Mengenal Model Heston dan Volatility Smile

Model Heston

Model Heston adalah model penetapan harga opsi yang memperlakukan volatilitas sebagai variabel acak, bukan tetap. Model ini memiliki dua komponen bergerak: harga saham dan varians dari harga tersebut, yang masing-masing memiliki guncangan acak tersendiri. Sumber keacakan kedua inilah yang memungkinkan sebuah model menghasilkan volatility smile. Volatilitas konstan, yang merupakan asumsi dalam Black-Scholes, hanya dapat menghasilkan garis datar di seluruh strike, padahal tidak ada option chain yang pernah menunjukkan kondisi datar.

Mengapa satu angka volatilitas tidak dapat mencakup seluruh option chain

Implied volatility adalah input volatilitas yang membuat rumus penetapan harga menghasilkan harga yang sesuai dengan harga perdagangan opsi tersebut. Jika dihitung secara terbalik untuk setiap kontrak, sebagaimana dijelaskan dalam halaman kami mengenai cara perhitungan implied volatility, satu tanggal jatuh tempo akan menghasilkan kurva di seluruh strike, bukan sekadar satu level angka. Panel di bawah ini mengambil setiap kontrak SPY dengan sisa waktu dua puluh hingga empat puluh lima hari selama paruh pertama tahun dua ribu dua puluh enam, mengelompokkannya ke dalam rentang dua persen berdasarkan jarak dari strike ke harga spot, dan merata-ratakan implied volatility di dalam setiap rentang tersebut.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

Rentang -12%, yaitu strike yang jauh di bawah harga spot, memiliki rata-rata implied volatility sebesar 28.05%, atau 11.61 poin volatilitas di atas rata-rata at-the-money untuk periode yang sama. Rentang +12% di sisi call memiliki rata-rata 15.56%. Rentang-rentang di antaranya membentuk kurva yang menjadi asal nama efek ini, dan kemiringannya ke samping disebut sebagai volatility skew. Model dengan satu parameter volatilitas tidak memiliki pengaturan untuk mencapai kondisi ini: setiap strike ditetapkan harganya berdasarkan satu distribusi untuk harga saat jatuh tempo, dan dengan membalikkan model tersebut, akan dihasilkan angka yang sama di setiap strike, sesuai dengan konstruksinya.

Apa yang diubah oleh model Heston

Heston mempertahankan guncangan acak saham dan menambahkan proses kedua untuk varians. Dalam kata-kata, bukan simbol:

• Pergerakan saham pada saat berikutnya adalah drift ditambah guncangan acak, yang disesuaikan dengan akar kuadrat dari varians saat ini.
• Pergerakan varians adalah tarikan menuju tingkat jangka panjang pada kecepatan tetap, ditambah guncangannya sendiri, yang disesuaikan dengan parameter vol-of-vol dan akar kuadrat dari varians saat ini.
• Kedua guncangan tersebut berkorelasi, dengan angka antara negatif satu dan satu.

Skala akar kuadrat tersebut adalah bentuk Cox-Ingersoll-Ross, dan ia melakukan satu tugas yang perlu diketahui: guncangan varians menyusut hingga nol saat varians mendekati nol, yang menjaga varians agar tidak menjadi negatif. Ketika dua kali kecepatan dikalikan varians jangka panjang melebihi kuadrat dari vol-of-vol, sebuah kondisi yang dinamai menurut Feller, varians tetap positif secara ketat.

Varians itu sendiri tidak dapat diamati. Padanannya yang tersirat (implied) dapat diamati, dan ia tidak diam di tempat. Panel di bawah ini memplot implied volatility at-the-money untuk dua nama, satu pembacaan per sesi, sepanjang kuartal kedua tahun dua ribu dua puluh enam.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

SPY membuka jendela pada 20.39% pada 2026-04-01 dan menutupnya pada 14.45% pada 2026-06-30. NVDA bergerak dari 36.83% ke 38.22% sepanjang 62 sesi yang sama. Tidak ada garis yang diam, dan tidak ada yang melesat jauh: keduanya berkelana dan terus kembali ke suatu area. Menentukan harga kedua ujung gambar tersebut memerlukan tingkat awal ditambah tingkat jangka panjang dengan kecepatan untuk tarikan di antara keduanya.

Dampak setiap parameter Heston terhadap permukaan volatilitas

Mean reversion dan level jangka panjang membentuk struktur tenor

Nilai sebuah opsi bergantung pada rata-rata varians yang diekspektasikan selama masa berlakunya, bukan pada varians hari ini. Untuk kontrak yang jatuh tempo minggu depan, varians hari ini mendominasi rata-rata tersebut; untuk kontrak yang jatuh tempo dalam setahun, level jangka panjanglah yang mendominasi. Parameter kecepatan (speed) menentukan seberapa cepat ekspektasi bergerak di antara keduanya, yang menetapkan seberapa curam kemiringan implied volatility dari tenor depan ke tenor belakang.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

Kontrak SPY near-the-money dalam bucket 1 to 7 days mencatatkan rata-rata 17.05% selama semester pertama tahun 2026, dibandingkan dengan 18.77% di bucket 181 to 365 days. NVDA mencetak 41.22% dan 44.94% di kedua bucket yang sama. Model satu angka menetapkan harga setiap tenor berdasarkan volatilitas yang sama. Heston memberikan level tersendiri bagi tenor depan dan belakang, dengan parameter kecepatan yang mengatur bentuk di antaranya. Lebih banyak kurva ini tersedia di halaman struktur tenor IV kami.

Vol of vol melengkungkan smile

Vol of vol adalah volatilitas dari varians itu sendiri. Jika diatur ke nol, varians mengikuti jalur yang mulus: struktur tenor masih bisa miring, tetapi smile di seluruh strike menjadi datar. Jika ditingkatkan, distribusi harga saat jatuh tempo akan memiliki bobot lebih besar di kedua ekor (tails), yang mengangkat strike yang jauh dari harga spot di atas strike yang dekat dengan spot. Seberapa jauh varians bergerak dalam praktiknya berbeda-beda tergantung aset dasar, dan panel di bawah ini mengukur pergerakan tersebut secara langsung.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

AMZN mencakup rentang terluas dalam panel: at-the-money implied volatility serendah 28.21% dan setinggi 74.42%, dengan selisih 46.22 poin volatilitas selama enam bulan. KO mencakup rentang tersempit, sebesar 10.75 poin. Vega, yaitu sensitivitas harga terhadap volatilitas yang didefinisikan di halaman vega kami, mengukur level permukaan tersebut. Di bawah volatilitas stokastik, dua kontrak dengan vega yang sama dapat berperilaku berbeda ketika bentuk permukaan berubah, bukan levelnya.

Korelasi memiringkan smile menjadi skew

Korelasi antara shock saham dan shock varians mengubah smile yang simetris menjadi tidak simetris. Di bawah korelasi negatif, jalur di mana saham turun adalah jalur di mana varians naik, dan ekor kiri distribusi saat jatuh tempo memiliki bobot lebih besar daripada ekor kanan. Implied volatility sisi put kemudian dihargai lebih tinggi daripada implied volatility sisi call pada jarak yang sama dari harga spot.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

Selama semester pertama tahun 2026, SPY menunjukkan kesenjangan terlebar dalam panel: kontrak dengan strike setidaknya lima persen di bawah harga spot mencatatkan rata-rata 27% dibandingkan dengan 14.76% untuk kontrak dengan strike setidaknya lima persen di atas, dengan selisih 12.23 poin volatilitas. Di sisi lain, MSFT mencetak 3.9 poin pada pengukuran yang sama. Satu parameter korelasi per aset dasar adalah yang mencakup seluruh rentang kemiringan tersebut.

Varians awal menetapkan level

Parameter kelima adalah varians yang menjadi titik awal model hari ini. Parameter ini mengangkat atau menurunkan seluruh permukaan tanpa banyak mengubah bentuknya, itulah sebabnya parameter ini paling sering disesuaikan kembali: parameter ini menjaga model tetap berada pada level pasar saat ini sementara empat parameter lainnya membawa geometri permukaannya.

Apa yang dibeli model, dan berapa biayanya

Pembelian ini adalah permukaan yang melengkung ke dua arah dari lima angka yang dapat diinterpretasikan, dengan harga yang ditentukan secara cepat. Heston menilai European options melalui fungsi karakteristik dan satu integral numerik, tanpa memerlukan simulasi, yang membuat penyesuaian seluruh rantai (chain) menjadi praktis dalam sepersekian detik. Biaya-biayanya layak dinyatakan secara jelas.

• Kelima parameter tersebut dikalibrasi, disesuaikan dengan harga opsi yang teramati, bukan diukur dari sesuatu yang lain.
• Kalibrasi adalah sebuah snapshot. Jika disesuaikan kembali besok, angka-angkanya akan berubah, yang berarti konstanta model tersebut tidaklah konstan.
• Satu set parameter jarang dapat menyesuaikan setiap jatuh tempo sekaligus. Smile yang teramati pada tenor yang sangat pendek melengkung lebih tajam daripada yang dapat dibentuk oleh proses varians ini.
• Harga di pasar mengalami gap. Varians dan spot keduanya bergerak secara kontinu di sini, dan sebuah gap harus diserap oleh angka-angka yang telah disesuaikan.

Satu peringatan penting bagi pembaca yang datang dari halaman volatilitas. Proses varians mendeskripsikan dinamika yang menentukan harga opsi, yang merupakan objek berbeda dari volatilitas yang nantinya direalisasikan oleh saham. Jarak antara keduanya adalah subjek dari implied volatility versus realised volatility.

Di mana model masih belum tepat

Terdapat ekstensi untuk setiap celah tersebut. Bates mempertahankan varians Heston dan menambahkan lompatan (jumps) pada proses harga, yang membuat smile untuk tenor pendek menjadi lebih curam. Model volatilitas rough mempertahankan varians acak dan menukar penggeraknya dengan jalur yang lebih kasar daripada Brownian motion standar, sehingga lebih mendekati tenor yang sangat pendek. Tidak satu pun dari model ini menghilangkan masalah kalibrasi: keduanya menambahkan parameter yang harus disesuaikan dengan momen tertentu dan disesuaikan kembali setelahnya.

FAQ

Apa itu model Heston dalam istilah sederhana?

Ini adalah model penetapan harga opsi di mana volatilitas bersifat acak. Varians mengikuti jalurnya sendiri dengan tarikan menuju level jangka panjang, dan keacakannya berkorelasi dengan saham, yang memungkinkan model tersebut menetapkan harga volatility smile yang melengkung, bukan garis datar.

Mengapa Black-Scholes menghasilkan volatility smile yang datar?

Model ini mengasumsikan satu volatilitas konstan, yang menetapkan satu distribusi untuk harga saat jatuh tempo. Setiap strike ditetapkan harganya dari distribusi yang sama, dan membalikkan rumus tersebut akan menghasilkan volatilitas yang sama di setiap strike. Garis datar tersebut adalah output dari asumsi, bukan temuan mengenai pasar.

Apa arti kelima parameter Heston?

Varians awal menetapkan level permukaan hari ini. Varians jangka panjang menetapkan ke mana varians ditarik seiring waktu, dan kecepatan mean-reversion menetapkan seberapa cepat tarikan tersebut bekerja. Vol of vol menetapkan kelengkungan smile, dan korelasi antara kedua guncangan tersebut menetapkan kemiringannya.

Apakah model Heston cocok dengan harga opsi riil?

Model ini sangat cocok dengan bagian tengah permukaan yang tipis dan mengalami kesulitan pada bagian jangka sangat pendek, di mana smile yang teramati melengkung lebih tajam daripada yang diizinkan oleh proses variansnya. Parameter yang disesuaikan juga berubah dari satu hari ke hari berikutnya, yang menjadikan kalibrasi sebagai latihan berulang, bukan pengukuran satu kali.

Setiap panel di atas dikirimkan bersama SQL yang menghasilkannya, siap untuk diarahkan ke nama lain atau jendela lain. Untuk menanyakan salah satu pertanyaan ini dalam bahasa Inggris sederhana terhadap data opsi, buka terminal Strasmore.