Heston Modeli ve Volatilite Gülümsemesi Analizi

Heston Modeli ve Volatilite Dinamikleri

Heston modeli, volatilitenin sabit değil rastgele olduğunu varsayan bir opsiyon fiyatlama modelidir. Model iki hareketli parçadan oluşur: hisse fiyatı ve bu fiyatın varyansı; her ikisi de kendi rastgele şoklarına sahiptir. Volatilite gülümsemesi (volatility smile) oluşumuna olanak tanıyan, bu ikinci rastgelelik kaynağıdır. Black-Scholes modelinin temelindeki varsayım olan sabit volatilite, kullanım fiyatları (strike price) genelinde yalnızca düz bir çizgi çizebilir; oysa hiçbir opsiyon zinciri (option chain) bugüne kadar düz bir seyir izlememiştir.

Neden tek bir volatilite rakamı opsiyon zincirinin tamamını açıklayamaz

Zımni volatilite, bir fiyatlama formülünün, bir opsiyonun piyasada işlem gördüğü fiyatı vermesini sağlayan volatilite girdisidir. Zımni volatilite nasıl hesaplanır sayfamızda detaylandırdığımız üzere, bu işlemi her bir sözleşme için ayrı ayrı tersine çevirdiğinizde, tek bir vade tarihi, kullanım fiyatları genelinde tek bir seviye yerine bir eğri ortaya koyar. Aşağıdaki panel, 2026 yılının ilk yarısında vadesine yirmi ila kırk beş gün kalan tüm SPY sözleşmelerini alır, bunları kullanım fiyatı ile spot fiyat arasındaki mesafeye göre yüzde ikilik bantlara ayırır ve her bir bant içindeki zımni volatilite ortalamasını hesaplar.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

Spot fiyatın oldukça altındaki kullanım fiyatlarını içeren -12% bandı, ortalama 28.05% zımni volatilite değerine ulaşmış olup, aynı vade aralığı için para seviyesindeki (at-the-money) ortalamanın 11.61 volatilite puanı üzerindedir. Alım opsiyonu tarafındaki +12% bandı ise ortalama 15.56% değerini almıştır. Aradaki bantlar, ismini bu etkiden alan eğriyi çizer ve bu eğrinin yana doğru eğilimi volatilite eğimi (volatility skew) olarak adlandırılır. Tek bir volatilite parametresine sahip bir modelin, bu durumu açıklayabilecek bir ayarı yoktur: her kullanım fiyatı, vade sonundaki fiyat için tek bir dağılım üzerinden fiyatlanır ve bu modeli tersine çevirmek, kurgusu gereği her kullanım fiyatında aynı rakamı verir.

Heston modelinin getirdiği değişiklikler

Heston, hisse senedinin rastgele şokunu korur ve varyans için ikinci bir süreç ekler. Semboller yerine kelimelerle ifade etmek gerekirse:

• Hisse senedinin bir sonraki andaki hareketi, mevcut varyansın karekökü ile ölçeklenen bir sürüklenme (drift) ve rastgele bir şoktur.
• Varyansın hareketi, sabit bir hızla uzun vadeli bir seviyeye doğru çekilme ve buna ek olarak, volatilite volatilitesi (vol-of-vol) parametresi ile mevcut varyansın kareköküyle ölçeklenen kendi şokudur.
• İki şok, eksi bir ile bir arasında bir sayı ile korelasyon halindedir.

Bu karekök ölçeklemesi Cox-Ingersoll-Ross formudur ve bilinmesi gereken bir işlevi yerine getirir: varyans şoku, varyans sıfıra yaklaştıkça küçülerek yok olur; bu da varyansın negatif değerlere düşmesini engeller. Hızın iki katı ile uzun vadeli varyansın çarpımı, volatilite volatilitesinin karesini aştığında —Feller adıyla anılan bir koşul— varyans kesinlikle pozitif kalır.

Varyansın kendisi gözlemlenebilir değildir. Bunun ima edilen karşılığı gözlemlenebilirdir ve sabit durmaz. Aşağıdaki panel, 2026 yılının ikinci çeyreği boyunca, her seans için bir okuma olmak üzere iki isim için at-the-money ima edilen volatilitesini grafikleştirir.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

SPY, pencereyi 20.39% tarihinde 2026-04-01 seviyesinden açtı ve 14.45% tarihinde 2026-06-30 seviyesinden kapattı. NVDA, aynı 62 seans boyunca 36.83% seviyesinden 38.22% seviyesine hareket etti. Çizgilerin hiçbiri sabit kalmıyor ve hiçbiri uzaklaşıp gitmiyor: her ikisi de dalgalanıyor ve bir bölgeye geri dönmeye devam ediyor. Bu tablonun her iki ucunu fiyatlandırmak, bir başlangıç seviyesi ile bu seviyeler arasındaki çekilme hızıyla birlikte bir uzun vadeli seviye gerektirir.

Heston parametrelerinin yüzey üzerindeki etkileri

Ortalama geri dönüş ve uzun vadeli seviye, vade yapısını şekillendirir

Bir opsiyonun değeri, bugünkü varyansa değil, ömrü boyunca beklenen ortalama varyansa bağlıdır. Gelecek hafta vadesi dolacak bir sözleşme için bugünkü varyans baskınken, bir yıl sonra vadesi dolacak bir sözleşme için uzun vadeli seviye baskındır. Hız parametresi, beklentinin bu iki nokta arasında ne kadar hızlı hareket edeceğini belirler; bu da zımni oynaklığın vade eğrisinin ön kısmından arka kısmına ne kadar dik bir eğimle geçeceğini saptar.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

1 to 7 days sepetindeki pariteye yakın SPY sözleşmeleri, 2026'nın ilk yarısında ortalama 17.05% seviyesinde gerçekleşirken, 181 to 365 days sepetinde bu oran 18.77% oldu. NVDA ise aynı iki sepette sırasıyla 41.22% ve 44.94% değerlerini kaydetti. Tek bir sayıya dayalı modeller, her vadeyi aynı oynaklık üzerinden fiyatlar. Heston modeli ise ön ve arka vadeye kendi seviyelerini atar; hız parametresi ise bu iki nokta arasındaki şekli yönetir. Bu eğrilerin daha fazlası IV vade yapısı sayfamızda yer almaktadır.

Oynaklığın oynaklığı (vol of vol) gülümsemeyi büker

Oynaklığın oynaklığı, varyansın kendi içindeki oynaklığıdır. Bu değer sıfıra ayarlandığında varyans pürüzsüz bir yol izler: Vade yapısı eğimli kalmaya devam edebilir ancak kullanım fiyatları arasındaki gülümseme (smile) düzleşir. Bu değer artırıldığında, vade sonundaki fiyat dağılımı her iki kuyrukta da ağırlık kazanır; bu da spot fiyattan uzak kullanım fiyatlarını, spot fiyata yakın olanların üzerine taşır. Varyansın pratikte ne kadar hareket ettiği dayanak varlığa göre değişir ve aşağıdaki panel bu hareketi doğrudan ölçmektedir.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

AMZN, paneldeki en geniş aralığı kapsadı: parite seviyesindeki zımni oynaklık 28.21% kadar düşük ve 74.42% kadar yüksek gerçekleşerek, altı ay içinde 46.22 oynaklık puanı fark oluşturdu. KO ise 10.75 puan ile en dar aralığı sergiledi. Vega sayfamızda tanımlanan, fiyatın oynaklığa duyarlılığı olan Vega, yüzeyin seviyesini ölçer. Stokastik oynaklık altında, aynı Vega değerine sahip iki sözleşme, yüzeyin seviyesi yerine şekli değiştiğinde farklı davranışlar sergileyebilir.

Korelasyon, gülümsemeyi çarpıklığa (skew) dönüştürür

Hisse senedi şoku ile varyans şoku arasındaki korelasyon, simetrik bir gülümsemeyi çarpık bir yapıya dönüştürür. Negatif korelasyon durumunda, hisse senedinin düştüğü senaryolar varyansın yükseldiği senaryolardır ve vade sonundaki dağılımın sol kuyruğu, sağ kuyruğuna göre daha fazla ağırlık taşır. Bu durumda, spot fiyattan aynı uzaklıktaki put opsiyonlarının zımni oynaklığı, call opsiyonlarının zımni oynaklığından daha yüksek fiyatlanır.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

2026'nın ilk yarısında SPY, paneldeki en geniş farkı gösterdi: spot fiyatın en az yüzde beş altında kullanım fiyatına sahip sözleşmeler ortalama 27% seviyesindeyken, spot fiyatın en az yüzde beş üzerinde kullanım fiyatına sahip sözleşmeler 14.76% seviyesinde gerçekleşti ve aralarında 12.23 oynaklık puanı fark oluştu. Diğer uçta ise MSFT, aynı ölçümde 3.9 puan kaydetti. Dayanak varlık başına tek bir korelasyon parametresi, bu eğim aralığının tamamını kapsar.

Başlangıç varyansı seviyeyi belirler

Beşinci parametre, modelin bugün başladığı varyans değeridir. Bu parametre, yüzeyin şeklini büyük ölçüde değiştirmeden tüm yüzeyi yukarı veya aşağı taşır. Bu nedenle en sık yeniden ayarlanan parametredir; diğer dört parametre geometrik yapıyı taşırken, bu parametre modeli piyasanın mevcut seviyesinde tutar.

Modelin satın aldıkları ve maliyeti

Satın alınan şey, beş yorumlanabilir sayıdan iki yöne doğru bükülen ve hızlıca fiyatlanan bir yüzeydir. Heston, Avrupa tipi opsiyonları bir karakteristik fonksiyon ve tek bir sayısal integral aracılığıyla, herhangi bir simülasyon gerektirmeksizin değerler; bu da tüm bir opsiyon zincirinin saniyeler içinde fiyatlanmasını pratik kılar. Maliyetleri açıkça belirtmek gerekir.

• Beş parametre, herhangi bir veriden ölçülmek yerine gözlemlenen opsiyon fiyatlarına göre kalibre edilir ve uyarlanır.
• Kalibrasyon bir anlık görüntüdür. Yarın tekrar uyarlama yapıldığında sayılar değişir; bu da modelin sabitlerinin aslında sabit olmadığını gösterir.
• Bir parametre seti, tüm vadelerle aynı anda nadiren uyum sağlar. Çok kısa vadeli gözlemlenen volatilite gülümsemeleri (smiles), bu varyans sürecinin bükebileceğinden daha keskin bir eğime sahiptir.
• Piyasadaki fiyatlarda boşluklar (gap) oluşur. Burada varyans ve spot fiyat sürekli hareket ederken, oluşan bir boşluk uyarlanan sayılar tarafından absorbe edilmek zorundadır.

Volatilite sayfalarından gelen okuyucular için bir uyarı önemlidir. Varyans süreci, opsiyonları fiyatlayan dinamikleri tanımlar; bu, bir hissenin gerçekleşen volatilitesinden farklı bir kavramdır. İkisi arasındaki mesafe, zımni volatilite ile gerçekleşen volatilite konusunun içeriğidir.

Modelin hala eksik kaldığı noktalar

Her boşluk için genişletmeler mevcuttur. Bates modeli, Heston’ın varyans yapısını koruyup fiyat sürecine sıçramalar ekleyerek kısa vadeli volatilite gülümsemesini (smile) dikleştirir. Rough volatility modelleri ise rastgele varyansı koruyup temel sürücüyü standart Brownian hareketinden daha pürüzlü yollarla değiştirerek çok kısa vadeli eğriye daha yakın sonuçlar verir. Ancak iki yaklaşım da kalibrasyon sorununu ortadan kaldırmaz: Her ikisi de bir ana göre uyarlanması ve sonrasında tekrar kalibre edilmesi gereken parametreler ekler.

SSS

Heston modeli basit terimlerle nedir?

Volatilitenin rastgele olduğu bir opsiyon fiyatlama modelidir. Varyans, uzun vadeli bir seviyeye doğru çekilme eğilimi gösteren kendi yolunu izler ve bu rastgelelik hisse senedininkiyle korelasyon içindedir; bu durum modelin düz bir çizgi yerine kavisli bir volatilite gülümsemesini (volatility smile) fiyatlamasına olanak tanır.

Black-Scholes neden düz bir volatilite gülümsemesi verir?

Model, vade sonundaki fiyat için tek bir dağılımı sabitleyen tek bir sabit volatilite varsayar. Her kullanım fiyatı (strike price) aynı dağılımdan fiyatlanır ve formülün tersine çevrilmesi, her kullanım fiyatında aynı volatiliteyi geri verir. Düz çizgi, piyasalara dair bir bulgu değil, varsayımın bir çıktısıdır.

Beş Heston parametresi ne anlama gelir?

Başlangıç varyansı, yüzeyin bugünkü seviyesini belirler. Uzun vadeli varyans, varyansın zaman içinde nereye çekileceğini belirlerken, ortalamaya dönüş hızı bu çekilmenin ne kadar hızlı gerçekleşeceğini belirler. Volatilitenin volatilitesi (vol of vol) gülümsemenin eğriliğini, iki şok arasındaki korelasyon ise eğimini belirler.

Heston modeli gerçek opsiyon fiyatlarına uyum sağlar mı?

Tipik bir yüzeyin orta kısmına yakından uyum sağlar; ancak gözlemlenen gülümsemelerin varyans sürecinin izin verdiğinden daha keskin büküldüğü çok kısa vadeli uçlarda zorlanır. Uyumlanan parametreler günden güne değişir, bu da kalibrasyonu tek seferlik bir ölçümden ziyade tekrarlanan bir egzersiz haline getirir.

Yukarıdaki her panel, başka bir isme veya başka bir pencereye yönlendirilmeye hazır, onu oluşturan SQL ile birlikte gelir. Opsiyon verileri üzerinde bu sorulardan birini sade bir dille sormak için Strasmore terminalini açın.