Heston Modell und Volatility Smile erklärt

Das Heston-Modell

15.56% Das Heston-Modell ist ein Modell zur Optionspreisbildung, das Volatilität als stochastische und nicht als konstante Größe behandelt. Es umfasst zwei dynamische Komponenten: den Aktienkurs und die Varianz dieses Preises, wobei beide jeweils einem eigenen stochastischen Schock unterliegen. Diese zweite Quelle der Zufälligkeit ermöglicht es dem Modell überhaupt erst, einen Volatility Smile abzubilden. Eine konstante Volatilität, wie sie dem Black-Scholes-Modell zugrunde liegt, kann über verschiedene Ausübungspreise hinweg lediglich eine flache Linie erzeugen. Keine Optionskette war jemals flach.

Warum eine Volatilitätskennzahl nicht für eine gesamte Optionskette ausreicht

Die implizite Volatilität ist der Volatilitätsparameter, der in einer Preisformel den tatsächlichen Marktpreis einer Option ergibt. Kehrt man diese Berechnung für jeden Kontrakt einzeln um, wie es auf unserer Seite zur Berechnung der impliziten Volatilität erläutert wird, ergibt sich für ein Verfallsdatum eine Kurve über die verschiedenen Strikes hinweg statt eines einzelnen Niveaus. Das nachstehende Panel erfasst alle SPY-Kontrakte mit einer Restlaufzeit von zwanzig bis fünfundvierzig Tagen für die erste Jahreshälfte zweitausendsechsundzwanzig, unterteilt diese in zwei-Prozent-Bänder basierend auf dem Abstand zwischen Strike und Spotkurs und bildet den Durchschnitt der impliziten Volatilität innerhalb jedes Bandes.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

Das -12%-Band, mit Strikes weit unter dem Spotkurs, wies eine durchschnittliche implizite Volatilität von 28.05% auf, was 11.61 Volatilitätspunkte über dem Durchschnitt der At-the-Money-Optionen für denselben Zeitraum liegt. Das +12%-Band auf der Call-Seite lag im Durchschnitt bei 15.56%. Die dazwischenliegenden Bänder bilden die Kurve ab, nach der dieser Effekt benannt ist; ihre seitliche Neigung wird als Volatility Skew bezeichnet. Ein Modell mit nur einem Volatilitätsparameter verfügt über keine Stellschraube, um dies abzubilden: Jeder Strike basiert auf einer einzigen Verteilung für den Preis bei Verfall, und die Umkehrung dieses Modells liefert konstruktionsbedingt für jeden Strike denselben Wert.

Was das Heston-Modell verändert

Das Heston-Modell behält den zufälligen Schock der Aktie bei und ergänzt einen zweiten Prozess für die Varianz. In Worten statt in Symbolen ausgedrückt:

• Die Kursbewegung der Aktie im nächsten Moment besteht aus einem Drift und einem zufälligen Schock, skaliert mit der Quadratwurzel der aktuellen Varianz.
• Die Bewegung der Varianz ist ein Zug zu einem langfristigen Niveau mit einer festen Geschwindigkeit, ergänzt durch einen eigenen Schock, skaliert mit einem Vol-of-Vol-Parameter und der Quadratwurzel der aktuellen Varianz.
• Die beiden Schocks sind korreliert, wobei der Wert zwischen minus eins und eins liegt.

Diese Skalierung mit der Quadratwurzel entspricht der Cox-Ingersoll-Ross-Form und erfüllt eine wichtige Funktion: Der Varianzschock schrumpft gegen null, wenn die Varianz sich null nähert, was verhindert, dass die Varianz negativ wird. Wenn das Zweifache der Geschwindigkeit multipliziert mit der langfristigen Varianz das Quadrat der Vol-of-Vol übersteigt – eine Bedingung, die nach Feller benannt ist –, bleibt die Varianz strikt positiv.

Die Varianz selbst ist nicht beobachtbar. Ihr implizites Gegenstück hingegen schon, und dieses ist nicht statisch. Die nachstehende Grafik zeigt die implizite Volatilität am Geld für zwei Titel, mit einem Datenpunkt pro Handelssitzung, über das zweite Quartal 2026.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

SPY eröffnete das Fenster bei 20.39% am 2026-04-01 und schloss es bei 14.45% am 2026-06-30. NVDA bewegte sich im selben Zeitraum von 36.83% bis 38.22% über die gleichen 62 Handelssitzungen. Keine der beiden Linien verharrt auf einem Punkt, und keine läuft davon: Beide schwanken und kehren immer wieder in einen bestimmten Bereich zurück. Die Bepreisung beider Enden dieses Bildes erfordert ein Startniveau sowie ein langfristiges Niveau mit einer Geschwindigkeit für den Zug zwischen diesen beiden Werten.

Wie die einzelnen Heston-Parameter die Oberfläche beeinflussen

Mean Reversion und das langfristige Niveau bestimmen die Laufzeitstruktur

Der Wert einer Option hängt von der erwarteten durchschnittlichen Varianz über ihre Laufzeit ab, nicht von der heutigen Varianz. Bei einem Kontrakt, der nächste Woche ausläuft, dominiert die heutige Varianz diesen Durchschnitt; bei einem Kontrakt mit einjähriger Laufzeit dominiert das langfristige Niveau. Der Geschwindigkeitsparameter legt fest, wie schnell sich die Erwartung zwischen diesen beiden Werten bewegt, was bestimmt, wie steil die implizite Volatilität vom vorderen zum hinteren Ende der Laufzeitkurve verläuft.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

At-the-money SPY-Kontrakte im 1 to 7 days-Bucket wiesen in der ersten Jahreshälfte 2026 einen Durchschnitt von 17.05% auf, verglichen mit 18.77% im 181 to 365 days-Bucket. NVDA notierte bei 41.22% beziehungsweise 44.94% in denselben beiden Buckets. Ein Ein-Parameter-Modell bewertet jede Laufzeit auf Basis derselben Volatilität. Heston weist dem vorderen und dem hinteren Ende eigene Niveaus zu, wobei der Geschwindigkeitsparameter den Verlauf dazwischen steuert. Weitere dieser Kurven finden Sie auf unserer IV-Laufzeitstruktur-Seite.

Die Volatilität der Volatilität krümmt den Smile

Die Volatilität der Volatilität ist die Schwankungsbreite der Varianz selbst. Setzt man sie auf null, folgt die Varianz einem glatten Pfad: Die Laufzeitstruktur kann zwar noch eine Steigung aufweisen, aber der Smile über die verschiedenen Strikes hinweg flacht ab. Erhöht man diesen Wert, gewinnen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Preise zum Verfallstag in beiden Enden (Tails) an Gewicht, was Strikes, die weit vom Spot entfernt liegen, gegenüber Strikes in Spotnähe anhebt. Wie stark die Varianz in der Praxis schwankt, unterscheidet sich je nach Basiswert; das untenstehende Panel misst diese Bewegung direkt.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

AMZN deckte die breiteste Spanne im Panel ab: Die at-the-money implizite Volatilität lag bei einem Tiefstand von 28.21% und einem Höchststand von 74.42%, was über sechs Monate hinweg eine Differenz von 46.22 Volatilitätspunkten ergibt. KO wies mit 10.75 Punkten die geringste Schwankungsbreite auf. Vega, die Preissensitivität gegenüber der Volatilität, die auf unserer Vega-Seite definiert ist, misst das Niveau der Oberfläche. Unter stochastischer Volatilität können sich zwei Kontrakte mit identischem Vega unterschiedlich verhalten, wenn sich die Form der Oberfläche anstatt ihres Niveaus ändert.

Korrelation neigt den Smile zum Skew

Die Korrelation zwischen dem Schock des Aktienkurses und dem Schock der Varianz verwandelt einen symmetrischen Smile in einen asymmetrischen. Bei einer negativen Korrelation sind Pfade, auf denen die Aktie fällt, Pfade, auf denen die Varianz steigt; das linke Ende der Verteilung zum Verfallstag erhält dadurch mehr Gewicht als das rechte. Die implizite Volatilität der Put-Optionen liegt dann über der impliziten Volatilität der Call-Optionen bei gleichem Abstand zum Spot.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

In der ersten Jahreshälfte 2026 zeigte SPY die größte Differenz im Panel: Kontrakte mit einem Strike von mindestens fünf Prozent unter dem Spot notierten im Durchschnitt bei 27%, verglichen mit 14.76% bei Kontrakten mit einem Strike von mindestens fünf Prozent darüber, was eine Differenz von 12.23 Volatilitätspunkten ausmacht. Am anderen Ende notierte MSFT bei 3.9 Punkten nach derselben Messmethode. Ein einziger Korrelationsparameter pro Basiswert deckt diese gesamte Bandbreite an Neigungen ab.

Die Startvarianz bestimmt das Niveau

Der fünfte Parameter ist die Varianz, von der das Modell heute ausgeht. Er hebt oder senkt die gesamte Oberfläche, ohne deren Form wesentlich zu verändern. Deshalb wird er am häufigsten neu kalibriert: Er hält das Modell auf dem aktuellen Marktniveau, während die anderen vier Parameter die Geometrie bestimmen.

Was das Modell kauft und was es kostet

Der Kauf ist eine Fläche, die sich aus fünf interpretierbaren Zahlen in zwei Richtungen krümmt und schnell bepreist wird. Heston bewertet europäische Optionen mittels einer charakteristischen Funktion und eines numerischen Integrals, ohne dass eine Simulation erforderlich ist. Dies macht die Anpassung einer gesamten Kette in einem Bruchteil einer Sekunde praktikabel. Die Kosten sind es wert, klar benannt zu werden.

• Die fünf Parameter werden kalibriert und an beobachtete Optionspreise angepasst, anstatt aus irgendetwas gemessen zu werden.
• Eine Kalibrierung ist eine Momentaufnahme. Bei einer Neuanpassung am nächsten Tag verändern sich die Zahlen, was bedeutet, dass die Konstanten des Modells nicht konstant sind.
• Ein Parametersatz passt selten gleichzeitig auf jede Laufzeit. Beobachtete Volatilitäts-Smiles am sehr kurzen Ende krümmen sich stärker, als dieser Varianzprozess es abbilden kann.
• Marktpreise weisen Kurslücken auf. Varianz und Spot bewegen sich hier kontinuierlich, und eine Kurslücke muss von den angepassten Zahlen absorbiert werden.

Ein Vorbehalt ist für Leser wichtig, die von den Volatilitätsseiten kommen. Der Varianzprozess beschreibt die Dynamik, die Optionen bepreist; dies ist ein anderes Objekt als die Volatilität, die eine Aktie im weiteren Verlauf tatsächlich realisiert. Die Distanz zwischen beiden ist das Thema von implizite Volatilität versus realisierte Volatilität.

Wo das Modell weiterhin Lücken aufweist

Für jede dieser Lücken existieren Erweiterungen. Das Bates-Modell behält die Varianz nach Heston bei und ergänzt den Preisprozess um Sprünge, was den Smile bei kurzlaufenden Optionen versteilt. Rough-Volatility-Modelle behalten die stochastische Varianz bei, ersetzen jedoch den Treiber durch Pfade, die eine höhere Rauheit als eine Standard-Brownsche-Bewegung aufweisen, wodurch das sehr kurze Ende präziser abgebildet wird. Keiner dieser Ansätze löst das Kalibrierungsproblem: Beide fügen Parameter hinzu, die an einen Zeitpunkt angepasst und anschließend erneut kalibriert werden müssen.

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Heston-Modell in einfachen Worten?

Es handelt sich um ein Optionspreismodell, bei dem die Volatilität stochastisch ist. Die Varianz folgt einem eigenen Pfad mit einer Rückkehr zu einem langfristigen Durchschnittswert. Da ihre Zufälligkeit mit derjenigen der Aktie korreliert ist, kann das Modell einen gekrümmten Volatilitäts-Smile anstelle einer flachen Linie abbilden.

Warum liefert Black-Scholes einen flachen Volatilitäts-Smile?

Das Modell setzt eine konstante Volatilität voraus, was eine feste Verteilung für den Preis bei Verfall definiert. Jeder Strike wird auf Basis derselben Verteilung bewertet. Die Umkehrung der Formel ergibt daher für jeden Strike dieselbe Volatilität. Die flache Linie ist ein Ergebnis dieser Annahme und keine Beobachtung der Märkte.

Was bedeuten die fünf Heston-Parameter?

Die Anfangsvarianz bestimmt das aktuelle Niveau der Fläche. Die langfristige Varianz legt fest, wohin sich die Varianz im Zeitverlauf bewegt, während die Geschwindigkeit der Mean-Reversion bestimmt, wie stark dieser Zug wirkt. Die Volatilität der Volatilität bestimmt die Krümmung des Smile, und die Korrelation zwischen den beiden Schocks bestimmt dessen Neigung.

Bildet das Heston-Modell reale Optionspreise korrekt ab?

Es bildet den mittleren Bereich einer typischen Fläche präzise ab. Schwierigkeiten ergeben sich am kurzen Ende, wo die beobachteten Smiles stärker gekrümmt sind, als es der Varianzprozess zulässt. Die angepassten Parameter ändern sich zudem von Tag zu Tag, weshalb die Kalibrierung eine wiederkehrende Aufgabe und keine einmalige Messung ist.

Jedes der oben genannten Panels wird mit dem zugehörigen SQL geliefert, das für andere Ticker oder Zeiträume angepasst werden kann. Um diese Fragen auf Basis von Optionsdaten zu stellen, öffnen Sie das Strasmore-Terminal.