מודל Heston והסבר על חיוך התנודתיות

מודל Heston לתמחור אופציות

מודל Heston הוא מודל לתמחור אופציות המתייחס לתנודתיות כאל משתנה אקראי ולא כאל נתון קבוע. המודל מבוסס על שני רכיבים דינמיים: מחיר המניה והשונות של מחיר זה, כאשר לכל אחד מהם קיים גורם אקראי משלו.

מקור אקראיות שני זה הוא המאפשר למודל לייצר "חיוך תנודתיות" (volatility smile). תנודתיות קבועה, שהיא הנחת היסוד במודל Black-Scholes, יכולה להציג רק קו שטוח על פני מחירי מימוש שונים, בעוד שבמציאות, אף שרשרת אופציות מעולם לא הציגה עקומת תנודתיות שטוחה.

מדוע מספר תנודתיות אחד אינו יכול להתאים לכל שרשרת אופציות

תנודתיות גלומה (Implied Volatility) היא נתון התנודתיות שגורם לנוסחת תמחור להחזיר את המחיר שבו אופציה נסחרת בפועל. אם הופכים את החישוב עבור כל חוזה בנפרד, כפי שמפורט בדף שלנו בנושא כיצד מחושבת תנודתיות גלומה, מתקבל עקום של תנודתיות לאורך מחירי מימוש שונים עבור מועד פקיעה נתון, ולא רמה אחת אחידה. הפאנל להלן לוקח את כל חוזי ה-SPY עם 20 עד 45 ימים לפקיעה במהלך המחצית הראשונה של 2026, ממיין אותם לרצועות של 2% לפי המרחק ממחיר המימוש למחיר הנכס (spot), ומחשב ממוצע של התנודתיות הגלומה בתוך כל רצועה.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

הרצועה של -12%, הכוללת מחירי מימוש הרחוקים משמעותית מתחת למחיר הנכס, הציגה תנודתיות גלומה ממוצעת של 28.05%, שהם 11.61 נקודות תנודתיות מעל הממוצע של אופציות ה-at-the-money באותו טווח זמן. הרצועה של +12% בצד ה-Call הציגה ממוצע של 15.56%. הרצועות שביניהן משרטטות את העקום שעל שמו קרוי האפקט, והנטייה הצידית שלו מכונה volatility skew. מודל המבוסס על פרמטר תנודתיות יחיד אינו כולל מנגנון המאפשר להגיע לתוצאות אלו: כל מחיר מימוש מתומחר לפי התפלגות אחת למחיר בעת הפקיעה, והיפוך של מודל כזה יחזיר, מעצם הגדרתו, את אותו המספר עבור כל מחיר מימוש.

מה משנה מודל Heston

מודל Heston משמר את ההלם האקראי של המניה ומוסיף תהליך שני עבור השונות. במילים במקום בסימנים:

• תנועת המניה ברגע הבא היא מגמה בתוספת הלם אקראי, המותאם לפי השורש הריבועי של השונות הנוכחית.
• תנועת השונות היא משיכה לעבר רמה ארוכת-טווח במהירות קבועה, בתוספת הלם משלה, המותאם לפי פרמטר של תנודתיות-של-תנודתיות והשורש הריבועי של השונות הנוכחית.
• שני ההלמים מתואמים ביניהם במספר שבין מינוס אחד לאחד.

התאמת השורש הריבועי היא תצורת Cox-Ingersoll-Ross, והיא מבצעת תפקיד אחד שראוי להכיר: הלם השונות מצטמצם לכיוון אפס ככל שהשונות מתקרבת לאפס, מה שמונע מהשונות להפוך לשלילית. כאשר פעמיים המהירות כפול השונות ארוכת-הטווח עולה על הריבוע של התנודתיות-של-תנודתיות, תנאי הקרוי על שם Feller, השונות נשארת חיובית בהחלט.

השונות עצמה אינה ניתנת לצפייה. המקבילה הגלומה שלה כן ניתנת לצפייה, והיא אינה עומדת במקום. הלוח להלן מציג את התנודתיות הגלומה ב-at-the-money עבור שני שמות, קריאה אחת לכל סשן מסחר, לאורך הרבעון השני של 2026.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

SPY פתח את החלון ב-20.39% ב-2026-04-01 וסגר אותו ב-14.45% ב-2026-06-30. NVDA נעה מ-36.83% ל-38.22% לאורך אותם 62 סשנים. אף קו אינו עומד במקום, ואף אחד מהם אינו בורח: שניהם משוטטים וחוזרים שוב ושוב לסביבה מסוימת. תמחור שני הקצוות של התמונה הזו דורש רמת פתיחה בתוספת רמה ארוכת-טווח עם מהירות עבור המשיכה ביניהן.

השפעת הפרמטרים של מודל Heston על משטח התנודתיות

חזרה לממוצע והרמה ארוכת הטווח מעצבות את מבנה התקופות

ערך האופציה תלוי בתנודתיות הממוצעת הצפויה לאורך חייה, ולא בתנודתיות הנוכחית. בחוזה הפוקע בעוד שבוע, התנודתיות של היום היא הגורם הדומיננטי בממוצע; בחוזה הפוקע בעוד שנה, הרמה ארוכת הטווח היא הדומיננטית. פרמטר המהירות קובע באיזו מהירות הציפייה נעה בין שתי נקודות אלו, ובכך הוא קובע את שיפוע התנודתיות הגלומה לאורך לוח הזמנים.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

חוזים על SPY בתוך הכסף ב-bucket של 1 to 7 days הציגו ממוצע של 17.05% במחצית הראשונה של 2026, לעומת 18.77% ב-bucket של 181 to 365 days. המניה NVDA רשמה 41.22% ו-44.94% בשני ה-buckets הללו. מודל בעל מספר יחיד מתמחר כל טווח פקיעה לפי תנודתיות זהה. מודל Heston מעניק לטווח הקצר ולטווח הארוך רמות שונות, כאשר פרמטר המהירות מווסת את הצורה ביניהם. עקומות נוספות מסוג זה זמינות בדף מבנה התקופות של IV.

תנודתיות של התנודתיות (Vol of vol) מכופפת את ה-smile

התנודתיות של התנודתיות היא התנודתיות של השונות עצמה. אם נגדיר אותה כאפס, השונות תנוע במסלול חלק: מבנה התקופות עדיין יכול להיות משופע, אך ה-smile לאורך מחירי המימוש יהפוך שטוח. העלאת ערך זה מוסיפה משקל לזנבות התפלגות המחיר במועד הפקיעה, מה שמעלה את מחירי האופציות הרחוקות מהנכס ביחס לאלו הקרובות אליו. המרחק שאליו השונות מגיעה בפועל משתנה בין נכסי בסיס שונים, והפאנל להלן מודד תנועה זו באופן ישיר.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

AMZN כיסה את הטווח הרחב ביותר בפאנל: תנודתיות גלומה בתוך הכסף בשפל של 28.21% ובשיא של 74.42%, פער של 46.22 נקודות תנודתיות לאורך שישה חודשים. KO כיסה את הטווח הצר ביותר, עם 10.75 נקודות. Vega, רגישות המחיר לתנודתיות כפי שמוגדרת ב-דף ה-vega שלנו, מודדת את רמת המשטח. תחת תנודתיות סטוכסטית, שני חוזים בעלי Vega זהה עשויים להתנהג אחרת כאשר הצורה של המשטח משתנה במקום הרמה שלו.

מתאם מטה את ה-smile לכדי skew

המתאם בין הזעזוע במחיר המניה לבין הזעזוע בשונות הופך את ה-smile הסימטרי ל-skew אסימטרי. תחת מתאם שלילי, מסלולים שבהם המניה יורדת הם מסלולים שבהם השונות עולה, ולכן הזנב השמאלי של ההתפלגות במועד הפקיעה נושא משקל רב יותר מהימני. במצב זה, התנודתיות הגלומה באופציות Put גבוהה מזו של אופציות Call באותו מרחק ממחיר הנכס.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

במהלך המחצית הראשונה של 2026, SPY הציג את הפער הרחב ביותר בפאנל: חוזים במחיר מימוש הנמוך ב-5% לפחות ממחיר הנכס רשמו ממוצע של 27%, לעומת 14.76% לחוזים במחיר מימוש הגבוה ב-5% לפחות ממחיר הנכס, פער של 12.23 נקודות תנודתיות. בקצה השני, MSFT רשם 3.9 נקודות באותה מדידה. פרמטר מתאם אחד לכל נכס בסיס הוא מה שמכסה את כל טווח ההטיות הזה.

השונות ההתחלתית קובעת את הרמה

הפרמטר החמישי הוא השונות שבה המודל מתחיל את החישוב היום. הוא מעלה או מוריד את המשטח כולו מבלי לשנות את צורתו באופן מהותי, וזו הסיבה שהוא עובר התאמה מחדש בתדירות הגבוהה ביותר: הוא שומר על המודל ברמה הנוכחית של השוק, בעוד ארבעת הפרמטרים האחרים נושאים באחריות על הגיאומטריה של המשטח.

מה המודל קונה, ומה העלות

הרכישה היא משטח המתעקל לשני כיוונים מתוך חמישה מספרים הניתנים לפירוש, המתומחרים במהירות. מודל Heston מתמחר אופציות אירופאיות באמצעות פונקציה אופיינית ואינטגרל נומרי אחד, ללא צורך בסימולציה, מה שהופך את התאמת כל ה-chain לפרקטי בשבריר שנייה. כדאי לציין את העלויות בצורה ברורה.

• חמשת הפרמטרים עוברים כיול, ומותאמים למחירי אופציות נצפים במקום להימדד מנתונים אחרים.
• כיול הוא תמונת מצב. בצע התאמה מחדש מחר והמספרים ישתנו, מה שאומר שהקבועים של המודל אינם קבועים.
• קבוצת פרמטרים אחת לעיתים רחוקות מתאימה לכל תאריך פקיעה בבת אחת. ה-smiles הנצפים בטווח הקצר מאוד מתעקלים בחדות רבה יותר מכפי שתהליך השונות הזה מסוגל להתעקל.
• מחירים בשוק יוצרים פערים (gaps). השונות ומחיר הנכס (spot) נעים כאן ברציפות, ופער חייב להיספג במספרים המותאמים.

סייג אחד חשוב לקוראים המגיעים מדפי התנודתיות. תהליך השונות מתאר את הדינמיקה שמתמחרת אופציות, וזהו אובייקט שונה מהתנודתיות שהמניה תממש בפועל. המרחק בין השניים הוא הנושא של תנודתיות גלומה לעומת תנודתיות ממומשת.

היכן שהמודל עדיין מפספס

קיימות הרחבות לכל אחד מהפערים הללו. מודל Bates משמר את השונות של Heston ומוסיף קפיצות לתהליך המחיר, מה שגורם ל-smile בטווחים הקצרים להיות תלול יותר. מודלי תנודתיות מחוספסת (Rough volatility) משמרים שונות אקראית ומחליפים את הגורם המניע במסלולים מחוספסים יותר מתנועה בראונית סטנדרטית, ובכך מתאימים טוב יותר לטווחים הקצרים מאוד. אף אחד מהם אינו פותר את בעיית הכיול: שניהם מוסיפים פרמטרים שיש להתאים לרגע מסוים ולכייל מחדש לאחר מכן.

שאלות נפוצות

מהו מודל Heston במונחים פשוטים?

זהו מודל לתמחור אופציות שבו התנודתיות היא אקראית. השונות עוקבת אחר מסלול משלה עם משיכה לרמה ארוכת טווח, והאקראיות שלה מתואמת עם זו של המניה, מה שמאפשר למודל לתמחר "חיוך תנודתיות" (volatility smile) עקום במקום קו ישר.

מדוע מודל Black-Scholes מניב חיוך תנודתיות שטוח?

הוא מניח תנודתיות קבועה אחת, מה שקובע התפלגות אחת למחיר במועד הפקיעה. כל מחיר מימוש מתומחר על בסיס אותה התפלגות, והיפוך הנוסחה מחזיר את אותה התנודתיות לכל מחיר מימוש. הקו השטוח הוא תוצר של ההנחה, ולא ממצא לגבי השווקים.

מה משמעות חמשת הפרמטרים של מודל Heston?

השונות ההתחלתית קובעת את רמת המשטח הנוכחית. השונות ארוכת הטווח קובעת לאן השונות נמשכת לאורך זמן, ומהירות החזרה לממוצע קובעת באיזו מהירות פועלת משיכה זו. תנודתיות התנודתיות (vol of vol) קובעת את עקמומיות החיוך, והמתאם בין שני הזעזועים קובע את הטיית המשטח.

האם מודל Heston מתאים למחירי אופציות אמיתיים?

הוא מתאים היטב למרכזו של משטח טיפוסי, אך מתקשה יותר בטווחים הקצרים מאוד, שבהם החיוכים הנצפים מתעקלים בחדות רבה יותר מכפי שתהליך השונות שלו מאפשר. הפרמטרים המותאמים משתנים גם מיום ליום, מה שהופך את הכיול לתרגיל חוזר ולא למדידה חד-פעמית.

כל פאנל לעיל מסופק עם ה-SQL שיצר אותו, מוכן להפניה לשם אחר או לחלון אחר. כדי לשאול אחת משאלות אלו באנגלית פשוטה מול נתוני אופציות, פתחו את הטרמינל של Strasmore.