By Matt Connor · Mô hình Heston và hiện tượng volatility smile
Mô hình Heston giải thích tại sao một con số biến động không đủ để định giá toàn bộ chuỗi quyền chọn. Tìm hiểu cách tham số mô hình tạo ra đường cong biến động thực tế.
Mô hình Heston và biến động giá
Mô hình Heston là một mô hình định giá quyền chọn coi biến động là yếu tố ngẫu nhiên thay vì cố định. Mô hình này bao gồm hai thành phần chuyển động: giá cổ phiếu và phương sai của giá đó, mỗi thành phần đều chịu một cú sốc ngẫu nhiên riêng. Nguồn biến động thứ hai này chính là yếu tố cho phép mô hình tạo ra đường cong biến động (volatility smile). Giả định về biến động không đổi trong mô hình Black-Scholes chỉ có thể tạo ra một đường thẳng phẳng trên các mức giá thực hiện (strike price), trong khi thực tế không có chuỗi quyền chọn nào có đặc điểm phẳng như vậy.
Tại sao một con số biến động không thể áp dụng cho toàn bộ chuỗi quyền chọn
Biến động hàm ý (implied volatility) là đầu vào biến động giúp công thức định giá trả về mức giá mà quyền chọn đang thực sự giao dịch. Nếu đảo ngược công thức này cho từng hợp đồng, như trang của chúng tôi về cách tính biến động hàm ý đã trình bày, một kỳ hạn sẽ tạo ra một đường cong qua các mức giá thực hiện (strike) thay vì một mức cố định. Bảng dưới đây lấy tất cả các hợp đồng SPY còn từ hai mươi đến bốn mươi lăm ngày đáo hạn trong nửa đầu năm hai nghìn hai mươi sáu, phân loại chúng vào các dải hai phần trăm dựa trên khoảng cách từ giá thực hiện đến giá giao ngay, và tính trung bình biến động hàm ý trong mỗi dải.
Câu lệnh SQL chính xác đằng sau mỗi con số
WITH
(
SELECT avg(implied_volatility)
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
) AS atm_iv
SELECT
concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
round(avg(iv) * 100, 2) AS iv_pct,
round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2) AS iv_vs_atm_pts,
count() AS contracts
FROM
(
SELECT
implied_volatility AS iv,
toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucketDải -12%, với các mức giá thực hiện thấp hơn nhiều so với giá giao ngay, có mức biến động hàm ý trung bình là 28.05%, cao hơn 11.61 điểm biến động so với mức trung bình tại giá (at-the-money) trong cùng khung thời gian. Dải +12% ở phía quyền chọn mua (call) có mức trung bình là 15.56%. Các dải ở giữa tạo thành đường cong mà hiệu ứng này được đặt tên theo, và độ nghiêng sang một bên của nó chính là độ lệch biến động (volatility skew). Một mô hình chỉ sử dụng một tham số biến động duy nhất không có cơ chế nào để đạt được điều này: mọi mức giá thực hiện đều được định giá dựa trên một phân phối duy nhất cho mức giá tại thời điểm đáo hạn, và việc đảo ngược mô hình đó theo cấu trúc sẽ luôn trả về cùng một con số tại mọi mức giá thực hiện.
Những thay đổi từ mô hình Heston
Mô hình Heston giữ lại yếu tố cú sốc ngẫu nhiên của cổ phiếu và bổ sung một quy trình thứ hai cho phương sai. Diễn giải bằng lời thay vì ký hiệu:
- Biến động của cổ phiếu trong khoảnh khắc tiếp theo là một xu hướng cộng với một cú sốc ngẫu nhiên, được điều chỉnh theo căn bậc hai của phương sai hiện tại.
- Biến động của phương sai là lực kéo về một mức dài hạn với tốc độ cố định, cộng với cú sốc riêng của nó, được điều chỉnh theo tham số độ biến động của độ biến động (vol-of-vol) và căn bậc hai của phương sai hiện tại.
- Hai cú sốc này có tương quan với nhau, bằng một con số nằm trong khoảng từ âm một đến một.
Việc điều chỉnh theo căn bậc hai chính là dạng Cox-Ingersoll-Ross, và nó thực hiện một nhiệm vụ đáng lưu ý: cú sốc phương sai sẽ thu hẹp về không khi phương sai tiến gần về mức không, điều này ngăn phương sai chuyển sang giá trị âm. Khi hai lần tốc độ nhân với phương sai dài hạn vượt quá bình phương của vol-of-vol, một điều kiện được đặt tên theo Feller, phương sai sẽ luôn duy trì ở mức dương.
Bản thân phương sai là không thể quan sát trực tiếp. Đối trọng của nó là phương sai hàm ý (implied volatility) thì có thể quan sát được, và nó không đứng yên. Biểu đồ dưới đây vẽ lại độ biến động hàm ý tại mức giá hòa vốn (at-the-money) cho hai mã, mỗi phiên một dữ liệu, trong suốt quý hai năm 2026.
Câu lệnh SQL chính xác đằng sau mỗi con số
SELECT
toString(date) AS session_date,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2) AS spy_atm_iv_pct,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY dateSPY mở đầu giai đoạn tại 20.39% vào ngày 2026-04-01 và đóng cửa tại 14.45% vào ngày 2026-06-30. NVDA biến động từ 36.83% đến 38.22% trong cùng 62 phiên. Không đường nào đứng yên, và cũng không đường nào bứt phá hoàn toàn: cả hai đều dao động và liên tục quay trở lại một vùng giá nhất định. Việc định giá cả hai đầu của bức tranh đó đòi hỏi một mức khởi điểm cộng với một mức dài hạn cùng với tốc độ kéo giữa chúng.
Tác động của từng tham số Heston lên bề mặt biến động
Tốc độ hồi quy về trung bình và mức dài hạn định hình cấu trúc kỳ hạn
Giá trị của một quyền chọn phụ thuộc vào phương sai kỳ vọng trung bình trong suốt thời hạn của nó, chứ không phải phương sai tại thời điểm hiện tại. Đối với một hợp đồng đáo hạn vào tuần tới, phương sai hiện tại chiếm ưu thế trong mức trung bình đó; đối với hợp đồng đáo hạn sau một năm, mức dài hạn sẽ chiếm ưu thế. Tham số tốc độ (speed) xác định tốc độ dịch chuyển của kỳ vọng giữa hai mức này, từ đó quyết định độ dốc của biến động ngụ ý (implied volatility) từ các kỳ hạn ngắn đến dài.
Câu lệnh SQL chính xác đằng sau mỗi con số
SELECT
tenor,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2) AS spy_iv_pct,
round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
SELECT
implied_volatility,
underlying_symbol,
days_to_expiry,
multiIf(
days_to_expiry <= 7, '1 to 7 days',
days_to_expiry <= 21, '8 to 21 days',
days_to_expiry <= 45, '22 to 45 days',
days_to_expiry <= 90, '46 to 90 days',
days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
'181 to 365 days') AS tenor
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)Các hợp đồng SPY gần giá thực hiện (near-the-money) trong nhóm 1 to 7 days đạt mức trung bình 17.05% trong nửa đầu năm 2026, so với 18.77% ở nhóm 181 to 365 days. NVDA ghi nhận mức 41.22% và 44.94% trên cùng hai nhóm này. Một mô hình chỉ sử dụng một con số sẽ định giá mọi kỳ hạn dựa trên cùng một mức biến động. Mô hình Heston cho phép các kỳ hạn ngắn và dài có mức biến động riêng, với tham số tốc độ điều tiết hình dạng ở giữa. Nhiều đường cong như vậy được hiển thị trên trang cấu trúc kỳ hạn IV của chúng tôi.
Biến động của biến động (Vol of vol) làm cong đường smile
Vol of vol là biến động của chính phương sai. Nếu đặt tham số này bằng không, phương sai sẽ đi theo một lộ trình mượt mà: cấu trúc kỳ hạn vẫn có thể có độ dốc, nhưng đường smile giữa các giá thực hiện sẽ trở nên phẳng. Khi tăng tham số này, phân phối giá tại thời điểm đáo hạn sẽ có trọng số lớn hơn ở cả hai đuôi, làm cho các giá thực hiện xa giá giao ngay (spot) có mức biến động cao hơn các giá thực hiện gần spot. Mức độ biến động thực tế của phương sai khác nhau tùy theo tài sản cơ sở, và bảng dưới đây đo lường trực tiếp sự thay đổi đó.
Câu lệnh SQL chính xác đằng sau mỗi con số
SELECT
symbol,
round(min(daily_iv) * 100, 2) AS low_iv_pct,
round(max(daily_iv) * 100, 2) AS high_iv_pct,
round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
SELECT
underlying_symbol AS symbol,
date,
avg(implied_volatility) AS daily_iv
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESCAMZN bao phủ phạm vi rộng nhất trong bảng: biến động ngụ ý tại giá thực hiện (at-the-money) thấp nhất là 28.21% và cao nhất là 74.42%, chênh lệch 46.22 điểm biến động trong sáu tháng. KO có phạm vi hẹp nhất, ở mức 10.75 điểm. Vega, độ nhạy của giá đối với biến động mà trang vega của chúng tôi định nghĩa, đo lường mức độ của bề mặt biến động. Trong điều kiện biến động ngẫu nhiên (stochastic volatility), hai hợp đồng có cùng chỉ số vega có thể hành xử khác nhau khi hình dạng của bề mặt thay đổi thay vì chỉ thay đổi về mức độ.
Tương quan làm nghiêng đường smile thành skew
Tương quan giữa cú sốc của cổ phiếu và cú sốc của phương sai biến đường smile đối xứng thành đường lệch. Với tương quan âm, các kịch bản cổ phiếu giảm giá thường đi kèm với phương sai tăng, khiến đuôi bên trái của phân phối tại thời điểm đáo hạn có trọng số lớn hơn đuôi bên phải. Khi đó, biến động ngụ ý của quyền chọn bán (put) sẽ cao hơn biến động ngụ ý của quyền chọn mua (call) ở cùng khoảng cách so với giá spot.
Câu lệnh SQL chính xác đằng sau mỗi con số
SELECT
underlying_symbol AS symbol,
round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2) AS otm_put_iv_pct,
round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2) AS otm_call_iv_pct,
round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
SELECT
underlying_symbol,
implied_volatility AS iv,
toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
AND iv_converged = 1
AND volume > 0
AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESCTrong nửa đầu năm 2026, SPY cho thấy khoảng cách lớn nhất trong bảng: các hợp đồng có giá thực hiện thấp hơn giá spot ít nhất năm phần trăm đạt mức trung bình 27% so với 14.76% cho các hợp đồng có giá thực hiện cao hơn giá spot ít nhất năm phần trăm, chênh lệch 12.23 điểm biến động. Ở thái cực ngược lại, MSFT ghi nhận 3.9 điểm theo cùng phương pháp đo lường. Một tham số tương quan cho mỗi tài sản cơ sở là đủ để bao quát toàn bộ phạm vi độ nghiêng đó.
Phương sai khởi đầu thiết lập mức độ
Tham số thứ năm là phương sai mà mô hình bắt đầu từ hôm nay. Nó nâng lên hoặc hạ xuống toàn bộ bề mặt mà không làm thay đổi đáng kể hình dạng, đó là lý do tại sao tham số này được hiệu chỉnh thường xuyên nhất: nó giữ cho mô hình bám sát mức thị trường hiện tại trong khi bốn tham số còn lại đảm nhận việc định hình hình học.
Mô hình mua gì và chi phí ra sao
Giao dịch mua là một bề mặt uốn cong theo hai hướng từ năm con số có thể diễn giải được, với mức giá được xác định nhanh chóng. Heston định giá các quyền chọn kiểu châu Âu thông qua một hàm đặc trưng và một tích phân số, không cần mô phỏng, giúp việc khớp toàn bộ chuỗi quyền chọn trong tích tắc trở nên khả thi. Các chi phí cần được nêu rõ ràng.
- Năm tham số được hiệu chỉnh, khớp với giá quyền chọn quan sát được thay vì đo lường từ bất kỳ dữ liệu nào khác.
- Một lần hiệu chỉnh chỉ là một ảnh chụp nhanh. Nếu khớp lại vào ngày mai, các con số sẽ thay đổi, nghĩa là các hằng số của mô hình không hề cố định.
- Một bộ tham số hiếm khi khớp với mọi ngày đáo hạn cùng một lúc. Các đường cong biến động (smile) quan sát được ở kỳ hạn rất ngắn uốn cong mạnh hơn mức mà quy trình phương sai này có thể đáp ứng.
- Giá trên thị trường có những khoảng trống (gap). Trong mô hình này, phương sai và giá giao ngay đều biến động liên tục, và một khoảng trống giá phải được hấp thụ bởi các con số đã khớp.
Một lưu ý quan trọng dành cho độc giả đến từ các trang về biến động. Quy trình phương sai mô tả động lực định giá quyền chọn, đây là một đối tượng khác với biến động thực tế mà cổ phiếu sẽ đạt được sau đó. Khoảng cách giữa hai yếu tố này là chủ đề của biến động hàm ý so với biến động thực tế.
Những điểm mô hình vẫn chưa giải quyết được
Mỗi lỗ hổng đều có các phần mở rộng tương ứng. Bates giữ nguyên phương sai của Heston và bổ sung các bước nhảy (jumps) vào quá trình giá, giúp làm dốc hơn đường cong smile ở các kỳ hạn ngắn. Các mô hình biến động thô (rough volatility models) giữ lại phương sai ngẫu nhiên và thay thế yếu tố dẫn dắt bằng các đường đi có tính chất "thô" hơn so với chuyển động Brownian tiêu chuẩn, giúp khớp sát hơn với các kỳ hạn cực ngắn. Tuy nhiên, không mô hình nào loại bỏ được vấn đề hiệu chỉnh (calibration): cả hai đều bổ sung các tham số cần được khớp với một thời điểm nhất định và phải hiệu chỉnh lại sau đó.
Câu hỏi thường gặp
Mô hình Heston là gì nếu giải thích một cách đơn giản?
Đây là một mô hình định giá quyền chọn trong đó biến động (volatility) là ngẫu nhiên. Phương sai (variance) đi theo quỹ đạo riêng với xu hướng quay về mức dài hạn, và tính ngẫu nhiên của nó có tương quan với cổ phiếu. Điều này cho phép mô hình định giá đường cong biến động (volatility smile) thay vì một đường thẳng phẳng.
Tại sao mô hình Black-Scholes lại cho ra đường cong biến động phẳng?
Mô hình này giả định một mức biến động không đổi, từ đó cố định một phân phối cho giá tại thời điểm đáo hạn. Mọi giá thực hiện (strike price) đều được định giá từ cùng một phân phối đó, và việc đảo ngược công thức sẽ trả về cùng một mức biến động tại mọi giá thực hiện. Đường thẳng phẳng là kết quả của giả định, không phải là phát hiện thực tế về thị trường.
Năm tham số của mô hình Heston có ý nghĩa gì?
Phương sai khởi đầu thiết lập mức độ hiện tại của bề mặt biến động. Phương sai dài hạn thiết lập mức mà phương sai sẽ hướng tới theo thời gian, và tốc độ hồi quy về giá trị trung bình (mean-reversion speed) xác định tốc độ của quá trình đó. Độ biến động của biến động (vol of vol) thiết lập độ cong của đường smile, và tương quan giữa hai cú sốc thiết lập độ nghiêng của nó.
Mô hình Heston có khớp với giá quyền chọn thực tế không?
Mô hình này khớp khá sát với phần giữa của một bề mặt biến động điển hình, nhưng gặp khó khăn hơn ở các kỳ hạn rất ngắn, nơi các đường smile quan sát được có độ cong gắt hơn so với mức mà quá trình phương sai của mô hình cho phép. Các tham số đã khớp cũng thay đổi theo từng ngày, khiến việc hiệu chỉnh trở thành một bài tập lặp đi lặp lại thay vì là một phép đo một lần.
Mỗi bảng dữ liệu trên đều đi kèm với mã SQL đã tạo ra nó, sẵn sàng để áp dụng cho một mã chứng khoán hoặc khung thời gian khác. Để đặt các câu hỏi này bằng ngôn ngữ tự nhiên dựa trên dữ liệu quyền chọn, hãy mở thiết bị đầu cuối Strasmore.