Модель Хестона и улыбка волатильности: как это работает

Модель Хестона и волатильность

Модель Хестона — это модель оценки стоимости опционов, в которой волатильность рассматривается как случайная величина, а не как фиксированный параметр. Она включает два динамических компонента: цену базового актива и дисперсию этой цены, причем каждый из них подвержен собственному случайному шоку. Именно этот второй источник случайности позволяет модели формировать «улыбку волатильности». Постоянная волатильность, лежащая в основе модели Блэка-Шоулза, дает лишь плоскую линию для разных цен исполнения, однако в реальности ни одна цепочка опционов не демонстрирует подобных характеристик.

Почему один показатель волатильности не подходит для всей цепочки опционов

Подразумеваемая волатильность — это параметр, при подстановке которого в формулу ценообразования получается рыночная цена опциона. Если рассчитать этот показатель для каждого контракта отдельно, как описано на нашей странице о методах расчета подразумеваемой волатильности, то для одной даты экспирации мы получим не единый уровень, а кривую, распределенную по ценам исполнения. В приведенной ниже таблице собраны все контракты SPY со сроком до погашения от двадцати до сорока пяти дней за первое полугодие две тысячи двадцать шестого года. Они распределены по двухпроцентным диапазонам в зависимости от расстояния между ценой исполнения и спотовой ценой, после чего для каждого диапазона вычислено среднее значение подразумеваемой волатильности.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

В диапазоне -12%, где цены исполнения значительно ниже спотовых, средняя подразумеваемая волатильность составила 28.05%, что на 11.61 пункта выше среднего значения для опционов «на деньгах» (at-the-money) в том же временном интервале. В диапазоне +12% со стороны call-опционов средний показатель составил 15.56%. Промежуточные диапазоны формируют кривую, давшую название этому эффекту, а её наклон в сторону называется волатильным перекосом (volatility skew). Модель с единственным параметром волатильности не способна отразить эти различия: в ней каждый страйк оценивается исходя из единого распределения вероятностей цены на момент экспирации, и при обратном расчете такая модель по определению выдает одинаковое число для всех цен исполнения.

Что меняет модель Хестона

Модель Хестона сохраняет случайный шок цены акции и добавляет второй процесс для дисперсии. Если описывать это словами, а не формулами:

• Движение акции в следующий момент времени представляет собой дрейф плюс случайный шок, масштабируемый квадратным корнем из текущей дисперсии.
• Движение дисперсии — это стремление к долгосрочному уровню с фиксированной скоростью плюс собственный шок, масштабируемый параметром волатильности волатильности и квадратным корнем из текущей дисперсии.
• Оба шока коррелируют между собой, коэффициент корреляции находится в диапазоне от минус одного до одного.

Такое масштабирование через квадратный корень соответствует форме Кокса-Ингерсолла-Росса и выполняет одну важную функцию: шок дисперсии стремится к нулю по мере приближения самой дисперсии к нулю, что не позволяет ей стать отрицательной. Когда удвоенная скорость стремления к среднему, умноженная на долгосрочную дисперсию, превышает квадрат волатильности волатильности — это условие называют условием Феллера, — дисперсия остается строго положительной.

Сама дисперсия ненаблюдаема. Наблюдаема её подразумеваемая величина, и она постоянно меняется. На графике ниже представлена подразумеваемая волатильность для опционов at-the-money по двум инструментам, по одному значению за торговую сессию, за второй квартал две тысячи двадцать шестого года.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

SPY начал период на уровне 20.39% на дату 2026-04-01 и завершил его на уровне 14.45% на дату 2026-06-30. NVDA изменился с 36.83% до 38.22% за те же 62 сессий. Ни одна из линий не стоит на месте, но и не уходит в бесконечность: обе колеблются и постоянно возвращаются в определенный диапазон. Для оценки обоих концов этого графика требуется начальный уровень, долгосрочный уровень и скорость возврата между ними.

Влияние параметров модели Хестона на поверхность волатильности

Скорость возврата к среднему и долгосрочный уровень определяют временную структуру

Стоимость опциона зависит от ожидаемой средней дисперсии на протяжении срока его действия, а не от текущего значения дисперсии. Для контракта с экспирацией через неделю текущая дисперсия преобладает в этом среднем значении; для контракта со сроком погашения через год доминирует долгосрочный уровень. Параметр скорости определяет, как быстро ожидание смещается между этими значениями, что задает крутизну наклона подразумеваемой волатильности от ближних к дальним срокам экспирации.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

Подразумеваемая волатильность околоденежных (near-the-money) контрактов на SPY в корзине 1 to 7 days составила в среднем 17.05% в первой половине 2026 года против 18.77% в корзине 181 to 365 days. По акциям NVDA значения составили 41.22% и 44.94% для тех же двух корзин. Однофакторная модель оценивает каждый срок экспирации исходя из единого уровня волатильности. Модель Хестона задает собственные уровни для ближних и дальних сроков, а параметр скорости управляет формой кривой между ними. Больше подобных кривых представлено на нашей странице временной структуры IV.

Волатильность волатильности искривляет «улыбку»

Волатильность волатильности — это изменчивость самой дисперсии. Если установить этот параметр на ноль, дисперсия будет следовать по плавной траектории: временная структура может сохранять наклон, но «улыбка» волатильности по страйкам станет плоской. При увеличении этого параметра распределение цены к моменту экспирации приобретает «тяжелые хвосты», что поднимает подразумеваемую волатильность страйков, далеких от текущей цены, выше волатильности околоденежных страйков. На практике степень изменения дисперсии зависит от базового актива, и приведенная ниже панель позволяет оценить это изменение напрямую.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

AMZN продемонстрировал самый широкий диапазон в панели: подразумеваемая волатильность околоденежных опционов опускалась до 28.21% и поднималась до 74.42%, что составляет разницу в 46.22 процентных пунктов волатильности за шесть месяцев. KO показал самый узкий диапазон — 10.75 пунктов. Вега (Vega) — чувствительность цены к волатильности, определение которой приведено на нашей странице о веге, — измеряет общий уровень поверхности. В условиях стохастической волатильности два контракта с одинаковой вегой могут вести себя по-разному, если меняется форма поверхности, а не её общий уровень.

Корреляция превращает «улыбку» в перекос (skew)

Корреляция между шоком цены акции и шоком дисперсии превращает симметричную «улыбку» в асимметричную. При отрицательной корреляции падение цены акции сопровождается ростом дисперсии, поэтому левый хвост распределения к моменту экспирации имеет больший вес, чем правый. В результате подразумеваемая волатильность пут-опционов становится выше волатильности колл-опционов на одинаковом расстоянии от текущей цены.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

В первой половине 2026 года SPY показал самый широкий разрыв в панели: контракты со страйком как минимум на пять процентов ниже текущей цены имели среднее значение 27% против 14.76% для контрактов со страйком как минимум на пять процентов выше, что дает разницу в 12.23 процентных пунктов волатильности. С другой стороны, MSFT показал значение 3.9 пунктов по тому же показателю. Один параметр корреляции на базовый актив позволяет охватить весь этот диапазон наклонов.

Начальная дисперсия задает уровень

Пятый параметр — это дисперсия, от которой модель отталкивается сегодня. Он поднимает или опускает всю поверхность целиком, практически не меняя её формы. Именно поэтому данный параметр перекалибруется чаще всего: он удерживает модель на текущем рыночном уровне, в то время как остальные четыре параметра отвечают за геометрию поверхности.

Что покупает модель и во что это обходится

Покупка представляет собой поверхность, изгибающуюся в двух направлениях на основе пяти интерпретируемых чисел, которые оцениваются быстро. Модель Heston оценивает европейские опционы через характеристическую функцию и один численный интеграл без необходимости проведения симуляции, что позволяет практически мгновенно подбирать параметры для всей цепочки опционов. Затраты стоит обозначить прямо.

• Пять параметров калибруются, подгоняясь под наблюдаемые цены опционов, а не измеряются на основе каких-либо внешних данных.
• Калибровка — это моментальный снимок. При повторной калибровке на следующий день числа изменятся, а значит, константы модели не являются постоянными.
• Один набор параметров редко подходит для всех сроков экспирации одновременно. Наблюдаемые улыбки волатильности на очень коротких сроках изгибаются резче, чем позволяет данный процесс дисперсии.
• Рыночные цены совершают гэпы. В модели дисперсия и спот движутся непрерывно, поэтому любой гэп должен поглощаться подобранными числами.

Для читателей, перешедших со страниц о волатильности, важно одно предостережение. Процесс дисперсии описывает динамику, по которой оцениваются опционы, и это не то же самое, что волатильность, которую акция демонстрирует на самом деле. Разрыв между ними является предметом подразумеваемой волатильности против реализованной волатильности.

Где модель по-прежнему дает сбои

Для каждого из этих пробелов существуют расширения. Модель Бейтса сохраняет стохастическую волатильность Хестона и добавляет скачки в процесс ценообразования, что делает «улыбку» волатильности для краткосрочных опционов более крутой. Модели с «грубой» волатильностью (rough volatility) сохраняют случайную дисперсию, но меняют драйвер на траектории, которые более изменчивы, чем стандартное броуновское движение, что позволяет точнее описывать самый короткий конец кривой. Ни один из этих подходов не решает проблему калибровки: оба добавляют параметры, которые необходимо подбирать под текущий момент и пересчитывать впоследствии.

Часто задаваемые вопросы

Что такое модель Хестона простыми словами?

Это модель оценки опционов, в которой волатильность является случайной величиной. Дисперсия следует по собственной траектории с тяготением к долгосрочному уровню, а её случайный характер коррелирует с динамикой базового актива. Это позволяет модели описывать изогнутую «улыбку волатильности» вместо плоской линии.

Почему модель Блэка-Шоулза дает плоскую улыбку волатильности?

Она предполагает использование одной постоянной волатильности, что фиксирует единое распределение цены к моменту экспирации. Каждый страйк оценивается исходя из этого же распределения, и при обратном расчете формулы для любого страйка получается одна и та же волатильность. Плоская линия — это результат допущения, а не эмпирический факт рынка.

Что означают пять параметров модели Хестона?

Начальная дисперсия задает текущий уровень поверхности. Долгосрочная дисперсия определяет значение, к которому дисперсия стремится с течением времени, а скорость возврата к среднему задает интенсивность этого процесса. Волатильность волатильности определяет кривизну улыбки, а корреляция между двумя случайными шоками задает её наклон.

Соответствует ли модель Хестона реальным ценам опционов?

Она точно описывает центральную часть типичной поверхности, но хуже справляется с короткими сроками, где наблюдаемые улыбки изгибаются резче, чем позволяет её процесс дисперсии. Кроме того, подобранные параметры меняются изо дня в день, что превращает калибровку в регулярную задачу, а не в разовое измерение.

Каждая панель выше поставляется с SQL-запросом, который её сформировал; его можно перенастроить на другой тикер или другой временной интервал. Чтобы задать один из этих вопросов на обычном языке, используя данные по опционам, откройте терминал Strasmore.