Rho d’une option : effet des taux d’intérêt

Le rho d’une option mesure l’évolution de son prix lorsque le taux d’intérêt sans risque varie. Il est exprimé comme une variation de prix pour un point de pourcentage de variation du taux. Le rho est positif pour les calls et négatif pour les puts. Sur un contrat à 30 jours à la monnaie, c’est la plus petite valeur de la ligne des greeks. Sur un LEAPS à deux ans, il est assez élevé pour faire varier la prime de plusieurs pourcents.

Qu’est-ce que le rho d’une option et pourquoi est-il positif pour les calls ?

Le rho fait partie des greeks des options, c’est-à-dire des sensibilités qui mesurent chacune un paramètre donné. Le delta mesure l’effet du cours de l’action. Le vega mesure celui de la volatilité implicite. Le theta mesure le passage du temps. Le rho mesure l’effet du taux d’intérêt utilisé par le modèle pour actualiser les flux futurs. Les greeks des options expliqués présente les autres sensibilités.

Le signe découle de la nature du call : il s’agit d’un achat différé. L’acheteur d’un call fixe aujourd’hui le prix des actions et les paie plus tard, à l’exercice ou à l’expiration. Jusqu’à cette date, les fonds correspondant au strike restent sur son compte et produisent des intérêts. Plus le différé est long et plus le taux est élevé, plus cet arrangement a de la valeur. Le modèle valorise donc le call plus cher. C’est un rho positif.

Le put est l’image inverse : il s’agit d’une vente différée. Le détenteur d’un put attend de recevoir le strike en espèces à une date future. Or une somme fixe reçue plus tard vaut moins lorsque le taux d’actualisation augmente. Le prix du put reflète cette relation par un rho négatif.

Pourquoi le rho augmente-t-il avec la durée jusqu’à l’expiration ?

Si l’on écrit le terme de rho du modèle de Black-Scholes, il correspond au strike multiplié par le nombre d’années restantes, puis par un facteur d’actualisation et par la probabilité, selon le modèle, que le strike soit effectivement payé. C’est le nombre d’années restantes qui varie le plus entre les contrats affichés sur un écran de trading. Un paiement différé d’un mois vaut environ un vingt-quatrième d’un paiement différé de deux ans.

Un exemple chiffré permet d’en mesurer l’ampleur. Il s’agit d’hypothèses arrondies, et non de cotations d’un contrat réel : une action à 100 $, un strike à 100 $, une volatilité de 25 %, aucun dividende et un taux initial de 4 %. Le rho est exprimé pour un point de pourcentage. La variation de prix correspond donc à une hausse de 100 points de base du taux pour chaque contrat.

• Call à 30 jours : environ 3,02 $, avec un rho proche de +0,04. Après la variation du taux, son prix atteint environ 3,06 $, soit quatre cents de plus, ou 1,4 % de la prime.
• Put à 30 jours : environ 2,69 $, avec un rho proche de -0,04. Après la même variation, son prix atteint environ 2,65 $.
• Call à 730 jours : environ 17,68 $, avec un rho proche de +0,96. Après la même variation, son prix atteint environ 18,65 $, soit 97 cents de plus, ou 5,5 % de la prime.
• Put à 730 jours : environ 9,99 $, avec un rho proche de -0,89. Après la même variation, son prix atteint environ 9,13 $, soit environ 86 cents de moins, ou 8,6 % de la prime.

Le cours de l’action, le strike et la volatilité sont identiques. Seule la durée change. Le rho du call à deux ans est environ 23 fois supérieur à celui du contrat à 30 jours. Le graphique ci-dessous mesure le même effet sur des contrats SPY réels. Le rho moyen de chaque tranche d’échéance est rapporté à la moyenne de la tranche de 21 à 45 jours.

SELECT
    b.dte_bucket                                AS dte_bucket,
    round(b.call_rho / f.front_call_rho, 2)     AS call_rho_ratio,
    round(b.put_rho  / f.front_put_rho,  2)     AS put_rho_ratio,
    b.contract_count                            AS contract_count
FROM
(
    SELECT
        multiIf(days_to_expiry <=  45, '21-45d',
                days_to_expiry <=  90, '46-90d',
                days_to_expiry <= 180, '91-180d',
                days_to_expiry <= 365, '181-365d',
                days_to_expiry <= 545, '366-545d',
                                       '546-760d')                     AS dte_bucket,
        min(days_to_expiry)                                            AS sort_key,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c'))      AS call_rho,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p'))      AS put_rho,
        count()                                                        AS contract_count
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-05-01'
      AND date <  '2026-08-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 21 AND 760
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
    GROUP BY dte_bucket
    HAVING countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) > 0
       AND countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) > 0
) AS b
CROSS JOIN
(
    SELECT
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) AS front_call_rho,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) AS front_put_rho
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-05-01'
      AND date <  '2026-08-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
) AS f
ORDER BY b.sort_key

Chaque ligne est exprimée comme un multiple de la tranche d’échéance la plus proche. Cela élimine les unités du modèle et facilite la comparaison. Le rho moyen des calls dans la tranche de 546 à 760 jours atteint 20.26 fois le niveau de la tranche de 21 à 45 jours. Côté puts, il atteint 18.12 fois la moyenne de sa propre tranche de référence. La courbe est proche d’une droite en fonction de la durée restante, conformément à la formule.

Que devient le rho à mesure qu’un LEAPS arrive à échéance ?

Les tranches donnent une photographie à un instant donné. Suivre une même échéance sur un an montre le même phénomène sur un ensemble de contrats donné. Le graphique suit, semaine après semaine, les calls SPY proches de la monnaie arrivant à échéance en janvier 2027. Ils sont comparés à une série glissante de 21 à 45 jours sur le même sous-jacent.

SELECT
    toString(toMonday(date))                                       AS week,
    round(avgIf(rho, expiration_date = '2027-01-15'), 3)           AS leaps_call_rho,
    round(avgIf(rho, days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45), 3)         AS front_call_rho
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
  AND startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')
  AND date >= '2025-08-04'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.05
  AND (expiration_date = '2027-01-15' OR days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45)
GROUP BY week
HAVING countIf(expiration_date = '2027-01-15') > 0
   AND countIf(days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45) > 0
ORDER BY week

La première semaine du graphique, le rho moyen des strikes de janvier 2027 atteint 5.125. La dernière semaine, il atteint 1.789, alors qu’il reste moins de six mois avant l’échéance. Sur cette même semaine, la série glissante à courte échéance affiche 0.274. Rien n’a changé dans ces contrats, à l’exception du calendrier. Ce profil correspond à celui décrit dans l’évolution des greeks des options dans le temps. C’est pourquoi les contrats LEAPS sont les premiers à voir leur sensibilité aux taux augmenter.

Quels strikes présentent le rho le plus élevé ?

Le rho évolue avec la probabilité, selon le modèle, que le strike soit effectivement payé. Un call profondément dans la monnaie a de fortes chances d’être exercé. Presque la totalité du strike est alors différée, ce qui place son rho en haut de la chaîne. Un call très hors de la monnaie a peu de chances de payer le strike. Son rho reste donc faible. Le graphique regroupe les contrats SPY de longue échéance selon l’écart entre le strike et le cours de l’action.

SELECT
    multiIf(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.10, 'strike 10%+ below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.05, 'strike 5-10% below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.02, 'strike 2-5% below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.02, 'strike within 2%',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.05, 'strike 2-5% above',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.10, 'strike 5-10% above',
                                                                              'strike 10%+ above') AS moneyness_bucket,
    round(avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')), 3)  AS call_rho,
    round(avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')), 3)  AS put_rho,
    count()                                                              AS contract_count
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
  AND date >= '2026-05-01'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 366 AND 760
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
GROUP BY moneyness_bucket
HAVING countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) > 0
   AND countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) > 0
ORDER BY min(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close))

Dans la tranche la plus basse, correspondant aux strikes inférieurs d’au moins 10 % au cours de l’action, le rho moyen des calls atteint 6.411. Le rho moyen des puts portant sur ces mêmes strikes atteint -2.391. À l’autre extrémité, pour les strikes supérieurs d’au moins 10 % au cours de l’action, le rho des calls atteint 3.433 et celui des puts -7.572. Les deux lignes évoluent en sens inverse selon les strikes. Ces graphiques affichent le rho dans l’unité quotidienne par contrat du modèle qui le calcule. Il faut donc en retenir le signe et la forme, puis utiliser l’exemple chiffré ci-dessus pour l’interprétation en dollars. Les LEAPS profondément dans la monnaie, qui combinent une longue durée et une forte probabilité d’exercice, se situent à l’extrémité des deux graphiques.

Dans quelle mesure les taux d’intérêt varient-ils réellement ?

Le rho est exprimé pour un point de pourcentage, et un point de pourcentage représente une variation importante des taux. Le graphique mesure, pour chaque année civile, la variation entre le début et la fin de l’année des rendements des Treasuries à 2 ans et à 10 ans. Les variations sont exprimées en points de base, 100 points de base correspondant à un point de pourcentage.

SELECT
    toString(toYear(date))                                                       AS year,
    round((argMax(yield_2_year,  date) - argMin(yield_2_year,  date)) * 100, 0)  AS change_2y_bps,
    round((argMax(yield_10_year, date) - argMin(yield_10_year, date)) * 100, 0)  AS change_10y_bps
FROM global_markets.treasury_yields
WHERE date >= '2014-01-01'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND yield_2_year > 0
  AND yield_10_year > 0
GROUP BY year
ORDER BY year

En 2014, la variation entre le début et la fin de l’année du rendement à 2 ans a atteint 28 points de base. En 2026, jusqu’au dernier jour disponible dans la période, elle atteignait 81. Certaines années se terminent à quelques dizaines de points de base seulement de leur niveau d’ouverture. D’autres affichent des variations de plusieurs centaines de points de base. Un contrat à deux ans conservé pendant l’une des années les plus mouvementées présente une exposition aux taux qui mérite d’être suivie. Ce n’est pas le cas d’une option hebdomadaire conservée pendant la même année.

Comment les taux d’intérêt se reflètent-ils dans le prix réel des options ?

Deux mécanismes rendent le rho concret. Le premier est le box spread, une combinaison à quatre jambes dont le payoff à l’échéance correspond à une somme fixe, quel que soit le cours de l’action. L’exposition à l’action étant neutralisée, le terme lié aux taux est le seul qui subsiste. Le prix du box spread permet donc d’impliquer un taux d’emprunt ou de placement. Le taux d’emprunt implicite d’un box spread en présente le fonctionnement étape par étape.

Le second mécanisme concerne l’exercice anticipé d’un put profondément dans la monnaie. L’exercice permet de recevoir le strike en espèces immédiatement plutôt qu’à l’échéance. Ces fonds peuvent alors produire des intérêts pendant la durée restante du contrat. Lorsque ces intérêts dépassent la valeur temps restante de l’option, un put de style américain vaut davantage exercé que conservé. Il s’agit, sous une autre forme, d’un effet du rho. Les contrats de style européen ne permettent pas ce choix. Cette différence est présentée dans Options américaines et européennes.

FAQ

Qu’est-ce que le rho dans le trading d’options ?

Le rho mesure la variation du prix d’une option lorsque le taux d’intérêt sans risque varie d’un point de pourcentage. Les calls ont un rho positif et les puts un rho négatif. Les deux augmentent avec le temps restant avant l’expiration.

Le rho des puts est-il positif ou négatif ?

Négatif. Le détenteur d’un put attend de recevoir le strike en espèces. Une hausse du taux d’actualisation réduit la valeur actuelle de ce paiement futur. Le prix du put intègre cette différence sous la forme d’un rho négatif.

Le rho est-il important pour les options à courte échéance ?

Très peu. Dans l’exemple hypothétique ci-dessus, une variation complète de 100 points de base des taux représente environ quatre cents sur une option à 30 jours valorisée 3 $. Le delta, le gamma, le theta et le vega font chacun varier bien davantage un contrat à courte échéance au cours d’une séance normale.

Quelles options ont le rho le plus élevé ?

Les calls de longue échéance dans la monnaie. Le rho augmente avec le nombre d’années restantes et avec la probabilité, selon le modèle, que le strike soit payé. Ces deux paramètres sont proches de leur maximum pour un LEAPS dans la monnaie.

Quelle est la différence entre le rho et le vega ?

Le vega mesure la sensibilité à la volatilité implicite. Le rho mesure la sensibilité au taux d’intérêt. La volatilité implicite peut varier de plusieurs points en une semaine, tandis que le taux évolue plus lentement, comme le montre le graphique annuel ci-dessus.

Chaque graphique est accompagné de la requête SQL exacte utilisée en dessous. Ouvrez-en un, remplacez le ticker ou l’échéance et posez la même question sur le terminal Strasmore.