Put-call parity: spiegazione con numeri reali

La put-call parity è la relazione aritmetica fissa che collega una call, la put corrispondente, l’azione sottostante e un finanziamento in contanti in un unico prezzo. Per le opzioni europee con lo stesso strike e la stessa data di scadenza, il prezzo della call meno il prezzo della put è uguale alla differenza attualizzata tra il forward price dell’azione e quello strike. Applicata a una chain reale, la relazione restituisce il prezzo dell’azione implicito nelle opzioni, che raramente coincide con il prezzo sul mercato. La differenza tra i due incorpora il dividendo e il tasso di finanziamento.

Cosa dice davvero la put-call parity

Scritta per esteso, la relazione è C - P = S - PV(K) - PV(D). C è il prezzo della call e P è il prezzo della put allo stesso strike e con la stessa scadenza. S è il prezzo corrente dell’azione. PV(K) è lo strike attualizzato al tasso di finanziamento e PV(D) è il valore attuale dei dividendi pagati dall’azione prima della scadenza. Le call options attribuiscono il diritto di acquistare allo strike, mentre le put options attribuiscono il diritto di vendere allo stesso prezzo.

Dietro l’algebra c’è un pacchetto di posizioni. Acquistando la call e vendendo la put allo stesso strike, alla scadenza ci si ritrova proprietari dell’azione a quello strike, qualunque sia il suo prezzo: sopra lo strike si esercita la call, sotto lo strike si viene assegnati sulla put. La combinazione replica una posizione long sintetica sull’azione, acquistata a credito, con il pagamento dell’azione alla scadenza invece che oggi e senza incassare dividendi nel frattempo. La parity valorizza solo questi due aggiustamenti.

Supponiamo che un’azione quoti 100 dollari, che una call a un anno con strike 100 dollari quoti 9 dollari, che la put corrispondente quoti 5 dollari e che nel frattempo non siano previsti dividendi. La combinazione costa 4 dollari. Riaggiungendo lo strike, le opzioni implicano un prezzo di 104 dollari per un’azione quotata 100 dollari. Quei 4 dollari rappresentano l’interesse su un acquisto differito di un anno, pari a circa il quattro per cento. Le cifre sono illustrative e scelte per semplificare i calcoli.

Il prezzo dell’azione implicito nelle opzioni

Riscritta, la relazione restituisce un proprio prezzo dell’azione: prezzo della call meno prezzo della put più lo strike. Applicando questa sottrazione a ogni strike della stessa scadenza, i risultati differiscono di pochi centesimi. Quel numero è il prezzo sintetico dell’azione. La distanza tra questo valore e la chiusura sul mercato è la basis, o carry, della posizione sintetica. L’interesse fino alla scadenza aumenta la basis. I dividendi pagati prima della scadenza la riducono.

Cosa contiene il divario della parity

Ci sono quattro elementi, e solo quattro:

• Interesse fino alla scadenza. Pagare lo strike più avanti invece che oggi equivale a un prestito per tutta la durata del contratto, e la combinazione ne incorpora il costo.
• Dividendi pagati prima della scadenza. Una posizione sintetica non li incassa. Ogni dividendo con data ex-dividend precedente alla scadenza viene quindi sottratto dal divario.
• Costo del prestito titoli. Chi assume l’altra gamba e vende allo scoperto l’azione paga una commissione per il stock loan. Questo costo confluisce nello stesso divario.
• Valore dell’esercizio anticipato nei contratti americani, che trasforma l’uguaglianza in un intervallo.

La stessa relazione tra le scadenze

L’interesse matura giorno per giorno, mentre i dividendi vengono pagati in date precise. Per questo la basis è una curva, non un singolo valore. Una chain offre una seconda lettura di questa curva. La parity collega call e put allo stesso strike a un unico forward. Di conseguenza, un pricer che utilizza il tasso e il dividendo impliciti nella chain restituisce la stessa volatilità implicita per entrambe le gambe. Una differenza tra le gambe indica una differenza nelle ipotesi.

Il pannello è fissato su dati storici, quindi i numeri in questa pagina non cambiano: le scadenze mensili di AAPL da luglio 2026 a gennaio 2027, rilevate nella seduta del 16 giugno 2026, allo strike più vicino alla chiusura per ciascuna scadenza.

SELECT
    expiry_date,
    days_out,
    concat('$', toString(argMin(strike, atm_gap)))                        AS atm_strike_used,
    round(100 * argMin(call_iv, atm_gap), 1)                              AS call_iv_pct,
    round(100 * argMin(put_iv, atm_gap), 1)                               AS put_iv_pct,
    round(100 * (argMin(call_iv, atm_gap) - argMin(put_iv, atm_gap)), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        expiry_date,
        days_out,
        strike,
        call_iv,
        put_iv,
        abs(strike / spot_close - 1) AS atm_gap
    FROM
    (
        SELECT
            toString(expiration_date)                                    AS expiry_date,
            max(dateDiff('day', toDate(date), toDate(expiration_date)))  AS days_out,
            round(toFloat64(strike_price), 2)                            AS strike,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')              AS call_iv,
            maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')              AS put_iv,
            max(toFloat64(underlying_close))                             AS spot_close
        FROM
        (
            SELECT
                date,
                expiration_date,
                strike_price,
                implied_volatility,
                underlying_close,
                upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
            FROM global_markets.options_greeks
            WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
              AND date = '2026-06-16'
              AND expiration_date BETWEEN '2026-07-01' AND '2027-01-31'
              AND toDayOfWeek(toDate(expiration_date)) = 5
              AND toDayOfMonth(toDate(expiration_date)) BETWEEN 15 AND 21
              AND iv_converged = 1
              AND volume > 0
              AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
        )
        GROUP BY expiry_date, strike
        HAVING countIf(leg = 'C') > 0
           AND countIf(leg = 'P') > 0
    )
)
GROUP BY expiry_date, days_out
ORDER BY expiry_date

A 2026-07-17, con 31 giorni alla scadenza, lo strike $300 presentava una call al 21.9 per cento contro una put al 20.5 per cento, con un divario di 1.4 punti. A 2027-01-15, con 213 giorni alla scadenza, il divario era di 0.3 punti. Le due gambe si muovono insieme lungo tutto il calendario.

Come estrarre un dividendo implicito o un tasso di prestito titoli implicito

Per ottenere un dividendo implicito, si scelgono due scadenze che comprendono la data ex-dividend di una società, si calcola la basis per entrambe e si fa la differenza. L’interesse aggiuntivo relativo ai giorni aggiuntivi è contenuto e può essere calcolato usando il bill rate vigente. Ciò che resta è il dividendo in contanti che la chain prevede venga staccato nel periodo intermedio. Il confronto con il calendario ufficiale nella nostra pagina sulle date ex-dividend e le opzioni rende esplicita l’ipotesi di dividendo incorporata nella chain.

Per ottenere un tasso di prestito titoli implicito, si procede a ritroso. Si fissa il dividendo all’importo dichiarato e il finanziamento al bill rate, quindi si calcola la basis prodotta dai due elementi e la si confronta con quella quotata dalla chain. Su un’azione facile da prendere a prestito, i due valori coincidono. Su un’azione difficile da prendere a prestito, la basis quotata è inferiore a quella calcolata. La differenza annualizzata è la commissione di prestito titoli incorporata nei prezzi delle opzioni.

Il prerequisito è sapere quali due prezzi estrarre dallo schermo. La nostra guida alla option chain descrive la struttura dei dati.

Dove le opzioni americane rompono l’uguaglianza

Le opzioni americane possono essere esercitate in qualsiasi giorno fino alla scadenza. Le opzioni europee possono essere esercitate solo alla scadenza, e la parity come uguaglianza rigorosa vale per il caso europeo. Nei contratti americani diventa invece un intervallo, più ampio sul lato in cui il diritto di esercizio anticipato ha valore. Una call americana conviene esercitarla in anticipo solo subito prima di un dividendo superiore al suo valore temporale residuo. Per questo l’esercizio anticipato delle call tende a concentrarsi nel giorno precedente alla data ex-dividend.

Lo stesso test sulla volatilità si applica ai diversi strike di una singola scadenza. È in questo punto che si osserva l’ampiezza dell’intervallo.

SELECT
    strike,
    round(100 * call_iv, 1)             AS call_iv_pct,
    round(100 * put_iv, 1)              AS put_iv_pct,
    round(100 * (call_iv - put_iv), 1)  AS iv_gap_pct
FROM
(
    SELECT
        round(toFloat64(strike_price), 2)                AS strike,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'C')  AS call_iv,
        maxIf(toFloat64(implied_volatility), leg = 'P')  AS put_iv
    FROM
    (
        SELECT
            strike_price,
            implied_volatility,
            upper(substring(ticker, length(ticker) - 8, 1)) AS leg
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'AAPL'
          AND date = '2026-06-16'
          AND expiration_date = '2026-09-18'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.15
          AND toUInt32(toFloat64(strike_price)) % 5 = 0
    )
    GROUP BY strike
    HAVING countIf(leg = 'C') > 0
       AND countIf(leg = 'P') > 0
)
ORDER BY strike

Le due linee restano vicine lungo tutta la ladder. Allo strike 255, la call implica 30.5 per cento e la put 29.3 per cento, con un divario di 1.2 punti. Quando il divario si apre sugli strike più lontani, le possibili cause sono una chiusura obsoleta su un lato, un mercato poco liquido a quello strike, un premio per l’esercizio anticipato che il modello non considera oppure un’ipotesi di dividendo diversa da quella incorporata nei prezzi della chain.

Conversion e reversal: il flusso che la impone

Una conversion consiste in una posizione long sulle azioni, una call venduta e una put acquistata allo stesso strike. Una reversal è la configurazione speculare. Entrambi i pacchetti sono neutrali rispetto al prezzo dell’azione alla scadenza. Restano solo i termini relativi al finanziamento e ai dividendi. I market maker li utilizzano quando la combinazione si discosta abbastanza da coprire i costi. Questo flusso riporta le quotazioni verso la relazione teorica. Il vantaggio appartiene ai desk con finanziamenti convenienti e un portafoglio di stock loan alle spalle. Questa pagina non è una guida al trading di queste strategie.

Come la parity differisce dal put/call ratio

I due concetti vengono spesso confusi. La put-call parity è un’identità di pricing tra una call e una put allo stesso strike, ed è una relazione aritmetica. Il put/call ratio misura i volumi o l’open interest su un’intera chain e viene interpretato come indicatore del sentiment. La parity indica quanto deve costare una combinazione rispetto all’azione. Il ratio indica ciò che gli operatori hanno negoziato.

FAQ

Qual è la formula della put-call parity?

Per le opzioni europee con lo stesso strike e la stessa scadenza, il prezzo della call meno il prezzo della put è uguale al prezzo dell’azione meno il valore attuale dello strike e meno il valore attuale dei dividendi pagati prima della scadenza. Riscritta, la differenza tra prezzo della call e prezzo della put più lo strike restituisce il prezzo dell’azione implicito nelle opzioni.

La put-call parity vale per le opzioni americane?

Non come uguaglianza rigorosa. I diritti di esercizio anticipato la trasformano in un intervallo attorno alla relazione europea.

Come si calcola un dividendo implicito da una option chain?

Si prendono la call e la put allo stesso strike e con la stessa scadenza, si calcola prezzo della call meno prezzo della put più lo strike e si sottrae il prezzo dell’azione. Il divario è dato dall’interesse fino alla scadenza meno i dividendi attesi. Si calcola l’interesse usando il bill rate per lo stesso numero di giorni. Ciò che resta è il dividendo incorporato nei prezzi della chain.

Perché una call e una put allo stesso strike hanno la stessa volatilità implicita?

La parity collega i due prezzi senza includere un termine di volatilità. Perciò un modello che valorizza una delle due opzioni usando un determinato forward e un determinato tasso di attualizzazione valorizza l’altra con gli stessi input.

Ogni pannello qui presentato include il relativo SQL. Per applicare la stessa ladder a un altro sottostante o a una scadenza più lontana, è sufficiente richiederla in linguaggio naturale sul terminale Strasmore.