Що таке rho опціону: грецький показник ставки

Опціонний rho вимірює, наскільки змінюється ціна опціону в разі зміни безризикової процентної ставки. Показник котирується як зміна ціни на один процентний пункт зміни ставки. Для call-опціонів rho є додатним, а для put-опціонів — від’ємним. У 30-денного at-the-money контракту це найменше число в рядку грецьких показників. У дворічного LEAPS його значення достатнє, щоб змінити премію на кілька відсотків.

Що таке rho опціону і чому воно є додатним для call-опціонів?

Rho належить до грецьких показників опціону — коефіцієнтів чутливості, кожен з яких вимірює вплив окремого чинника. Delta охоплює ціну акції, vega — implied volatility, theta — плин часу, а rho — процентну ставку, яку pricing model використовує для дисконтування грошових потоків, що відбуваються в майбутньому. У матеріалі Пояснення грецьких показників опціону розглянуто решту показників.

Знак rho випливає з природи call-опціону: це відкладена купівля. Покупець call-опціону фіксує ціну акцій сьогодні, а платить за них пізніше — під час виконання опціону або на дату експірації. До цього моменту сума strike залишається на рахунку покупця й приносить відсотковий дохід. Що довший цей період і що вища ставка, то ціннішою є така конструкція. Тому модель оцінює call-опціон дорожче. Це і є додатне rho.

Put-опціон є дзеркальним відображенням: це відкладений продаж. Власник put-опціону очікує отримати суму strike грошима в майбутньому. За вищої ставки дисконту фіксована сума, отримана пізніше, має нижчу поточну вартість. Тому ціна put-опціону має від’ємне rho.

Чому rho зростає разом із терміном до експірації?

Якщо записати компонент rho у формулі Black-Scholes, він дорівнює strike, помноженому на кількість років до експірації, discount factor і модельну ймовірність того, що strike буде сплачено. Саме період до експірації змінюється на порядок між контрактами, які бачить роздрібний інвестор на екрані. Відкладений на один місяць платіж має приблизно одну двадцять четверту вартості дворічного відкладеного платежу.

Розрахунок на умовному прикладі показує масштаб ефекту. Це округлені гіпотетичні параметри, а не котирування конкретного контракту: акція по $100, strike $100, волатильність 25 відсотків, відсутність дивідендів і початкова ставка 4 відсотки. Rho котирується на один процентний пункт, а зміна ціни показує ефект повного підвищення ставки на 100 базисних пунктів для кожного контракту.

• 30-денний call-опціон: приблизно $3.02, rho близько +0.04. Після зміни ставки ціна становить близько $3.06 — на чотири центи більше, або 1.4 відсотка премії.
• 30-денний put-опціон: приблизно $2.69, rho близько -0.04. Після такої самої зміни ставка ціна становить близько $2.65.
• 730-денний call-опціон: приблизно $17.68, rho близько +0.96. Після такої самої зміни ставка ціна становить близько $18.65 — на 97 центів більше, або 5.5 відсотка премії.
• 730-денний put-опціон: приблизно $9.99, rho близько -0.89. Після такої самої зміни ставка ціна становить близько $9.13 — приблизно на 86 центів менше, або на 8.6 відсотка.

Ціна акції, strike і волатильність однакові. Відрізняється лише термін до експірації. Rho дворічного call-опціону приблизно у 23 рази перевищує показник 30-денного контракту. Панель нижче вимірює такий самий ефект для реальних контрактів SPY. Середнє rho в кожному інтервалі терміну до експірації поділено на середнє значення в інтервалі від 21 до 45 днів.

SELECT
    b.dte_bucket                                AS dte_bucket,
    round(b.call_rho / f.front_call_rho, 2)     AS call_rho_ratio,
    round(b.put_rho  / f.front_put_rho,  2)     AS put_rho_ratio,
    b.contract_count                            AS contract_count
FROM
(
    SELECT
        multiIf(days_to_expiry <=  45, '21-45d',
                days_to_expiry <=  90, '46-90d',
                days_to_expiry <= 180, '91-180d',
                days_to_expiry <= 365, '181-365d',
                days_to_expiry <= 545, '366-545d',
                                       '546-760d')                     AS dte_bucket,
        min(days_to_expiry)                                            AS sort_key,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c'))      AS call_rho,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p'))      AS put_rho,
        count()                                                        AS contract_count
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-05-01'
      AND date <  '2026-08-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 21 AND 760
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
    GROUP BY dte_bucket
    HAVING countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) > 0
       AND countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) > 0
) AS b
CROSS JOIN
(
    SELECT
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) AS front_call_rho,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) AS front_put_rho
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-05-01'
      AND date <  '2026-08-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
) AS f
ORDER BY b.sort_key

У кожному рядку показник наведено як кратне значення переднього місячного інтервалу. Це усуває з порівняння одиниці виміру моделі. Середнє rho call-опціонів в інтервалі від 546 до 760 днів становить 20.26 від показника в інтервалі від 21 до 45 днів. Для put-опціонів відповідне значення становить 18.12 від середнього показника переднього інтервалу. Крива близька до прямої залежності від часу до експірації, як і передбачає формула.

Як змінюється rho LEAPS із наближенням експірації?

Інтервали дають лише зріз у часі. Якщо спостерігати за однією експірацією протягом року, видно такий самий процес для однієї групи контрактів. Панель відстежує near-the-money call-опціони SPY з експірацією у січні 2027 року щотижня. Порівняння проводиться з ковзним рядом контрактів із терміном від 21 до 45 днів на той самий базовий актив.

SELECT
    toString(toMonday(date))                                       AS week,
    round(avgIf(rho, expiration_date = '2027-01-15'), 3)           AS leaps_call_rho,
    round(avgIf(rho, days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45), 3)         AS front_call_rho
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
  AND startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')
  AND date >= '2025-08-04'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.05
  AND (expiration_date = '2027-01-15' OR days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45)
GROUP BY week
HAVING countIf(expiration_date = '2027-01-15') > 0
   AND countIf(days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45) > 0
ORDER BY week

У перший тиждень на графіку середнє rho для страйків січня 2027 року становить 5.125. В останній тиждень воно становить 1.789, коли до експірації залишається менше шести місяців. У той самий тиждень ковзний ряд near-dated контрактів показує 0.274. У цих контрактах не змінилося нічого, крім часу до експірації. Така динаміка описана в матеріалі як грецькі показники опціону змінюються з часом. Саме тому контракти LEAPS першими реагують на зміну ставок.

Які страйки мають найвище rho?

Rho змінюється разом із модельною ймовірністю того, що strike буде фактично сплачено. Deep in-the-money call-опціон майже напевно буде виконано, і майже вся сума strike відкладається до майбутнього. Тому його rho є одним із найвищих у ланцюжку опціонів. У far out-of-the-money call-опціону ймовірність сплати strike невелика, тому його rho залишається низьким. Панель групує довгострокові контракти SPY за розташуванням strike відносно ціни акції.

SELECT
    multiIf(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.10, 'strike 10%+ below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.05, 'strike 5-10% below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.02, 'strike 2-5% below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.02, 'strike within 2%',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.05, 'strike 2-5% above',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.10, 'strike 5-10% above',
                                                                              'strike 10%+ above') AS moneyness_bucket,
    round(avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')), 3)  AS call_rho,
    round(avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')), 3)  AS put_rho,
    count()                                                              AS contract_count
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
  AND date >= '2026-05-01'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 366 AND 760
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
GROUP BY moneyness_bucket
HAVING countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) > 0
   AND countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) > 0
ORDER BY min(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close))

У найнижчому інтервалі, де strike щонайменше на 10 відсотків нижчий за ціну акції, середнє rho call-опціонів становить 6.411, а середнє rho put-опціонів на тих самих страйках — -2.391. На іншому кінці, де strike щонайменше на 10 відсотків вищий за ціну акції, показник call-опціонів становить 3.433, а put-опціонів — -7.572. Дві лінії рухаються вздовж страйків у протилежних напрямках. У цих панелях rho наведено в масштабі щоденного розрахунку моделі на один контракт. Тому тут слід оцінювати знак і форму кривої, а доларову інтерпретацію брати з наведеного вище прикладу. Deep in-the-money LEAPS, які поєднують тривалий термін із високою ймовірністю виконання, розташовані на крайніх значеннях обох панелей.

Наскільки насправді змінюються процентні ставки?

Rho котирується на один процентний пункт, а процентний пункт є значною зміною для процентних ставок. Панель вимірює зміну дохідності 2-year і 10-year Treasury від початку до кінця кожного календарного року. Показник наведено в базисних пунктах, де 100 базисних пунктів дорівнюють одному процентному пункту.

SELECT
    toString(toYear(date))                                                       AS year,
    round((argMax(yield_2_year,  date) - argMin(yield_2_year,  date)) * 100, 0)  AS change_2y_bps,
    round((argMax(yield_10_year, date) - argMin(yield_10_year, date)) * 100, 0)  AS change_10y_bps
FROM global_markets.treasury_yields
WHERE date >= '2014-01-01'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND yield_2_year > 0
  AND yield_10_year > 0
GROUP BY year
ORDER BY year

У 2014 зміна дохідності 2-year Treasury від початку до кінця року становила 28 базисних пунктів. У 2026, станом на останній доступний день у вибірці, вона становила 81. У деякі роки дохідність завершувала рік у межах кількох десятків базисних пунктів від рівня на початку року. В окремі роки зміна сягала кількох сотень базисних пунктів. Дворічний контракт, утримуваний протягом року з великим рухом ставок, має відчутну процентну чутливість, яку варто відстежувати. Тижневий опціон, утримуваний у той самий період, такої чутливості не має.

Де процентні ставки проявляються в реальних цінах опціонів

Є два місця, де rho можна побачити безпосередньо. Перше — box spread, чотириногова комбінація, виплата за якою на дату експірації є фіксованою сумою грошових коштів незалежно від ціни акції. Після взаємного погашення експозиції до акції залишається лише процентний компонент. Тому ціна box spread дає змогу визначити ставку запозичення або кредитування. У матеріалі Неявна ставка позики в box spread конструкцію розібрано крок за кроком.

Другий приклад — дострокове виконання deep in-the-money put-опціону. Виконання дає змогу отримати суму strike грошима сьогодні, а не на дату експірації. Грошові кошти, отримані раніше, приносять відсотковий дохід протягом решти терміну контракту. Коли цей дохід перевищує залишкову часову вартість опціону, put-опціон американського типу вигідніше виконати, ніж утримувати. Це фактично аргумент на користь rho. Контракти європейського типу не мають такої можливості. Цю відмінність розглянуто в матеріалі Американські та європейські опціони.

FAQ

Що таке rho в торгівлі опціонами?

Rho вимірює зміну ціни опціону в разі зміни безризикової процентної ставки на один процентний пункт. Для call-опціонів rho є додатним, а для put-опціонів — від’ємним. Обидва показники зростають разом із часом до експірації.

Rho для put-опціонів є додатним чи від’ємним?

Від’ємним. Власник put-опціону очікує отримати суму strike грошима в майбутньому. Вища ставка дисконту знижує поточну вартість цього майбутнього платежу. Ця різниця відображається у ціні put-опціону як від’ємне rho.

Чи має rho значення для короткострокових опціонів?

Майже ні. У наведеному гіпотетичному прикладі повна зміна ставки на 100 базисних пунктів дає приблизно чотири центи для 30-денного опціону вартістю $3. Delta, gamma, theta і vega у звичайній торговій сесії змінюють ціну короткострокового контракту значно сильніше.

Які опціони мають найвище rho?

Довгострокові call-опціони deep in-the-money. Rho залежить від кількості років до експірації та модельної ймовірності сплати strike. Для LEAPS deep in-the-money обидва показники близькі до максимальних значень.

Чим rho відрізняється від vega?

Vega вимірює чутливість до implied volatility, а rho — чутливість до процентної ставки. Implied volatility може змінитися на кілька пунктів за тиждень. Процентна ставка рухається повільніше — відповідно до траєкторії, показаної на річній панелі вище.

Під кожною панеллю наведено точний SQL-запит. Відкрийте його, підставте інший ticker або дату експірації та поставте те саме запитання в терміналі Strasmore.