By Matt Connor · ヘストン・モデルとボラティリティ・スマイルの仕組み
単一のボラティリティ数値ではオプションチェーン全体を正しく評価できません。ヘストン・モデルがどのように分散を確率的に扱い、各パラメータがスマイル形状にどのような影響を与えるのかを解説します。
15.56%
ヘストン・モデルは、ボラティリティを固定値ではなく確率変数として扱うオプション価格モデルである。このモデルは、株価と株価の分散という二つの変動要素を持ち、それぞれが独自のランダムなショックを受ける。この二つ目のランダム性の源泉こそが、ボラティリティ・スマイルを生成する要因となる。ブラック・ショールズ・モデルが前提とする一定のボラティリティでは、権利行使価格に対してフラットな線しか描くことができない。しかし、現実のオプションチェーンでフラットな形状を示すものは存在しない。
なぜ単一のボラティリティ数値ではオプションチェーンを説明できないのか
インプライド・ボラティリティとは、オプションの理論価格が実際の市場価格と一致するように算出されるボラティリティの入力値である。インプライド・ボラティリティの算出方法のページで解説している通り、契約ごとに逆算を行うと、同一の満期であっても行使価格ごとに異なる水準が算出され、曲線が描かれる。以下のパネルでは、二〇二六年上半期において残存期間が二十日から四十五日のSPYの全契約を対象とし、行使価格と現物価格の乖離率に基づき二％刻みのバンドに分類した上で、各バンド内のインプライド・ボラティリティを平均化した。
各数値の背後にある正確なSQL
WITH
(
SELECT avg(implied_volatility)
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
) AS atm_iv
SELECT
concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
round(avg(iv) * 100, 2) AS iv_pct,
round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2) AS iv_vs_atm_pts,
count() AS contracts
FROM
(
SELECT
implied_volatility AS iv,
toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket-12%バンド（現物価格を大きく下回る行使価格）の平均インプライド・ボラティリティは28.05%であり、同期間のATM（アット・ザ・マネー）平均を11.61ポイント上回った。コール側の+12%バンドの平均は15.56%であった。中間のバンドは、この現象の名称の由来である曲線を描いており、その横方向の傾きがボラティリティ・スキューである。単一のボラティリティ・パラメータを用いるモデルには、この現象を捉える術はない。こうしたモデルは、満期時の価格について単一の分布を前提として全行使価格の価格付けを行うため、逆算すればどの行使価格でも同じ数値が算出される構造になっているからである。
ヘストン・モデルによる変更点
ヘストン・モデルは、株式のランダムなショックを維持しつつ、分散に対して二つ目のプロセスを追加する。数式ではなく言葉で説明すると以下の通りである。
- 次の瞬間における株価の動きは、ドリフト項にランダムなショックを加えたものであり、現在の分散の平方根によってスケーリングされる。
- 分散の動きは、一定の速度で長期的な水準へ回帰する力に、独自のショックを加えたものである。このショックは、ボラティリティのボラティリティ（vol-of-vol）パラメータと現在の分散の平方根によってスケーリングされる。
- 二つのショックは、マイナス一から一の間の数値で相関している。
この平方根によるスケーリングはコックス・インガーソル・ロス（CIR）形式と呼ばれるもので、重要な役割を果たす。分散がゼロに近づくにつれて分散のショックも縮小するため、分散がマイナスになることを防ぐのである。速度の二倍に長期的な分散を掛けた値が、ボラティリティのボラティリティの二乗を上回る場合、フェラー条件と呼ばれる条件が満たされ、分散は厳密にプラスを維持する。
分散そのものは観測不可能である。しかし、その対照となるインプライド・ボラティリティは観測可能であり、常に変動している。以下のパネルは、二つの銘柄について、二千二十六年第二四半期の期間中、一セッションにつき一つのデータをプロットしたアット・ザ・マネーのインプライド・ボラティリティである。
各数値の背後にある正確なSQL
SELECT
toString(date) AS session_date,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2) AS spy_atm_iv_pct,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY dateSPYは2026-04-01に20.39%で期間を開始し、2026-06-30に14.45%で終了した。NVDAは同じ62セッションの期間中、36.83%から38.22%まで推移した。どちらの線も静止することはなく、かといって一方的に乖離することもない。双方が彷徨いながらも、ある一定の領域へ回帰し続けている。この両端の状況を価格付けするには、開始水準に加え、長期的な水準と、その間を回帰する速度が必要となる。
ヘストン・モデルの各パラメータがボラティリティ・サーフェスに与える影響
平均回帰と長期水準が期間構造を形成する
オプション価値は、その存続期間中に予想される平均分散に依存し、今日の分散には依存しない。来週満期を迎える契約では今日の分散が平均を支配する一方、一年後に満期を迎える契約では長期水準が支配的となる。平均回帰速度のパラメータは、期待値が両者の間をどの程度の速さで推移するかを決定し、これによりインプライド・ボラティリティの期間構造における傾斜が決まる。
各数値の背後にある正確なSQL
SELECT
tenor,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2) AS spy_iv_pct,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
SELECT
implied_volatility,
underlying_symbol,
days_to_expiry,
multiIf(
days_to_expiry <= 7, '1 to 7 days',
days_to_expiry <= 21, '8 to 21 days',
days_to_expiry <= 45, '22 to 45 days',
days_to_expiry <= 90, '46 to 90 days',
days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
'181 to 365 days') AS tenor
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)2026年上半期において、SPYのATM近辺の契約は、1 to 7 daysバケットで平均17.05%、181 to 365 daysバケットで18.77%を記録した。NVDAは同じ二つのバケットでそれぞれ41.22%と44.94%であった。単一の数値を用いるモデルでは、すべての期間を同一のボラティリティで価格付けする。ヘストン・モデルでは、期間の短いものと長いものにそれぞれ独自の水準を与え、その間の形状を速度パラメータが制御する。これらの曲線は、IV期間構造のページで確認できる。
ボラティリティのボラティリティ（Vol of vol）がスマイルを曲げる
Vol of volとは、分散そのもののボラティリティである。これをゼロに設定すると、分散は滑らかに推移する。期間構造に傾斜は残るものの、権利行使価格ごとのスマイルは平坦になる。この値を大きくすると、満期時の価格分布の両裾が厚くなり、スポットから離れた権利行使価格のボラティリティがATM近辺よりも上昇する。分散が実際にどの程度変動するかは原資産によって異なり、以下のパネルでその変動を直接測定している。
各数値の背後にある正確なSQL
SELECT
symbol,
round(min(daily_iv) * 100, 2) AS low_iv_pct,
round(max(daily_iv) * 100, 2) AS high_iv_pct,
round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
SELECT
underlying_symbol AS symbol,
date,
avg(implied_volatility) AS daily_iv
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESCAMZNはパネル内で最も広い範囲を記録した。ATMのインプライド・ボラティリティは最低28.21%から最高74.42%まで、六ヶ月間で46.22ボラティリティ・ポイントの開きがあった。KOは最も狭い範囲で、その差は10.75ポイントであった。ベガのページで定義されるベガ（ボラティリティに対する価格感応度）は、サーフェスの水準を測定する。確率的ボラティリティの下では、ベガが一致する二つの契約であっても、サーフェスの水準ではなく形状が変化する場合には異なる挙動を示す可能性がある。
相関係数がスマイルをスキューへと傾ける
株価の変動と分散の変動の間の相関は、対称的なスマイルを非対称なものへと変える。負の相関がある場合、株価が下落する経路では分散が上昇するため、満期時の分布の左裾が右裾よりも厚くなる。その結果、スポットから同距離にあるプット側のインプライド・ボラティリティは、コール側よりも高く価格付けされる。
各数値の背後にある正確なSQL
SELECT
underlying_symbol AS symbol,
round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2) AS otm_put_iv_pct,
round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2) AS otm_call_iv_pct,
round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
SELECT
underlying_symbol,
implied_volatility AS iv,
toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC2026年上半期において、SPYはパネル内で最も大きな乖離を示した。スポットを五パーセント以上下回る権利行使価格の契約は平均27%であったのに対し、五パーセント以上上回る契約は14.76%であり、その差は12.23ボラティリティ・ポイントであった。対照的に、MSFTは同測定で3.9ポイントを記録した。原資産ごとに設定される一つの相関パラメータが、これらすべての傾斜をカバーしている。
初期分散が水準を決定する
五つ目のパラメータは、モデルが今日出発点とする分散である。これはサーフェスの形状を大きく変えることなく、サーフェス全体を上下にシフトさせる。そのため、他の四つのパラメータが幾何学的な形状を維持する一方で、初期分散はモデルを市場の現在の水準に適合させるために最も頻繁に再調整される。
モデルの購入対象とそのコスト
この購入対象は、五つの解釈可能な数値から二方向に湾曲する曲面であり、迅速に価格が算出される。Hestonモデルは特性関数と一回の数値積分を用いてヨーロピアン・オプションを評価する。シミュレーションは不要であり、オプションチェーン全体を秒単位のわずかな時間でフィッティングすることが実用的である。コストについては、明確に述べる価値がある。
- 五つのパラメータはキャリブレーション（調整）されるものであり、何らかの測定値ではなく、観測されたオプション価格に適合させる。
- キャリブレーションはスナップショットに過ぎない。翌日に再フィッティングを行えば数値は変動するため、モデルの定数は定数ではない。
- 一つのパラメータセットが、すべての満期に同時に適合することは稀である。極めて短期のボラティリティ・スマイルは、この分散プロセスが表現できる以上の急峻な湾曲を示す。
- 市場価格にはギャップが生じる。本モデルでは分散とスポット価格は連続的に変動するが、ギャップが生じた場合、それはフィッティングされた数値によって吸収されなければならない。
ボラティリティ関連のページから訪れた読者にとって、一つの注意点がある。分散プロセスはオプションを価格付けするためのダイナミクスを記述するものであり、株式が将来実現するボラティリティとは異なる対象である。両者の乖離については、インプライド・ボラティリティと実現ボラティリティの比較で詳述する。
モデルが依然として捉えきれない領域
各ギャップを埋めるための拡張が存在する。BatesモデルはHestonモデルの分散構造を維持しつつ、価格プロセスにジャンプ過程を加えることで、短期のボラティリティ・スマイルを急峻にする。ラフ・ボラティリティ・モデルは、ランダムな分散を維持しつつ、その駆動源を標準的なブラウン運動よりも「ラフ（粗い）」な経路に置き換えることで、極めて短期の市場価格をより精緻に再現する。しかし、いずれのモデルもキャリブレーションの問題を解消してはいない。どちらも、ある時点のモーメントに合わせて調整し、その後再調整が必要となるパラメータを追加しているに過ぎない。
よくある質問
ヘストン・モデルとはどのようなものか
オプション価格決定モデルの一種であり、ボラティリティが確率的に変動すると仮定する。分散は長期的な水準へ回帰する独自の経路をたどり、その変動は株価の変動と相関を持つ。これにより、モデルは平坦な線ではなく、湾曲したボラティリティ・スマイルを算出できる。
なぜブラック・ショールズ・モデルではボラティリティ・スマイルが平坦になるのか
一定のボラティリティを前提としているため、満期時の価格分布が一つに固定されるからである。すべての行使価格が同一の分布から算出されるため、計算式を逆算しても、どの行使価格においても同じボラティリティが導き出される。この平坦な線は市場の観測結果ではなく、モデルの前提から導かれる帰結である。
ヘストン・モデルの五つのパラメータは何を意味するのか
初期分散は現在のボラティリティ水準を決定する。長期分散は分散が時間経過とともに回帰する水準を定め、平均回帰速度はその引き寄せの強さを決める。ボラティリティのボラティリティはスマイルの曲率を決定し、二つのショック間の相関がその傾きを決定する。
ヘストン・モデルは実際のオプション価格に適合するか
一般的なボラティリティ・スマイルの中間領域にはよく適合する。一方で、期間が極めて短い領域では、観測されるスマイルの曲がり方がモデルの分散プロセスで許容される範囲を超えて急峻になるため、適合が難しくなる。また、適合させたパラメータは日々変化するため、キャリブレーションは一度限りの測定ではなく、継続的な作業となる。
上記の各パネルには、その出力を生成したSQLが付属しており、別の銘柄や期間に即座に適用できる。オプションデータに対して平易な言葉で質問を行うには、Strasmoreターミナルを開くこと。