Model Hestona a uśmiech zmienności

Model Hestona a zmienność

Model Hestona to model wyceny opcji, w którym zmienność nie jest stała, lecz ma charakter losowy. Konstrukcja modelu opiera się na dwóch zmiennych: cenie akcji oraz wariancji tej ceny, z których każda podlega własnemu szokowi losowemu. To właśnie drugie źródło losowości pozwala modelowi na wygenerowanie tzw. uśmiechu zmienności (volatility smile). Założenie stałej zmienności, przyjęte w modelu Blacka-Scholesa, prowadzi do płaskiej krzywej zmienności względem cen wykonania, co nie znajduje odzwierciedlenia w rzeczywistych arkuszach opcji.

Dlaczego jedna wartość zmienności nie pasuje do całego łańcucha opcji

Zmienność implikowana to parametr zmienności, który po podstawieniu do modelu wyceny pozwala uzyskać cenę rynkową opcji. Jeśli wyliczymy ją dla każdego kontraktu z osobna, zgodnie z opisem na naszej stronie jak obliczana jest zmienność implikowana, dla jednego terminu wygaśnięcia otrzymamy krzywą rozpiętą między różnymi cenami wykonania, a nie jedną stałą wartość. Poniższy panel uwzględnia wszystkie kontrakty na SPY z terminem zapadalności od dwudziestu do czterdziestu pięciu dni, przypadającym na pierwszą połowę 2026 roku. Kontrakty te zostały pogrupowane w przedziały dwuprocentowe według odległości ceny wykonania od kursu spot, a następnie obliczono średnią zmienność implikowaną dla każdego z tych przedziałów.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

Przedział -12%, obejmujący ceny wykonania znacznie poniżej kursu spot, wykazał średnią zmienność implikowaną na poziomie 28.05%, co stanowi 11.61 punktów zmienności powyżej średniej dla opcji at-the-money w tym samym oknie czasowym. Przedział +12% po stronie opcji call osiągnął średnią 15.56%. Przedziały pomiędzy nimi tworzą krzywą, od której pochodzi nazwa tego zjawiska, a jej asymetryczne nachylenie to volatility skew. Model oparty na pojedynczym parametrze zmienności nie posiada mechanizmu pozwalającego na odwzorowanie tej zależności: każda cena wykonania wyceniana jest w oparciu o jeden rozkład prawdopodobieństwa ceny w momencie wygaśnięcia, a odwrócenie takiego modelu z założenia zwraca tę samą wartość dla każdej ceny wykonania.

Co zmienia model Hestona

Model Hestona zachowuje losowy szok dla ceny akcji i dodaje drugi proces dla wariancji. Opisując to słownie, zamiast symbolami:

• Ruch ceny akcji w kolejnej chwili to dryf powiększony o losowy szok, skalowany przez pierwiastek kwadratowy z bieżącej wariancji.
• Ruch wariancji to przyciąganie do poziomu długoterminowego ze stałą prędkością, powiększone o własny szok, skalowany przez parametr zmienności zmienności (vol-of-vol) oraz pierwiastek kwadratowy z bieżącej wariancji.
• Oba szoki są skorelowane liczbą z przedziału od minus jeden do jeden.

Skalowanie pierwiastkiem kwadratowym to postać Coxa-Ingersolla-Rossa, która pełni jedną istotną funkcję: szok wariancji maleje do zera, gdy sama wariancja zbliża się do zera, co zapobiega przyjmowaniu przez nią wartości ujemnych. Gdy iloczyn podwojonej prędkości i długoterminowej wariancji przekracza kwadrat parametru vol-of-vol – warunek znany jako warunek Fellera – wariancja pozostaje ściśle dodatnia.

Wariancja jako taka nie jest obserwowalna. Jej implikowany odpowiednik jest obserwowalny i nie pozostaje w miejscu. Poniższy panel przedstawia implikowaną zmienność dla opcji at-the-money dla dwóch instrumentów, z jednym odczytem na sesję, w drugim kwartale dwa tysiące dwudziestego szóstego roku.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

SPY otworzył okno na poziomie 20.39% w dniu 2026-04-01 i zamknął je na poziomie 14.45% w dniu 2026-06-30. NVDA poruszała się w zakresie od 36.83% do 38.22% w trakcie tych samych 62 sesji. Żadna z linii nie pozostaje w miejscu, ale też żadna nie ucieka: obie wykazują zmienność, powracając w określone okolice. Wycena obu końców tego obrazu wymaga określenia poziomu początkowego oraz poziomu długoterminowego wraz z prędkością przyciągania między nimi.

Wpływ poszczególnych parametrów modelu Hestona na powierzchnię zmienności

Powrót do średniej i poziom długoterminowy kształtują strukturę terminową

Wartość opcji zależy od średniej wariancji oczekiwanej w okresie jej obowiązywania, a nie od wariancji bieżącej. W przypadku kontraktu wygasającego w przyszłym tygodniu, kluczowe znaczenie dla tej średniej ma wariancja dzisiejsza; dla kontraktu wygasającego za rok, decydujący jest poziom długoterminowy. Parametr szybkości powrotu określa tempo, w jakim oczekiwania przemieszczają się między tymi wartościami, co determinuje nachylenie zmienności implikowanej wzdłuż krzywej terminowej.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

Dla kontraktów na SPY znajdujących się blisko ceny wykonania (near-the-money) w koszyku 1 to 7 days średnia wyniosła 17.05% w pierwszej połowie 2026 roku, w porównaniu do 18.77% w koszyku 181 to 365 days. Dla NVDA odnotowano odpowiednio 41.22% oraz 44.94% w tych samych dwóch koszykach. Model jednoparametrowy wycenia każdy termin zapadalności w oparciu o tę samą zmienność. Model Hestona pozwala na przypisanie odrębnych poziomów dla krótkich i długich terminów, przy czym parametr szybkości reguluje kształt krzywej pomiędzy nimi. Więcej takich krzywych znajduje się na naszej stronie struktura terminowa IV.

Zmienność zmienności (vol of vol) wygina uśmiech zmienności

Zmienność zmienności to zmienność samej wariancji. Przy ustawieniu jej na zero, wariancja podąża gładką ścieżką: struktura terminowa może nadal wykazywać nachylenie, ale uśmiech zmienności (smile) wzdłuż cen wykonania staje się płaski. Zwiększenie tego parametru powoduje, że rozkład ceny w momencie wygaśnięcia zyskuje na znaczeniu w obu ogonach, co podnosi zmienność dla cen wykonania znacznie oddalonych od kursu bieżącego względem tych znajdujących się blisko niego. Zakres zmian wariancji w praktyce różni się w zależności od instrumentu bazowego, a poniższy panel mierzy te zmiany bezpośrednio.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

AMZN odnotował najszerszy zakres w panelu: zmienność implikowana dla opcji at-the-money wahała się od 28.21% do 74.42%, co daje różnicę 46.22 punktów zmienności w ciągu sześciu miesięcy. KO odnotował najwęższy zakres, wynoszący 10.75 punktów. Vega, czyli wrażliwość ceny na zmienność, zdefiniowana na naszej stronie o vedze, mierzy poziom powierzchni. W warunkach zmienności stochastycznej dwa kontrakty o tej samej vedze mogą zachowywać się odmiennie, gdy zmienia się kształt powierzchni, a nie tylko jej poziom.

Korelacja przekształca uśmiech w skośność (skew)

Korelacja między szokiem cenowym akcji a szokiem wariancji zmienia symetryczny uśmiech w niesymetryczny. Przy ujemnej korelacji, scenariusze spadku cen akcji są powiązane ze wzrostem wariancji, przez co lewy ogon rozkładu w momencie wygaśnięcia zyskuje większą wagę niż prawy. W rezultacie zmienność implikowana dla opcji put jest wyższa niż dla opcji call przy tej samej odległości od kursu bieżącego.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

W pierwszej połowie 2026 roku SPY wykazał największą różnicę w panelu: kontrakty z ceną wykonania co najmniej pięć procent poniżej kursu bieżącego miały średnią 27%, w porównaniu do 14.76% dla kontraktów z ceną wykonania co najmniej pięć procent powyżej, co daje różnicę 12.23 punktów zmienności. Na drugim końcu spektrum MSFT odnotował 3.9 punktów przy tym samym pomiarze. Jeden parametr korelacji na instrument bazowy wystarcza, aby objąć cały ten zakres nachyleń.

Wariancja początkowa ustala poziom

Piątym parametrem jest wariancja, od której model zaczyna obliczenia w dniu dzisiejszym. Podnosi ona lub obniża całą powierzchnię bez istotnej zmiany jej kształtu, dlatego jest ona najczęściej aktualizowana: pozwala utrzymać model na bieżącym poziomie rynkowym, podczas gdy pozostałe cztery parametry odpowiadają za geometrię powierzchni.

Co kupuje model i ile to kosztuje

Zakup stanowi powierzchnię, która wygina się w dwóch kierunkach w oparciu o pięć interpretowalnych liczb, wycenianych w krótkim czasie. Model Hestona wycenia opcje europejskie za pomocą funkcji charakterystycznej i jednej całki numerycznej, bez konieczności stosowania symulacji, co sprawia, że dopasowanie całego łańcucha w ułamku sekundy jest praktyczne. Koszty warto przedstawić wprost.

• Pięć parametrów jest kalibrowanych, dopasowywanych do obserwowanych cen opcji, a nie mierzonych na podstawie jakichkolwiek danych.
• Kalibracja jest migawką. Ponowne dopasowanie następnego dnia powoduje zmianę liczb, co oznacza, że stałe modelu nie są stałe.
• Jeden zestaw parametrów rzadko pasuje do wszystkich terminów wygaśnięcia jednocześnie. Obserwowane uśmiechy zmienności dla bardzo krótkich terminów wyginają się ostrzej, niż pozwala na to ten proces wariancji.
• Ceny rynkowe wykazują luki. W tym modelu wariancja i kurs spot poruszają się w sposób ciągły, a luka musi zostać zaabsorbowana przez dopasowane liczby.

Jedno zastrzeżenie jest istotne dla czytelników przechodzących ze stron poświęconych zmienności. Proces wariancji opisuje dynamikę wyceniającą opcje, co jest obiektem odmiennym od zmienności, którą akcje faktycznie osiągną. Różnica między tymi dwoma pojęciami jest przedmiotem zmienności implikowanej a zmienności zrealizowanej.

Gdzie model wciąż zawodzi

Dla każdej luki istnieją rozszerzenia. Model Batesa zachowuje zmienność z modelu Hestona i dodaje skoki do procesu cenowego, co zwiększa nachylenie uśmiechu zmienności dla krótkich terminów. Modele zmienności typu rough zachowują losową zmienność, lecz zmieniają czynnik sterujący na ścieżki o charakterystyce bardziej nieregularnej niż standardowy ruch Browna, co pozwala lepiej dopasować się do bardzo krótkich terminów. Żadne z tych rozwiązań nie eliminuje problemu kalibracji: oba dodają parametry, które muszą zostać dopasowane do danego momentu, a następnie ponownie wykalibrowane.

Najczęściej zadawane pytania

Czym jest model Hestona w prostym ujęciu?

Jest to model wyceny opcji, w którym zmienność ma charakter losowy. Wariancja podąża własną ścieżką z tendencją do powrotu do długoterminowego poziomu, a jej losowość jest skorelowana ze zmianami kursu akcji. Pozwala to modelowi wycenić zakrzywiony uśmiech zmienności zamiast płaskiej linii.

Dlaczego model Blacka-Scholesa daje płaski uśmiech zmienności?

Zakłada on jedną stałą zmienność, co ustala jeden rozkład prawdopodobieństwa ceny w momencie wygaśnięcia. Każda cena wykonania jest wyceniana na podstawie tego samego rozkładu, a odwrócenie wzoru zwraca tę samą zmienność dla każdego strike'a. Płaska linia jest wynikiem przyjętego założenia, a nie obserwacją rynkową.

Co oznaczają pięć parametrów modelu Hestona?

Wariancja początkowa określa dzisiejszy poziom powierzchni zmienności. Wariancja długoterminowa wyznacza poziom, do którego wariancja dąży w czasie, a szybkość powrotu do średniej określa dynamikę tego procesu. Zmienność zmienności (vol of vol) kształtuje krzywiznę uśmiechu, a korelacja między dwoma szokami ustala jego nachylenie.

Czy model Hestona pasuje do rzeczywistych cen opcji?

Model dobrze odwzorowuje środek typowej powierzchni zmienności, natomiast trudniej radzi sobie w przypadku bardzo krótkich terminów zapadalności, gdzie obserwowane uśmiechy wyginają się ostrzej, niż pozwala na to proces wariancji. Dopasowane parametry zmieniają się z dnia na dzień, co sprawia, że kalibracja jest procesem ciągłym, a nie jednorazowym pomiarem.

Każdy z powyższych paneli zawiera kod SQL, który wygenerował dane; jest on gotowy do użycia dla innego instrumentu lub innego okna czasowego. Aby zadać jedno z tych pytań w języku naturalnym w oparciu o dane opcyjne, należy otworzyć terminal Strasmore.