja na forward moja, kwa hivyo mchambuzi wa bei anayefanya kazi kutoka kwa kiwango cha chain hiyo na dividend hutoa implied volatility ileile kwa miguu yote miwili, na tofauti yoyote kati ya miguu hiyo ni tofauti kati ya dhana zilizotumika.

Jopo hili limefungwa kwenye wakati uliopita, kwa hivyo namba kwenye ukurasa huu hazibadiliki: AAPL muda wa mwisho wa mkataba wa kila mwezi kuanzia Julai 2026 hadi Januari 2027, iliyosomwa kutoka kikao cha Juni 16, 2026, katika strike price iliyo karibu zaidi na bei ya kufunga soko kwa kila moja.

SELECT
    expiry_date,
    days_out,
    concat('$', toString(argMin(strike, atm_gap)))                        AS atm_strike_used,
    round(100 * argMin(call_iv, atm_gap), 1)                              AS call_iv_pct,
    round(100 * argMin(put_iv, atm_gap), 1)                               AS put_iv_pct,
    round(100 * (argMin(call_iv, atm_gap) - argMin(put_iv, atm_gap)), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        expiry_date,
        days_out,
        strike,
        call_iv,
        put_iv,
        abs(strike / spot_close - 1) AS atm_gap
    FROM
    (
        SELECT
            toString(expiration_date)                                    AS expiry_date,
            max(dateDiff('day', toDate(date), toDate(expiration_date)))  AS days_out,
            round(toFloat64(strike_price), 2)                            AS strike,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')              AS call_iv,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')              AS put_iv,
            max(toFloat64(underlying_close))                             AS spot_close
        FROM
        (
            SELECT
                date,
                expiration_date,
                strike_price,
                implied_volatility,
                underlying_close,
                upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
            FROM global_markets.options_greeks
            WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
              AND date = '2026-06-16'
              AND expiration_date BETWEEN '2026-07-01' AND '2027-01-31'
              AND toDayOfWeek(toDate(expiration_date)) = 5
              AND toDayOfMonth(toDate(expiration_date)) BETWEEN 15 AND 21
              AND iv_converged = 1
              AND volume > 0
              AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
        )
        GROUP BY expiry_date, strike
        HAVING countIf(leg = 'C') > 0
           AND countIf(leg = 'P') > 0
    )
)
GROUP BY expiry_date, days_out
ORDER BY expiry_date

Katika 2026-07-17, siku 31 zilizobaki, strike price ya $300 ilikuwa na call kwa asilimia 21.9 dhidi ya put kwa asilimia 20.5, pengo la pointi 1.4. Katika 2027-01-15, siku 213 zilizobaki, pengo ni pointi 0.3. Miguu hiyo miwili hufuatana katika kalenda nzima.

Jinsi ya kupata implied dividend au implied borrow rate

Kwa implied dividend, chukua muda mbili za mwisho wa mkataba zinazozunguka tarehe ya ex-dividend ya kampuni, hesabu basis kwa kila moja, na utoe. Riba ya ziada katika siku za ziada ni ndogo na inaweza kuhesabika kutoka kwa kiwango cha sasa cha bill rate. Kilichobaki ni fedha taslimu ambayo chain inatarajia kwenda ex katikati. Ilinganishe hiyo na ratiba iliyotangazwa kwenye ukurasa wetu wa ex-dividend dates and options na dhana ya dividend ya chain hiyo itakuwa wazi.

Kwa implied borrow rate, ifanye kinyume. Weka dividend kwa kiasi kilichotangazwa na ufadhili kwa kiwango cha bill rate, hesabu basis inayozalishwa na hayo mawili, na ulinganishe na basis inayotajwa na chain. Kwenye hisa rahisi kukopwa, hizo mbili hulingana. Kwenye hisa ngumu kukopwa, basis iliyonukuliwa hukaa chini ya ile iliyohesabiwa, na upungufu wa kila mwaka ni ada ya kukopa ambayo options hizo zinatoza.

Sharti ni kujua ni bei zipi mbili za kuchukua kutoka kwenye skrini, na mwongozo wetu wa option chain guide unaelezea mpangilio huo.

Mahali ambapo American options huvunja usawa

American options zinaweza kutumiwa haki yake (exercised) siku yoyote hadi muda wa mwisho wa mkataba. European options zinaweza kutumiwa haki yake wakati wa mwisho wa mkataba pekee, na parity kama usawa mkali ni wa kesi ya Ulaya. Kwenye mikataba ya Marekani, inalegea na kuwa bendi, inayokuwa pana zaidi upande wowote unaoshikilia haki ya kutumia mkataba mapema yenye thamani ya kifedha. American call inafaa kutumiwa mapema tu kabla ya dividend kubwa kuliko thamani yake ya muda iliyobaki, ndiyo sababu utumiaji wa mapema wa call hujitokeza siku moja kabla ya tarehe ya ex-dividend.

Jaribio lilelile la volatility hufanyika katika strike price mbalimbali kwenye muda mmoja wa mwisho wa mkataba, na hapo ndipo bendi hiyo inapoonyesha upana wake.

SELECT
    strike,
    round(100 * call_iv, 1)             AS call_iv_pct,
    round(100 * put_iv, 1)              AS put_iv_pct,
    round(100 * (call_iv - put_iv), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        round(toFloat64(strike_price), 2)                AS strike,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')  AS call_iv,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')  AS put_iv
    FROM
    (
        SELECT
            strike_price,
            implied_volatility,
            upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
          AND date = '2026-06-16'
          AND expiration_date = '2026-09-18'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.15
          AND toUInt32(toFloat64(strike_price)) % 5 = 0
    )
    GROUP BY strike
    HAVING countIf(leg = 'C') > 0
       AND countIf(leg = 'P') > 0
)
ORDER BY strike

Mistari hiyo miwili huenda pamoja kwenye ngazi. Katika strike price ya 255 call inadokeza asilimia 30.5 na put asilimia 29.3, pengo la pointi 1.2. Pale pengo linapofunguka kwenye strike price za mbali, wagombea ni bei ya kufunga soko iliyopitwa na wakati upande mmoja, soko dogo (thin market) katika strike price hiyo, premium ya kutumia mkataba mapema ambayo mfano haubebi, au dhana ya dividend inayotofautiana na ile inayopangiwa bei na chain.

Conversions na reversals, mtiririko unaotekeleza hilo

Conversion ni kuwa na hisa (long), kuuza call (short), na kuwa na put (long) katika strike price moja. Reversal ni kioo chake. Vifurushi vyote viwili hukaa sawa na bei ya hisa wakati wa mwisho wa mkataba, na kilichobaki ni masharti ya ufadhili na dividend. Market makers huviweka wakati jozi hiyo inapokengeuka vya kutosha ili kufidia gharama zao, na mtiririko huo huvuta bei zilizotajwa kurudi kwenye mstari. Faida katika hilo ni ya madawati (desks) yenye ufadhili wa bei nafuu na kitabu cha mkopo wa hisa nyuma yao, na ukurasa huu si mwongozo wa kufanya biashara hiyo.

Jinsi parity inavyotofautiana na put/call ratio

Hivi viwili huchanganywa. Put-call parity ni utambulisho wa bei kati ya call moja na put moja katika strike price moja, na ni hesabu. Put/call ratio huhesabu ujazo (volume) au open interest katika chain nzima na husomwa kama kipimo cha hisia za soko. Parity inasema jozi lazima igharimu kiasi gani dhidi ya hisa. Ratio inasema watu walifanya biashara gani.

FAQ

Fomula ya put-call parity ni ipi?

Kwa European options katika strike price na muda wa mwisho wa mkataba uleule, bei ya call ikitoa bei ya put inalingana na bei ya hisa, ikitoa thamani ya sasa ya strike price, ikitoa thamani ya sasa ya dividends zilizolipwa kabla ya muda wa mwisho wa mkataba. Ikipangwa upya: bei ya call ikitoa bei ya put ikijumlishwa na strike price inatoa bei ya hisa inayodokezwa na options.

Je, put-call parity inafanya kazi kwa American options?

Si kama usawa mkali. Haki za kutumia mkataba mapema huigeuza kuwa bendi kuzunguka uhusiano wa Ulaya.

Ninawezaje kuhesabu implied dividend kutoka kwa option chain?

Chukua call na put katika strike price na muda wa mwisho wa mkataba mmoja, hesabu call ikitoa put ikijumlishwa na strike price, na utoe bei ya hisa. Pengo hilo ni riba hadi muda wa mwisho wa mkataba ikitoa dividends zinazotarajiwa. Hesabu riba kutoka kwa bill rate kwa siku zilezile, na kilichobaki ni dividend ambayo chain inatoza bei.

Kwa nini call na put katika strike price moja zina implied volatility ileile?

Parity huunganisha bei hizo mbili pamoja bila neno la volatility kwenye kiungo hicho, kwa hivyo mfano unaopangia bei moja kutoka kwa forward na kiwango cha discount kilichotolewa hupangia bei nyingine kutoka kwa pembejeo zilezile.

Kila jopo hapa huja na SQL iliyo chini yake. Ili kuendesha ngazi ileile kwenye jina lingine au muda wa mwisho wa mkataba wa mbali zaidi, iombe kwa Kiingereza rahisi kwenye terminal ya Strasmore.