Put-Call Parity: खऱ्या आकड्यांसह स्पष्टीकरण

Put-call parity म्हणजे call, त्याच strikeचा put, underlying शेअर आणि रोख कर्ज यांना एका किमतीत जोडणारे निश्चित अंकगणितीय नाते. समान strike आणि expiry असलेल्या European optionsसाठी call priceमधून put price वजा केल्यास stockच्या forward price आणि त्या strikeमधील फरकाचे discounted मूल्य मिळते. हे नाते प्रत्यक्ष option chainवर लागू केल्यास options ज्या शेअर किमतीचा संकेत देतात ती किंमत मिळते. ती tapeवरील किमतीपेक्षा क्वचितच तंतोतंत जुळते. या दोन्ही किमतींमधील फरकात dividend आणि financing rate प्रतिबिंबित होतात.

Put-call parity प्रत्यक्षात काय सांगते

हे नाते लिहिल्यास ते C - P = S - PV(K) - PV(D) असे दिसते. C म्हणजे समान strike आणि expiryवरील call price, तर P म्हणजे put price. S म्हणजे आजची share price. PV(K) म्हणजे financing rateनुसार discount केलेले strikeचे वर्तमान मूल्य. PV(D) म्हणजे expiryपूर्वी शेअरकडून दिल्या जाणाऱ्या dividendsचे वर्तमान मूल्य. Call optionsमध्ये strike priceवर खरेदी करण्याचा अधिकार असतो. Put optionsमध्ये त्याच strikeवर विक्री करण्याचा अधिकार असतो.

या बीजगणितामागे एक व्यवहाररचना आहे. एका strikeवर call खरेदी करून put विकल्यास expiryच्या दिवशी त्या strikeवर शेअर आपल्या ताब्यात येतो, किंमत काहीही असो. किंमत strikeच्या वर असल्यास call exercise करता येतो. किंमत strikeच्या खाली असल्यास put assignment मिळतो. ही जोडी synthetic long share position असते. ती creditवर खरेदी केलेल्या शेअरसारखी असते: शेअरसाठी आज नव्हे, तर expiryला पैसे दिले जातात आणि त्या काळात कोणतेही dividends मिळत नाहीत. Parity या दोन्ही समायोजनांचीच किंमत ठरवते.

समजा शेअरची किंमत $100 आहे. एक वर्षाची, $100 strike असलेली call $9वर आणि त्याच strikeची put $5वर quoted आहे. दरम्यान कोणतेही dividend नाही. या जोडीची किंमत $4 होते. त्यात strikeची रक्कम पुन्हा जोडल्यास, $100वर quoted असलेल्या शेअरसाठी options $104ची implied price दाखवतात. हे $4 म्हणजे एका वर्षासाठी पुढे ढकललेल्या खरेदी किमतीवरील व्याज आहे, म्हणजे साधारण चार टक्के. ही आकडेवारी केवळ उदाहरणासाठी असून गणित सोपे ठेवण्यासाठी निवडली आहे.

Options ज्या शेअर किमतीचा संकेत देतात

नाते पुन्हा मांडल्यास स्वतंत्र share price मिळते: call priceमधून put price वजा करून त्यात strike जोडायचा. एका expiryवरील प्रत्येक strikeसाठी ही वजाबाकी केल्यास मिळणाऱ्या किमती साधारण काही penniesच्या फरकात एकमेकांशी जुळतात. ही synthetic stock price असते. तिचा tapeवरील closing priceशी असलेला फरक synthetic positionचा basis किंवा carry असतो. Expiryपर्यंतचे interest basis वाढवते. Expiryपूर्वी मिळणारे dividends ते कमी करतात.

Parity gapमध्ये काय असते

चार घटक असतात आणि तेवढेच:

• Expiryपर्यंतचे interest. Strikeची रक्कम आज न देता नंतर देणे म्हणजे contractच्या कालावधीसाठी घेतलेले कर्ज. Pair त्यासाठी शुल्क आकारते.
• Expiryपूर्वीचे dividends. Synthetic holderला हे dividends मिळत नाहीत. त्यामुळे contract expiryपूर्वी ex-dividend होणारे प्रत्येक dividend gapमधून वजा होते.
• Borrow cost. दुसरी बाजू घेऊन शेअर short करणाऱ्या व्यक्तीला stock loan fee द्यावी लागते. ही fee त्याच gapमध्ये दिसते.
• American contractsमधील early exercise value. यामुळे समानता एका मर्यादित पट्ट्यात बदलते.

वेगवेगळ्या expirationsवर तेच नाते

Interest दररोज जमा होते आणि dividends ठरावीक तारखांना दिले जातात. त्यामुळे basis हा एकच आकडा नसून curve असतो. Option chain या curveवर आणखी एक संकेत देते. Parity एका strikeवरील call आणि putला एका forward priceशी जोडते. त्यामुळे chainमधील rate आणि dividend assumptions वापरून pricing model चालविल्यास दोन्ही legsसाठी समान implied volatility मिळते. दोन्ही legsमधील फरक म्हणजे assumptionsमधील फरक.

हा panel भूतकाळातील सत्रावर आधारित आहे. त्यामुळे या पृष्ठावरील आकडे बदलत नाहीत. July 2026 ते January 2027 या कालावधीतील AAPL monthly expirations घेतल्या आहेत. प्रत्येक expiryसाठी June 16, 2026च्या सत्रातील closing priceच्या सर्वात जवळचा strike वापरला आहे.

SELECT
    expiry_date,
    days_out,
    concat('$', toString(argMin(strike, atm_gap)))                        AS atm_strike_used,
    round(100 * argMin(call_iv, atm_gap), 1)                              AS call_iv_pct,
    round(100 * argMin(put_iv, atm_gap), 1)                               AS put_iv_pct,
    round(100 * (argMin(call_iv, atm_gap) - argMin(put_iv, atm_gap)), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        expiry_date,
        days_out,
        strike,
        call_iv,
        put_iv,
        abs(strike / spot_close - 1) AS atm_gap
    FROM
    (
        SELECT
            toString(expiration_date)                                    AS expiry_date,
            max(dateDiff('day', toDate(date), toDate(expiration_date)))  AS days_out,
            round(toFloat64(strike_price), 2)                            AS strike,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')              AS call_iv,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')              AS put_iv,
            max(toFloat64(underlying_close))                             AS spot_close
        FROM
        (
            SELECT
                date,
                expiration_date,
                strike_price,
                implied_volatility,
                underlying_close,
                upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
            FROM global_markets.options_greeks
            WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
              AND date = '2026-06-16'
              AND expiration_date BETWEEN '2026-07-01' AND '2027-01-31'
              AND toDayOfWeek(toDate(expiration_date)) = 5
              AND toDayOfMonth(toDate(expiration_date)) BETWEEN 15 AND 21
              AND iv_converged = 1
              AND volume > 0
              AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
        )
        GROUP BY expiry_date, strike
        HAVING countIf(leg = 'C') > 0
           AND countIf(leg = 'P') > 0
    )
)
GROUP BY expiry_date, days_out
ORDER BY expiry_date

2026-07-17 रोजी, expiryला 31 दिवस शिल्लक असताना, $300 strikeवरील call 21.9 percentवर होता आणि put 20.5 percentवर होता. फरक 1.4 points होता. 2027-01-15 रोजी, expiryला 213 दिवस शिल्लक असताना, हा फरक 0.3 points होता. संपूर्ण calendarमध्ये दोन्ही legs एकमेकांच्या जवळच राहतात.

Implied dividend किंवा implied borrow rate कसा काढावा

Implied dividend काढण्यासाठी कंपनीच्या ex-dividend dateच्या आधीची आणि नंतरची अशी दोन expirations घ्या. प्रत्येकासाठी basis काढा आणि दोन्हीमध्ये फरक करा. अतिरिक्त दिवसांवरील interest prevailing bill rateवरून कमी आणि अचूकपणे काढता येते. त्यानंतर उरलेली रक्कम म्हणजे या दोन expirationsच्या दरम्यान ex होणाऱ्या dividendची chainला असलेली अपेक्षा. ती आमच्या ex-dividend dates आणि options पृष्ठावरील घोषित scheduleशी तुलना केल्यास chainची dividend assumption स्पष्ट होते.

Implied borrow rateसाठी ही प्रक्रिया उलट दिशेने करा. Dividend घोषित रकमेवर आणि financing bill rateवर स्थिर ठेवा. या दोन्ही आधारांवर basis काढा आणि तो chainने quoted केलेल्या basisशी तुलना करा. सहज borrow करता येणाऱ्या शेअरमध्ये दोन्ही किमती जवळजवळ जुळतात. Hard-to-borrow शेअरमध्ये quoted basis हा computed basisपेक्षा कमी असतो. हा annualized shortfall म्हणजे optionsमध्ये आकारला जाणारा borrow fee असतो.

यासाठी screenवरून कोणत्या दोन किमती घ्यायच्या हे माहीत असणे आवश्यक आहे. आमचे option chain guide layout समजावते.

American optionsमध्ये समानता कुठे तुटते

American options expiryपर्यंत कोणत्याही दिवशी exercise करता येतात. European options केवळ expiryला exercise करता येतात. त्यामुळे strict equalityच्या स्वरूपातील parity European optionsना लागू होते. American contractsमध्ये ती equality न राहता एका bandमध्ये बदलते. Early exerciseचा अधिकार ज्या बाजूला अधिक मूल्यवान असतो, त्या बाजूला band अधिक रुंद असतो. उरलेला time value मिळविण्यापेक्षा लवकर exercise केल्याने मिळणारा फायदा मोठ्या dividendच्या अगोदर अधिक असेल, तेव्हाच American call लवकर exercise करणे फायदेशीर ठरते. म्हणून early call exercise साधारणतः ex-dividend dateच्या आदल्या दिवशी मोठ्या प्रमाणात दिसते.

एका expiryवरील विविध strikesमध्ये हीच volatility तपासणी करता येते. तेथेच bandची रुंदी दिसून येते.

SELECT
    strike,
    round(100 * call_iv, 1)             AS call_iv_pct,
    round(100 * put_iv, 1)              AS put_iv_pct,
    round(100 * (call_iv - put_iv), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        round(toFloat64(strike_price), 2)                AS strike,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')  AS call_iv,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')  AS put_iv
    FROM
    (
        SELECT
            strike_price,
            implied_volatility,
            upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
          AND date = '2026-06-16'
          AND expiration_date = '2026-09-18'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.15
          AND toUInt32(toFloat64(strike_price)) % 5 = 0
    )
    GROUP BY strike
    HAVING countIf(leg = 'C') > 0
       AND countIf(leg = 'P') > 0
)
ORDER BY strike

संपूर्ण strike ladderमध्ये दोन्ही lines एकमेकांच्या जवळ राहतात. 255 strikeवर call 30.5 percentची implied volatility दाखवतो आणि put 29.3 percentची. फरक 1.2 points आहे. दूरच्या strikesवर gap दिसल्यास त्यामागे एका बाजूवरील stale closing print, त्या strikeवरील कमी-volumeचा बाजार, modelमध्ये समाविष्ट नसलेला early exercise premium किंवा chain वापरत असलेल्या dividend assumptionपेक्षा वेगळी assumption असू शकते.

Conversions आणि reversals: parity लागू ठेवणारा flow

Conversionमध्ये long shares, short call आणि एका strikeवरील long put असतो. Reversal ही त्याची उलट रचना असते. Expiryला दोन्ही packages share priceच्या हालचालींपासून जवळजवळ neutral राहतात. उरते ते financing आणि dividendचे घटक. Pairमधील फरक त्यांच्या खर्चापेक्षा पुरेसा मोठा झाल्यास market makers हे व्यवहार करतात. या flowमुळे quotes पुन्हा parityच्या रेषेकडे येतात. स्वस्त financing आणि stock loan book असलेल्या trading desksना यात edge मिळतो. हे पृष्ठ त्या व्यवहाराचे trading मार्गदर्शन देत नाही.

Parity आणि put/call ratioमधील फरक

हे दोन्ही एकमेकांसाठी चुकीचे समजले जातात. Put-call parity म्हणजे एका strikeवरील एका call आणि एका putमधील pricing identity. ते अंकगणितीय नाते आहे. Put/call ratio संपूर्ण chainमधील volume किंवा open interest मोजतो आणि sentiment gauge म्हणून वाचला जातो. Parity सांगते की शेअरच्या तुलनेत त्या pairची किंमत किती असली पाहिजे. Ratio सांगतो की लोकांनी काय trade केले.

वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न

Put-call parityचे सूत्र काय आहे?

समान strike आणि expiry असलेल्या European optionsमध्ये call priceमधून put price वजा केल्यास share priceमधून strikeचे present value आणि expiryपूर्वी दिल्या जाणाऱ्या dividendsचे present value वजा केल्याइतकी रक्कम मिळते. पुन्हा मांडल्यास: call priceमधून put price वजा करून त्यात strike जोडल्यास options ज्या share priceचा संकेत देतात ती किंमत मिळते.

American optionsसाठी put-call parity लागू होते का?

Strict equalityच्या स्वरूपात नाही. Early exerciseच्या अधिकारामुळे ते European relationभोवतीच्या bandमध्ये बदलते.

Option chainमधून implied dividend कसा काढावा?

एका strike आणि expiryवरील call आणि put घ्या. Call priceमधून put price वजा करून त्यात strike जोडा. त्यातून share price वजा करा. उरलेला gap म्हणजे expiryपर्यंतचे interest वजा अपेक्षित dividends. त्याच दिवसांसाठी bill rateवरून interest काढा. त्यानंतर उरलेली रक्कम म्हणजे chain ज्या dividendची किंमत लावत आहे तो dividend.

समान strikeवरील call आणि putची implied volatility समान का असते?

Parity दोन्ही pricesना volatility termशिवाय एकमेकांशी जोडते. त्यामुळे दिलेल्या forward आणि discount rateवर एकाची किंमत ठरवणारे model त्याच inputsवरून दुसऱ्याचीही किंमत ठरवते.

येथील प्रत्येक panel त्यामागील SQLसह उपलब्ध आहे. दुसऱ्या nameवर किंवा पुढील expiryवर हीच ladder चालवायची असल्यास Strasmore terminalवर plain Englishमध्ये विनंती करा.