نموذج Heston وفهم ابتسامة التقلب في الخيارات

15.56%

نموذج Heston لتسعير الخيارات

يُعد نموذج Heston نموذجاً لتسعير الخيارات يعامل التقلب كمتغير عشوائي بدلاً من كونه ثابتاً. يعتمد النموذج على عنصرين متحركين: سعر السهم، وتباين ذلك السعر، حيث يخضع كل منهما لصدمة عشوائية مستقلة. هذا المصدر الثاني للعشوائية هو ما يتيح للنموذج توليد ما يُعرف بـ "ابتسامة التقلب" (volatility smile). إن افتراض ثبات التقلب، وهو الافتراض الجوهري في نموذج Black-Scholes، لا يمكنه سوى رسم خط مستوٍ عبر أسعار التنفيذ (strikes)، في حين لم تشهد أي سلسلة خيارات (option chain) حالة من الاستواء على الإطلاق.

لماذا لا يمكن لرقم تقلب واحد أن يغطي سلسلة خيارات كاملة

التقلب الضمني هو مدخل التقلب الذي يجعل معادلة التسعير تعيد السعر الذي يتم تداول الخيار به فعلياً. إذا قمت بعكس هذه العملية لكل عقد على حدة، كما توضح صفحتنا حول كيفية حساب التقلب الضمني، فإن تاريخ انتهاء صلاحية واحد سيُظهر منحنى عبر أسعار التنفيذ بدلاً من مستوى واحد. تأخذ اللوحة أدناه كل عقد من عقود SPY التي يتبقى لها من عشرين إلى خمسة وأربعين يوماً حتى انتهاء الصلاحية خلال النصف الأول من عام 2026، وتصنفها في نطاقات بنسبة اثنين بالمئة بناءً على المسافة بين سعر التنفيذ والسعر الفوري، ثم تحسب متوسط التقلب الضمني داخل كل نطاق.

WITH
    (
        SELECT avg(implied_volatility)
        FROM global_markets.options_greeks
        WHERE underlying_symbol = 'SPY'
          AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
          AND iv_converged = 1
          AND volume > 0
          AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
          AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.01
    ) AS atm_iv
SELECT
    concat(if(m_bucket > 0, '+', ''), toString(m_bucket), '%') AS moneyness,
    round(avg(iv) * 100, 2)                                    AS iv_pct,
    round((avg(iv) - atm_iv) * 100, 2)                          AS iv_vs_atm_pts,
    count()                                                     AS contracts
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility AS iv,
        toInt16(round((toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) * 50) * 2) AS m_bucket
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.12
)
GROUP BY m_bucket
HAVING count() >= 100
ORDER BY m_bucket

سجل النطاق -12%، الذي يضم أسعار تنفيذ بعيدة عن السعر الفوري، متوسط تقلب ضمني بلغ 28.05%، وهو ما يزيد بمقدار 11.61 نقطة تقلب عن متوسط التقلب عند سعر التنفيذ الحالي (at-the-money) لنفس الفترة. بينما بلغ متوسط النطاق +12% على جانب عقود Call نسبة 15.56%. ترسم النطاقات الواقعة بينهما المنحنى الذي سُمي التأثير تيمناً به، ويُعرف ميله الجانبي بـ انحراف التقلب. إن أي نموذج يعتمد على معامل تقلب واحد لا يملك أداة للوصول إلى أي من هذه النتائج: فكل سعر تنفيذ يُسعَّر بناءً على توزيع واحد للسعر عند انتهاء الصلاحية، وعكس هذا النموذج يعيد الرقم نفسه عند كل سعر تنفيذ، بحكم تصميمه.

ما الذي يغيره نموذج Heston

يحتفظ نموذج Heston بالصدمة العشوائية للسهم ويضيف عملية ثانية للتباين. بكلمات بسيطة بدلاً من الرموز:

• حركة السهم خلال اللحظة التالية هي اتجاه عام مضافاً إليه صدمة عشوائية، يتم قياسها بالجذر التربيعي للتباين الحالي.
• حركة التباين هي انجذاب نحو مستوى طويل الأجل بسرعة ثابتة، مضافاً إليها صدمة خاصة بها، يتم قياسها بمعامل تقلب التقلب والجذر التربيعي للتباين الحالي.
• الصدمتان مترابطتان برقم يقع بين سالب واحد وواحد.

هذا القياس بالجذر التربيعي هو صيغة Cox-Ingersoll-Ross، ويؤدي وظيفة واحدة تستحق المعرفة: تتقلص صدمة التباين نحو الصفر كلما اقترب التباين من الصفر، مما يمنع التباين من التحول إلى قيمة سالبة. عندما يتجاوز ضعف السرعة مضروباً في التباين طويل الأجل مربع تقلب التقلب، وهو شرط سُمي باسم Feller، يظل التباين موجباً تماماً.

التباين في حد ذاته غير قابل للملاحظة. أما نظيره الضمني فهو قابل للملاحظة، وهو لا يظل ثابتاً. يرسم الجدول أدناه التقلب الضمني عند سعر التعادل (at-the-money) لاسمين، بقراءة واحدة لكل جلسة، خلال الربع الثاني من عام 2026.

SELECT
    toString(date)                                                        AS session_date,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_atm_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_atm_iv_pct
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
  AND date BETWEEN '2026-04-01' AND '2026-06-30'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
GROUP BY date
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY date

افتتح SPY النافذة عند 20.39% في 2026-04-01 وأغلقها عند 14.45% في 2026-06-30. وتحرك NVDA من 36.83% إلى 38.22% عبر نفس الجلسات البالغ عددها 62. لا يثبت أي من الخطين في مكانه، ولا يبتعدان بشكل حاد: كلاهما يتذبذب ويستمر في العودة إلى نطاق معين. يتطلب تسعير طرفي تلك الصورة مستوى بداية مضافاً إليه مستوى طويل الأجل مع سرعة للانجذاب بينهما.

تأثير كل معامل من معاملات Heston على السطح

متوسط العودة والمستوى طويل الأجل يشكلان الهيكل الزمني

تعتمد قيمة الخيار على متوسط التباين المتوقع طوال فترة حياته، وليس على التباين الحالي. بالنسبة لعقد تنتهي صلاحيته الأسبوع المقبل، فإن تباين اليوم هو المهيمن على ذلك المتوسط؛ أما بالنسبة لعقد تنتهي صلاحيته بعد عام، فإن المستوى طويل الأجل هو الذي يهيمن. يحدد معامل السرعة مدى سرعة انتقال التوقعات بين هذين المستويين، وهو ما يحدد بدوره مدى حدة ميل التقلب الضمني من بداية التقويم إلى نهايته.

SELECT
    tenor,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'SPY') * 100, 2)  AS spy_iv_pct,
    round(avgIf(implied_volatility, underlying_symbol = 'NVDA') * 100, 2) AS nvda_iv_pct
FROM
(
    SELECT
        implied_volatility,
        underlying_symbol,
        days_to_expiry,
        multiIf(
            days_to_expiry <= 7,   '1 to 7 days',
            days_to_expiry <= 21,  '8 to 21 days',
            days_to_expiry <= 45,  '22 to 45 days',
            days_to_expiry <= 90,  '46 to 90 days',
            days_to_expiry <= 180, '91 to 180 days',
                                   '181 to 365 days') AS tenor
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'NVDA')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 1 AND 365
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.02
)
GROUP BY tenor
HAVING countIf(underlying_symbol = 'SPY') > 0
   AND countIf(underlying_symbol = 'NVDA') > 0
ORDER BY min(days_to_expiry)

بلغ متوسط عقود SPY القريبة من سعر التنفيذ في سلة 1 to 7 days ما نسبته 17.05% خلال النصف الأول من عام 2026، مقابل 18.77% في سلة 181 to 365 days. وسجلت NVDA ما نسبته 41.22% و 44.94% عبر السلتين ذاتهما. يقوم النموذج أحادي الرقم بتسعير كل استحقاق بناءً على نفس التقلب. بينما يمنح نموذج Heston كلاً من البداية والنهاية مستوياتهما الخاصة، مع تحكم معامل السرعة في الشكل بينهما. تتوفر المزيد من هذه المنحنيات على صفحة الهيكل الزمني للتقلب الضمني.

تقلب التقلب يحدد انحناء الابتسامة

تقلب التقلب هو تقلب التباين نفسه. إذا ضبطته عند الصفر، يتبع التباين مساراً سلساً: قد يظل الهيكل الزمني مائلاً، لكن الابتسامة عبر أسعار التنفيذ تصبح مسطحة. وعند رفعه، يكتسب توزيع السعر عند انتهاء الصلاحية وزناً أكبر في كلا الطرفين، مما يرفع أسعار التنفيذ البعيدة عن السعر الفوري فوق تلك القريبة منه. تختلف المسافة التي يقطعها التباين عملياً باختلاف الأصول الأساسية، وتقيس اللوحة أدناه هذا التحرك بشكل مباشر.

SELECT
    symbol,
    round(min(daily_iv) * 100, 2)                   AS low_iv_pct,
    round(max(daily_iv) * 100, 2)                   AS high_iv_pct,
    round((max(daily_iv) - min(daily_iv)) * 100, 2) AS swing_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol      AS symbol,
        date,
        avg(implied_volatility) AS daily_iv
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.05
    GROUP BY symbol, date
)
GROUP BY symbol
ORDER BY swing_pts DESC

غطى AMZN النطاق الأوسع في اللوحة: حيث وصل التقلب الضمني عند سعر التنفيذ الفوري إلى مستوى منخفض بلغ 28.21% ومستوى مرتفع بلغ 74.42%، بفارق 46.22 نقطة تقلب على مدى ستة أشهر. بينما غطى KO النطاق الأضيق، بفارق 10.75 نقطة. تقيس "فيغا" (Vega)، وهي حساسية السعر للتقلب التي تُعرفها صفحة الفيغا الخاصة بنا، مستوى السطح. في ظل التقلب العشوائي، يمكن لعقدين لهما نفس قيمة "فيغا" أن يتصرفا بشكل مختلف عندما يتغير شكل السطح بدلاً من مستواه.

الارتباط يحول الابتسامة إلى انحراف

يؤدي الارتباط بين صدمة السهم وصدمة التباين إلى تحويل الابتسامة المتماثلة إلى ابتسامة غير متماثلة. في ظل وجود ارتباط سلبي، تكون المسارات التي ينخفض فيها السهم هي المسارات التي يرتفع فيها التباين، ويحمل الطرف الأيسر من توزيع الاحتمالات عند انتهاء الصلاحية وزناً أكبر من الطرف الأيمن. عندها، يتم تسعير التقلب الضمني لجانب عقود البيع (Put) أعلى من التقلب الضمني لجانب عقود الشراء (Call) عند نفس المسافة من السعر الفوري.

SELECT
    underlying_symbol                                                    AS symbol,
    round(avgIf(iv, ratio <= 0.95) * 100, 2)                             AS otm_put_iv_pct,
    round(avgIf(iv, ratio >= 1.05) * 100, 2)                             AS otm_call_iv_pct,
    round((avgIf(iv, ratio <= 0.95) - avgIf(iv, ratio >= 1.05)) * 100, 2) AS put_minus_call_pts
FROM
(
    SELECT
        underlying_symbol,
        implied_volatility                                    AS iv,
        toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) AS ratio
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol IN ('SPY', 'AAPL', 'MSFT', 'NVDA', 'AMZN', 'KO')
      AND date BETWEEN '2026-01-02' AND '2026-06-30'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 20 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
)
GROUP BY underlying_symbol
HAVING countIf(ratio <= 0.95) > 0
   AND countIf(ratio >= 1.05) > 0
ORDER BY put_minus_call_pts DESC

خلال النصف الأول من عام 2026، أظهر SPY أكبر فجوة في اللوحة: حيث بلغ متوسط العقود ذات سعر التنفيذ الأقل من السعر الفوري بنسبة خمسة بالمئة على الأقل 27%، مقابل 14.76% للعقود ذات سعر التنفيذ الأعلى من السعر الفوري بنسبة خمسة بالمئة على الأقل، بفارق 12.23 نقطة تقلب. وفي الطرف الآخر، سجل MSFT فارق 3.9 نقطة وفقاً لنفس القياس. معامل ارتباط واحد لكل أصل أساسي هو ما يغطي هذا النطاق الكامل من الانحرافات.

التباين الابتدائي يحدد المستوى

المعامل الخامس هو التباين الذي يبدأ منه النموذج اليوم. وهو يرفع أو يخفض السطح بأكمله دون تغيير شكله بشكل كبير، ولهذا السبب يتم إعادة ضبطه في أغلب الأحيان: فهو يحافظ على توافق النموذج مع مستوى السوق الحالي بينما تتولى المعاملات الأربعة الأخرى تحديد الهندسة.

ما يشتريه النموذج وتكلفته

تُعد عملية الشراء سطحاً ينحني في اتجاهين انطلاقاً من خمسة أرقام قابلة للتفسير، ويتم تسعيرها بسرعة. يقيّم نموذج Heston الخيارات الأوروبية من خلال دالة مميزة وتكامل عددي واحد، دون الحاجة إلى محاكاة، مما يجعل ملاءمة سلسلة كاملة من الخيارات أمراً عملياً في جزء من الثانية. وتستحق التكاليف أن تُذكر بوضوح.

• تتم معايرة المعلمات الخمس وتكييفها مع أسعار الخيارات المرصودة بدلاً من قياسها من أي شيء آخر.
• المعايرة هي لقطة لحظية. أعد التكييف غداً وستتغير الأرقام، مما يعني أن ثوابت النموذج ليست ثابتة.
• نادراً ما تناسب مجموعة واحدة من المعلمات جميع تواريخ الاستحقاق في آن واحد. تنحني ابتسامات التقلب المرصودة في الأجل القصير جداً بشكل أكثر حدة مما يمكن لعملية التباين هذه أن تحققه.
• توجد فجوات في أسعار السوق. يتحرك التباين والسعر الفوري باستمرار في هذا النموذج، ويجب أن تستوعب الأرقام المكيّفة أي فجوة سعرية.

هناك تحذير واحد يهم القراء القادمين من صفحات التقلب. تصف عملية التباين الديناميكيات التي تسعّر الخيارات، وهي تختلف عن التقلب الذي يحققه السهم فعلياً لاحقاً. والمسافة بينهما هي موضوع التقلب الضمني مقابل التقلب المحقق.

مواضع القصور المستمرة في النموذج

توجد امتدادات لكل فجوة من هذه الفجوات. يحتفظ نموذج Bates بتباين Heston ويضيف قفزات إلى مسار السعر، مما يزيد من حدة انحراف التقلب (smile) للآجال القصيرة. أما نماذج التقلب الخشن (rough volatility) فتحتفظ بالتباين العشوائي وتستبدل المحرك بمسارات أكثر خشونة من الحركة البراونية القياسية، مما يطابق الطرف قصير الأجل بدقة أكبر. ومع ذلك، لا يزيل أي منهما مشكلة المعايرة؛ فكلاهما يضيف معلمات يجب مواءمتها مع لحظة زمنية معينة وإعادة مواءمتها لاحقاً.

الأسئلة الشائعة

ما هو نموذج Heston ببساطة؟

هو نموذج لتسعير الخيارات تكون فيه التقلبات عشوائية. يتبع التباين مساره الخاص مع وجود قوة جذب نحو مستوى طويل الأجل، وترتبط عشوائيته بعشوائية السهم، مما يسمح للنموذج بتسعير منحنى تقلب (volatility smile) مقوس بدلاً من خط مستقيم.

لماذا يعطي نموذج Black-Scholes منحنى تقلب مسطحاً؟

يفترض النموذج تقلبًا ثابتاً واحداً، مما يحدد توزيعاً واحداً لسعر السهم عند تاريخ الاستحقاق. يتم تسعير كل سعر تنفيذ (strike price) بناءً على التوزيع نفسه، وعند عكس المعادلة، نحصل على التقلب ذاته لكل سعر تنفيذ. الخط المسطح هو نتيجة لافتراضات النموذج، وليس استنتاجاً حول واقع الأسواق.

ماذا تعني معلمات Heston الخمس؟

يحدد التباين الابتدائي مستوى السطح الحالي. ويحدد التباين طويل الأجل النقطة التي ينجذب إليها التباين بمرور الوقت، بينما تحدد سرعة العودة إلى المتوسط مدى سرعة هذا الانجذاب. يحدد تقلب التقلب (vol of vol) مدى تقوس المنحنى، ويحدد الارتباط بين الصدمتين ميل هذا المنحنى.

هل يتوافق نموذج Heston مع أسعار الخيارات الحقيقية؟

يتوافق النموذج بشكل وثيق مع منتصف السطح النموذجي، لكنه يواجه صعوبة أكبر في الآجال القصيرة جداً، حيث تنحني منحنيات التقلب المرصودة بحدة أكبر مما تسمح به عملية التباين الخاصة به. كما تتغير المعلمات الموائمة من يوم لآخر، مما يجعل عملية المعايرة تمريناً متكرراً بدلاً من كونها قياساً لمرة واحدة.

تأتي كل لوحة أعلاه مرفقة بلغة SQL التي أنتجتها، وهي جاهزة لإعادة توجيهها إلى اسم آخر أو نافذة أخرى. لطرح أحد هذه الأسئلة بلغة إنجليزية بسيطة مقابل بيانات الخيارات، افتح منصة Strasmore.