Heston Model மற்றும் Volatility Smile விளக்கம்

Heston மாதிரி

Heston மாதிரி என்பது volatility-ஐ நிலையானதாகக் கருதாமல், சீரற்றதாகக் (random) கருதும் ஒரு option pricing மாதிரி ஆகும். இதில் இரண்டு நகரும் கூறுகள் உள்ளன: பங்கின் விலை மற்றும் அந்த விலையின் variance; இவை ஒவ்வொன்றும் தனித்தனி சீரற்ற அதிர்வுகளைக் (random shock) கொண்டுள்ளன. இந்த இரண்டாவது சீரற்ற தன்மையே, ஒரு மாதிரி volatility smile-ஐ உருவாக்க வழிவகுக்கிறது. Black-Scholes மாதிரியில் உள்ளவாறு volatility-ஐ மாறிலியாகக் (constant) கருதினால், அது strike price-களுக்கு இடையே ஒரு தட்டையான கோட்டை மட்டுமே வரைய முடியும்; ஆனால் எந்தவொரு option chain-ம் இதுவரை தட்டையாக இருந்ததில்லை.

ஒரு option chain-க்கு ஏன் ஒரே ஒரு volatility எண் பொருந்தாது

Implied volatility என்பது ஒரு option-ன் சந்தை விலையை, அதன் விலை நிர்ணய சூத்திரத்தில் உள்ளீடு செய்யும்போது கிடைக்கும் மதிப்பாகும். implied volatility எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்ற எங்கள் பக்கத்தில் விளக்கியுள்ளபடி, ஒவ்வொரு ஒப்பந்தத்திற்கும் தனித்தனியாக இதைக் கணக்கிட்டால், ஒரே காலாவதி தேதியில் (expiry) பல்வேறு strike price-களுக்கு இடையே ஒரு வளைகோடு (curve) கிடைக்குமே தவிர, ஒரே சீரான நிலை கிடைக்காது. கீழே உள்ள அட்டவணை, 2026-ன் முதல் பாதியில் 20 முதல் 45 நாட்கள் காலாவதி காலம் கொண்ட அனைத்து SPY ஒப்பந்தங்களையும் எடுத்துக்கொள்கிறது. இவை strike price-க்கும் தற்போதைய சந்தை விலைக்கும் (spot) இடையிலான தூரத்தின் அடிப்படையில் இரண்டு சதவீத இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு, ஒவ்வொரு பிரிவிலும் உள்ள implied volatility சராசரி செய்யப்பட்டுள்ளது.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

-12% பிரிவில், தற்போதைய சந்தை விலையை விட மிகக் குறைவான strike price-களைக் கொண்ட ஒப்பந்தங்கள், சராசரியாக 28.05% implied volatility-ஐக் கொண்டிருந்தன. இது அதே காலக்கட்டத்தில் at-the-money சராசரியை விட 11.61 volatility புள்ளிகள் அதிகமாகும். Call side-ல் உள்ள +12% பிரிவு சராசரியாக 15.56%-ஐக் கொண்டிருந்தது. இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பிரிவுகள், இந்த விளைவுக்குப் பெயர்க்காரணமாக அமைந்த வளைகோட்டை உருவாக்குகின்றன. இதன் பக்கவாட்டுச் சாய்வு volatility skew என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரே ஒரு volatility அளவீட்டை மட்டும் பயன்படுத்தும் ஒரு மாதிரியால் (model) இந்த மாற்றங்களை ஈடுசெய்ய முடியாது; ஏனெனில், அத்தகைய மாதிரிகள் காலாவதி தேதியில் விலையை நிர்ணயிக்க ஒரே ஒரு distribution-ஐ மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றன. அந்த மாதிரியைத் தலைகீழாகக் கணக்கிட்டால், ஒவ்வொரு strike price-க்கும் ஒரே எண்ணையே அது வழங்கும்.

Heston மாதிரி எதை மாற்றுகிறது

Heston மாதிரியானது பங்கின் சீரற்ற அதிர்வுகளை (random shock) அப்படியே வைத்துக்கொண்டு, மாறுபாட்டிற்கு (variance) இரண்டாவது செயல்முறை ஒன்றைச் சேர்க்கிறது. குறியீடுகளைத் தவிர்த்துச் சொன்னால்:

• அடுத்த கணத்தில் பங்கின் நகர்வு என்பது ஒரு drift மற்றும் சீரற்ற அதிர்வு ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை ஆகும்; இது தற்போதைய variance-ன் வர்க்கமூலத்தால் (square root) அளவிடப்படுகிறது.
• variance-ன் நகர்வு என்பது ஒரு நிலையான வேகத்தில் நீண்டகால நிலையை நோக்கி ஈர்க்கப்படுவதாகும்; இதனுடன் அதன் சொந்த அதிர்வும், vol-of-vol அளவுரு மற்றும் தற்போதைய variance-ன் வர்க்கமூலத்தால் அளவிடப்பட்டு சேர்க்கப்படுகிறது.
• இந்த இரண்டு அதிர்வுகளும் -1 முதல் 1 வரையிலான எண்ணால் தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன.

அந்த வர்க்கமூல அளவீடு என்பது Cox-Ingersoll-Ross வடிவம் ஆகும்; இது ஒரு முக்கியமான பணியைச் செய்கிறது: variance பூஜ்ஜியத்தை நெருங்கும்போது, அதன் அதிர்வும் சுருங்கி பூஜ்ஜியத்தை நோக்கிச் செல்கிறது. இது variance எதிர்மறையாக (negative) மாறுவதைத் தடுக்கிறது. நீண்டகால variance-ன் இருமடங்கு வேகம், vol-of-vol-ன் வர்க்கத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்போது, Feller நிபந்தனைப்படி, variance எப்போதும் நேர்மறையாகவே இருக்கும்.

Variance-ஐ நேரடியாகக் காண முடியாது. அதன் implied counterpart-ஐக் காண முடியும், அது நிலையாக இருப்பதில்லை. கீழே உள்ள வரைபடம், 2026-ன் இரண்டாம் காலாண்டில், இரண்டு நிறுவனங்களின் at-the-money implied volatility-ஐ, ஒவ்வொரு அமர்வுக்கும் ஒரு தரவு வீதம் காட்டுகிறது.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

SPY இந்த காலக்கட்டத்தை 2026-04-01 அன்று 20.39%-ல் தொடங்கி, 2026-06-30 அன்று 14.45%-ல் முடித்தது. NVDA அதே 62 அமர்வுகளில் 36.83%-லிருந்து 38.22% வரை நகர்ந்தது. இரண்டு கோடுகளும் நிலையாக இருப்பதில்லை, அதே சமயம் வெகுதூரம் விலகிச் செல்வதுமில்லை: இரண்டுமே அலைந்து திரிந்து மீண்டும் ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லைக்கே திரும்பி வருகின்றன. அந்த வரைபடத்தின் இரண்டு முனைகளையும் விலை நிர்ணயம் செய்ய, ஒரு தொடக்க நிலை, ஒரு நீண்டகால நிலை மற்றும் அவற்றுக்கு இடையேயான ஈர்ப்பு வேகம் ஆகியவை தேவைப்படுகின்றன.

Heston-ன் ஒவ்வொரு அளவீடும் (parameter) பரப்பின் மீது ஏற்படுத்தும் தாக்கம்

Mean reversion மற்றும் நீண்டகால நிலை ஆகியவை கால அமைப்பை (term structure) வடிவமைக்கின்றன

ஒரு option-ன் மதிப்பு அதன் வாழ்நாளில் எதிர்பார்க்கப்படும் சராசரி variance-ஐப் பொறுத்தது, இன்றைய variance-ஐ மட்டும் சார்ந்தது அல்ல. அடுத்த வாரம் காலாவதியாகும் ஒரு ஒப்பந்தத்திற்கு, இன்றைய variance அந்தச் சராசரியைத் தீர்மானிக்கிறது; ஒரு வருடத்தில் காலாவதியாகும் ஒப்பந்தத்திற்கு, நீண்டகால நிலை (long-run level) முக்கியமானது. இந்த இரண்டிற்கும் இடையே எதிர்பார்ப்பு எவ்வளவு வேகமாக மாறுகிறது என்பதை speed parameter தீர்மானிக்கிறது; இது காலண்டரின் முன்பகுதியிலிருந்து பின்பகுதி வரை implied volatility எவ்வளவு செங்குத்தாகச் சரிவடைகிறது என்பதை நிர்ணயிக்கிறது.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

2026-ன் முதல் பாதியில், 1 to 7 days bucket-ல் இருந்த Near-the-money SPY ஒப்பந்தங்கள் சராசரியாக 17.05%-ஐக் கொண்டிருந்தன, அதே சமயம் 181 to 365 days bucket-ல் இது 18.77% ஆக இருந்தது. இதே இரண்டு bucket-களிலும் NVDA முறையே 41.22% மற்றும் 44.94% எனப் பதிவாகியுள்ளது. ஒரு எண் கொண்ட மாதிரி (one-number model) அனைத்து tenor-களுக்கும் ஒரே volatility-ஐப் பயன்படுத்துகிறது. Heston மாதிரி, முன்பகுதி மற்றும் பின்பகுதிக்குத் தனித்தனி நிலைகளை வழங்குகிறது, மேலும் அவற்றுக்கு இடையேயான வடிவத்தை speed parameter கட்டுப்படுத்துகிறது. இத்தகைய வளைவுகள் பலவற்றை எங்களது IV term structure பக்கத்தில் காணலாம்.

Vol of vol, smile-ஐ வளைக்கிறது

Vol of vol என்பது variance-ன் சொந்த volatility ஆகும். இதை பூஜ்ஜியமாக அமைத்தால், variance ஒரு சீரான பாதையில் செல்லும்: term structure சரிவாக இருக்கலாம், ஆனால் strike விலைகளுக்கு இடையிலான smile தட்டையாகிவிடும். இதை அதிகரித்தால், காலாவதியாகும் போது விலையின் பரவல் (distribution) இரண்டு முனைகளிலும் (tails) அதிக எடையைப் பெறுகிறது, இது spot விலையிலிருந்து தொலைவில் உள்ள strike-களை, அருகில் உள்ளவற்றை விட அதிக விலைக்கு உயர்த்துகிறது. நடைமுறையில் variance எவ்வளவு தூரம் பயணிக்கிறது என்பது அந்தந்த underlying-ஐப் பொறுத்து மாறுபடும், கீழே உள்ள பேனல் அந்த மாற்றத்தை நேரடியாக அளவிடுகிறது.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

AMZN இந்த பேனலில் மிக அகலமான வரம்பைக் கொண்டிருந்தது: at-the-money implied volatility குறைந்தபட்சம் 28.21% முதல் அதிகபட்சம் 74.42% வரை இருந்தது, இது ஆறு மாதங்களில் 46.22 volatility புள்ளிகள் வித்தியாசத்தைக் காட்டுகிறது. KO மிகக் குறுகிய வரம்பைக் கொண்டிருந்தது, இது 10.75 புள்ளிகளாகும். Vega என்பது volatility-க்கான விலை உணர்திறன் ஆகும், இதை எங்களது vega பக்கம் வரையறுக்கிறது, இது பரப்பின் அளவை (level) அளவிடுகிறது. Stochastic volatility-ன் கீழ், ஒரே மாதிரியான vega கொண்ட இரண்டு ஒப்பந்தங்கள், பரப்பின் அளவு மாறாமல் வடிவம் மாறும்போது வெவ்வேறு விதமாகச் செயல்படக்கூடும்.

Correlation, smile-ஐ skew ஆக மாற்றுகிறது

பங்கின் விலையில் ஏற்படும் அதிர்வுக்கும் variance-ன் அதிர்வுக்கும் இடையிலான தொடர்பு (correlation), ஒரு சமச்சீரான smile-ஐச் சமச்சீரற்றதாக (lopsided) மாற்றுகிறது. எதிர்மறைத் தொடர்பின் (negative correlation) கீழ், பங்கின் விலை குறையும் பாதைகளில் variance அதிகரிக்கிறது, இதனால் காலாவதியாகும் போது விநியோகத்தின் இடது முனை (left tail) வலது முனையை விட அதிக எடையைக் கொள்கிறது. அப்போது, spot விலையிலிருந்து சமமான தூரத்தில் உள்ள call-side implied volatility-ஐ விட, put-side implied volatility அதிக விலையில் இருக்கும்.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

2026-ன் முதல் பாதியில், SPY இந்த பேனலில் மிகப்பெரிய இடைவெளியைக் காட்டியது: spot விலையை விட குறைந்தது 5% குறைவாக strike செய்யப்பட்ட ஒப்பந்தங்கள் சராசரியாக 27% ஆகவும், 5% அதிகமாக strike செய்யப்பட்டவை 14.76% ஆகவும் இருந்தன, இது 12.23 volatility புள்ளிகள் வித்தியாசமாகும். மறுபுறம், MSFT இதே அளவீட்டில் 3.9 புள்ளிகளைப் பதிவு செய்தது. ஒவ்வொரு underlying-க்கும் ஒரு correlation parameter மட்டுமே இந்த முழு அளவிலான சாய்வுகளையும் (tilts) உள்ளடக்குகிறது.

தொடக்க variance அளவை நிர்ணயிக்கிறது

ஐந்தாவது parameter என்பது மாதிரி இன்று தொடங்கும் variance ஆகும். இது பரப்பின் வடிவத்தை அதிகம் மாற்றாமல் முழு பரப்பையும் உயர்த்துகிறது அல்லது குறைக்கிறது; இதனால்தான் இது அடிக்கடி மாற்றியமைக்கப்படுகிறது: மற்ற நான்கு parameter-கள் வடிவத்தை நிர்வகிக்கும்போது, இது மாதிரியைச் சந்தையின் தற்போதைய நிலையில் வைத்திருக்க உதவுகிறது.

மாதிரி எதை வாங்குகிறது மற்றும் அதன் செலவு என்ன

இந்தக் கொள்முதல் என்பது ஐந்து விளக்கக்கூடிய எண்களிலிருந்து இரு திசைகளில் வளையும் ஒரு மேற்பரப்பாகும், இது விரைவாக விலை நிர்ணயம் செய்யப்படுகிறது. Heston மாதிரி, European options-ன் மதிப்பை ஒரு characteristic function மற்றும் ஒரு numerical integral மூலம் கணக்கிடுகிறது. இதற்கு simulation தேவையில்லை என்பதால், ஒரு முழு option chain-ஐயும் நொடியின் ஒரு பகுதியில் பொருத்துவது சாத்தியமாகிறது. இதன் செலவுகளைத் தெளிவாகக் குறிப்பிடுவது அவசியம்.

• இந்த ஐந்து அளவுருக்களும் (parameters) சந்தையில் காணப்படும் option விலைகளுக்கு ஏற்ப சரிசெய்யப்படுகின்றன (calibrated); இவை எதிலிருந்தும் நேரடியாக அளவிடப்படுவதில்லை.
• ஒரு calibration என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட நேரத்தின் நிலையை மட்டுமே குறிக்கும் (snapshot). அடுத்த நாள் மீண்டும் கணக்கிடும்போது எண்கள் மாறக்கூடும், அதாவது மாதிரியின் மாறிலிகள் (constants) நிலையானவை அல்ல.
• ஒரு குறிப்பிட்ட அளவுரு தொகுப்பு, அனைத்து expiry காலங்களுக்கும் ஒரே நேரத்தில் பொருந்துவது அரிது. மிகக் குறுகிய கால முதிர்வு கொண்டவற்றில் காணப்படும் 'smiles', இந்த variance process-ஆல் உருவாக்கப்படும் வளைவை விடக் கூர்மையாக இருக்கும்.
• சந்தையில் விலைகள் இடைவெளியுடன் (gap) அமைகின்றன. இங்கு variance மற்றும் spot ஆகிய இரண்டும் தொடர்ச்சியாக நகர்கின்றன, ஆனால் ஒரு விலை இடைவெளி ஏற்படும்போது, அதை இந்த மாதிரி எண்கள் உள்வாங்கிக்கொள்ள வேண்டும்.

Volatility பக்கங்களிலிருந்து வரும் வாசகர்களுக்கு ஒரு எச்சரிக்கை முக்கியமானது. இந்த variance process என்பது options-க்கு விலை நிர்ணயம் செய்யும் இயக்கவியலை விவரிக்கிறது; இது ஒரு பங்கு எதிர்காலத்தில் அடையப்போகும் volatility-யிலிருந்து முற்றிலும் மாறுபட்டது. இவ்விரண்டிற்கும் இடையிலான வேறுபாடே implied volatility versus realised volatility என்பதன் பொருளாகும்.

மாதிரி இன்னும் எங்கு தவறு செய்கிறது

ஒவ்வொரு இடைவெளிக்கும் நீட்டிப்புகள் உள்ளன. Bates மாதிரி, Heston மாதிரியின் variance-ஐ அப்படியே வைத்துக்கொண்டு, விலை செயல்பாட்டில் (price process) திடீர் மாற்றங்களை (jumps) சேர்க்கிறது; இது குறுகிய கால smile-ஐ அதிகப்படுத்துகிறது. Rough volatility மாதிரிகள், சீரற்ற variance-ஐ வைத்துக்கொண்டு, சாதாரண Brownian motion-ஐ விட அதிக ஏற்ற இறக்கம் கொண்ட பாதைகளை (paths) பயன்படுத்துகின்றன; இது மிகக் குறுகிய கால சந்தை நிலவரத்தை இன்னும் துல்லியமாகப் பிரதிபலிக்கிறது. இருப்பினும், இவை இரண்டுமே calibration சிக்கலைத் தீர்க்கவில்லை: இவை இரண்டுமே கூடுதல் அளவுருக்களை (parameters) சேர்க்கின்றன, அவற்றை ஒரு குறிப்பிட்ட தருணத்திற்கு ஏற்ப பொருத்த வேண்டியுள்ளது, பின்னர் மீண்டும் மாற்றியமைக்க வேண்டியுள்ளது.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகள் (FAQ)

Heston மாதிரி என்றால் என்ன, எளிமையாகச் சொல்லுங்கள்?

இது ஒரு option pricing மாதிரி; இதில் volatility சீரற்றதாக (random) இருக்கும். Variance தனது சொந்தப் பாதையில் பயணிக்கும், நீண்ட கால சராசரி நிலையை நோக்கி ஈர்க்கப்படும். இதன் சீரற்ற தன்மை, பங்கின் விலையுடன் தொடர்புடையதாக இருப்பதால், தட்டையான கோட்டிற்குப் பதிலாக வளைந்த volatility smile-ஐ இந்த மாதிரியால் கணிக்க முடிகிறது.

Black-Scholes ஏன் தட்டையான volatility smile-ஐத் தருகிறது?

இது ஒரு மாறாத volatility-ஐ அடிப்படையாகக் கொண்டது. இது காலாவதி தேதியில் விலையின் பரவலை (distribution) நிலையாக வைத்திருக்கிறது. ஒவ்வொரு strike-க்கும் அதே பரவலிலிருந்து விலை நிர்ணயிக்கப்படுவதால், சூத்திரத்தைத் தலைகீழாக மாற்றும்போது எல்லா strike-களிலும் ஒரே volatility கிடைக்கிறது. இந்தத் தட்டையான கோடு சந்தையின் உண்மை நிலவரமல்ல, இது மாதிரியின் அனுமானத்தால் வரும் விளைவு மட்டுமே.

Heston மாதிரியின் ஐந்து அளவீடுகள் (parameters) எதைக் குறிக்கின்றன?

Starting variance இன்றைய volatility அளவைத் தீர்மானிக்கிறது. Long-run variance என்பது காலப்போக்கில் variance எந்த நிலையை நோக்கி ஈர்க்கப்படும் என்பதையும், mean-reversion speed என்பது அந்த ஈர்ப்பு எவ்வளவு வேகமாகச் செயல்படும் என்பதையும் குறிக்கிறது. Vol of vol என்பது smile-ன் வளைவையும், இரண்டு அதிர்வுகளுக்கு இடையிலான correlation அதன் சாய்வையும் (tilt) தீர்மானிக்கின்றன.

Heston மாதிரி உண்மையான option விலைகளுக்குப் பொருந்துகிறதா?

இது வழக்கமான volatility surface-ன் மையப்பகுதிக்கு நெருக்கமாகப் பொருந்துகிறது. ஆனால், மிகக் குறுகிய கால அளவில் (short end), சந்தையில் காணப்படும் வளைவுகள் இந்த மாதிரியின் variance செயல்முறை அனுமதிக்கும் அளவை விடக் கூர்மையாக இருப்பதால், அங்கு இது சவாலாக உள்ளது. மேலும், இதற்கான அளவீடுகள் நாள்தோறும் மாறுவதால், இதை ஒருமுறை அளவிடுவதை விட, தொடர்ந்து மறுசீரமைப்பு (calibration) செய்வது அவசியமாகிறது.

மேலே உள்ள ஒவ்வொரு பகுதியும் அதை உருவாக்கிய SQL குறியீட்டுடன் வருகிறது; இதை மற்றொரு பெயர் அல்லது காலக்கெடுவிற்கு மாற்றிக்கொள்ளலாம். options தரவுகளைப் பயன்படுத்தி இது போன்ற கேள்விகளைக் கேட்க, Strasmore terminal-ஐத் திறக்கவும்.