Что такое rho опциона и как ставка влияет на цену

Показатель rho опциона отражает изменение цены опциона при изменении безрисковой процентной ставки; он выражается как изменение цены на каждый процентный пункт ставки. Для call-опционов rho положителен, для put-опционов — отрицателен. Для 30-дневного опциона «на деньгах» (at-the-money) это наименьшее значение среди всех «греков», тогда как для двухлетних LEAPS оно достаточно велико, чтобы изменить премию на несколько процентов.

Что такое rho опциона и почему для call-опционов он положителен?

Rho входит в число «греков» опциона — показателей чувствительности, каждый из которых измеряет влияние одного параметра. Delta отражает изменение цены базового актива, vega — подразумеваемую волатильность, theta — течение времени, а rho — процентную ставку, которую модель ценообразования использует для дисконтирования денежных потоков в будущем. В статье Объяснение греков опционов подробно рассматриваются остальные показатели.

Знак rho определяется природой call-опциона: это отложенная покупка. Покупатель call-опциона фиксирует цену акций сегодня, а оплачивает их позже — при исполнении или по истечении срока. До этого момента сумма, равная цене исполнения (strike), находится на счете покупателя и приносит процентный доход. Чем дольше срок отсрочки и выше ставка, тем выгоднее такая сделка, и модель оценивает call-опцион дороже. Это и есть положительный rho.

Put-опцион — это зеркальное отражение: отложенная продажа. Держатель put-опциона ожидает получения суммы исполнения в денежном выражении в будущем, а фиксированная сумма, которая поступит позже, стоит меньше при более высокой ставке дисконтирования. Поэтому цена put-опциона имеет отрицательный rho.

Почему rho зависит от времени до экспирации?

Если расписать формулу rho в модели Блэка-Шоулза, она будет представлять собой цену исполнения, умноженную на количество лет до экспирации, коэффициент дисконтирования и вероятность того, что опцион будет исполнен. Именно временной компонент меняется на порядок для разных контрактов на торговом терминале. Один месяц отсрочки платежа стоит примерно одну двадцать четвертую часть от двух лет отсрочки.

Пример с расчетами позволяет оценить масштаб. Используем гипотетические, округленные параметры: акция по 100 долларов, цена исполнения 100 долларов, волатильность 25 процентов, отсутствие дивидендов и начальная ставка 4 процента. Rho указывается на один процентный пункт, а изменение цены показывает эффект от роста ставки на 100 базисных пунктов.

• 30-дневный call: цена около 3,02 доллара, rho около +0,04. После изменения ставки цена составит около 3,06 доллара (дороже на четыре цента, или 1,4 процента премии).
• 30-дневный put: цена около 2,69 доллара, rho около -0,04. После того же изменения цена составит около 2,65 доллара.
• 730-дневный call: цена около 17,68 доллара, rho около +0,96. После того же изменения цена составит около 18,65 доллара (дороже на 97 центов, или 5,5 процента премии).
• 730-дневный put: цена около 9,99 доллара, rho около -0,89. После того же изменения цена составит около 9,13 доллара (дешевле на 86 центов, или 8,6 процента премии).

Цена акции, страйк и волатильность одинаковы. Разница лишь во времени, и rho для двухлетнего call-опциона примерно в 23 раза выше, чем для 30-дневного. На графике ниже показан тот же эффект для реальных контрактов SPY, где средний rho в каждой группе по срокам погашения разделен на среднее значение в группе от 21 до 45 дней.

SELECT
    b.dte_bucket                                AS dte_bucket,
    round(b.call_rho / f.front_call_rho, 2)     AS call_rho_ratio,
    round(b.put_rho  / f.front_put_rho,  2)     AS put_rho_ratio,
    b.contract_count                            AS contract_count
FROM
(
    SELECT
        multiIf(days_to_expiry <=  45, '21-45d',
                days_to_expiry <=  90, '46-90d',
                days_to_expiry <= 180, '91-180d',
                days_to_expiry <= 365, '181-365d',
                days_to_expiry <= 545, '366-545d',
                                       '546-760d')                     AS dte_bucket,
        min(days_to_expiry)                                            AS sort_key,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c'))      AS call_rho,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p'))      AS put_rho,
        count()                                                        AS contract_count
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-05-01'
      AND date <  '2026-08-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 21 AND 760
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
    GROUP BY dte_bucket
    HAVING countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) > 0
       AND countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) > 0
) AS b
CROSS JOIN
(
    SELECT
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) AS front_call_rho,
        avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) AS front_put_rho
    FROM global_markets.options_greeks
    WHERE underlying_symbol = 'SPY'
      AND date >= '2026-05-01'
      AND date <  '2026-08-01'
      AND iv_converged = 1
      AND volume > 0
      AND days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45
      AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.03
) AS f
ORDER BY b.sort_key

Каждая строка отображается как кратное значение к группе ближайших по срокам контрактов, что позволяет исключить влияние единиц измерения модели. Средний rho для call-опционов в группе от 546 до 760 дней составляет 20.26 от значения для группы 21–45 дней, а для put-опционов — 18.12 от среднего значения их собственной группы. Кривая близка к прямой линии относительно оставшегося времени, что и заложено в формулу.

Что происходит с rho по мере приближения срока экспирации LEAPS?

Группы — это лишь моментальный снимок. Отслеживание одного контракта в течение года показывает те же изменения. На графике представлены call-опционы SPY «около денег» с экспирацией в январе 2027 года, которые сравниваются с динамической серией контрактов со сроком 21–45 дней на тот же базовый актив.

SELECT
    toString(toMonday(date))                                       AS week,
    round(avgIf(rho, expiration_date = '2027-01-15'), 3)           AS leaps_call_rho,
    round(avgIf(rho, days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45), 3)         AS front_call_rho
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
  AND startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')
  AND date >= '2025-08-04'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) < 0.05
  AND (expiration_date = '2027-01-15' OR days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45)
GROUP BY week
HAVING countIf(expiration_date = '2027-01-15') > 0
   AND countIf(days_to_expiry BETWEEN 21 AND 45) > 0
ORDER BY week

В первую неделю на графике среднее значение страйков января 2027 года составляет 5.125. К последней неделе, когда до экспирации остается менее шести месяцев, оно составляет 1.789, в то время как значение для серии с коротким сроком в ту же неделю равно 0.274. В этих контрактах изменилось только время до экспирации. Этот паттерн описан в статье как греки опционов меняются со временем, и именно поэтому чувствительность к ставкам впервые проявляется именно в контрактах LEAPS.

Какие страйки обладают наибольшим rho?

Rho меняется в зависимости от вероятности того, что опцион будет исполнен. Глубоко «в деньгах» (in-the-money) call-опцион почти наверняка будет исполнен, и практически вся сумма исполнения считается отложенной, что выводит его rho на максимум. У call-опциона, который глубоко «вне денег» (out-of-the-money), шансы на исполнение малы, поэтому его rho остается низким. На графике ниже долгосрочные контракты SPY сгруппированы по положению страйка относительно цены акции.

SELECT
    multiIf(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.10, 'strike 10%+ below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.05, 'strike 5-10% below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 < -0.02, 'strike 2-5% below',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.02, 'strike within 2%',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.05, 'strike 2-5% above',
            toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1 <  0.10, 'strike 5-10% above',
                                                                              'strike 10%+ above') AS moneyness_bucket,
    round(avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')), 3)  AS call_rho,
    round(avgIf(rho, startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')), 3)  AS put_rho,
    count()                                                              AS contract_count
FROM global_markets.options_greeks
WHERE underlying_symbol = 'SPY'
  AND date >= '2026-05-01'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND iv_converged = 1
  AND volume > 0
  AND days_to_expiry BETWEEN 366 AND 760
  AND abs(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close) - 1) <= 0.20
GROUP BY moneyness_bucket
HAVING countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'c')) > 0
   AND countIf(startsWith(lower(toString(option_type)), 'p')) > 0
ORDER BY min(toFloat64(strike_price) / toFloat64(underlying_close))

В нижней группе, где страйки как минимум на 10 процентов ниже цены акции, средний rho для call-опционов составляет 6.411, а для put-опционов — -2.391. На другом конце, где страйки как минимум на 10 процентов выше цены акции, значение для call составляет 3.433, а для put — -7.572. Две линии пересекают страйки в противоположных направлениях. Эти панели отображают rho в масштабе ежедневной модели расчета, поэтому оценивайте знак и форму, а денежную интерпретацию берите из приведенного выше примера. Глубоко «в деньгах» LEAPS, сочетающие длительный срок и высокую вероятность исполнения, находятся на экстремальных значениях обоих графиков.

Насколько сильно на самом деле меняются процентные ставки?

Rho указывается на процентный пункт, а процентный пункт — это значительный шаг в ставках. На графике измеряется изменение доходности 2-летних и 10-летних казначейских облигаций с начала до конца каждого календарного года в базисных пунктах (100 базисных пунктов равны одному процентному пункту).

SELECT
    toString(toYear(date))                                                       AS year,
    round((argMax(yield_2_year,  date) - argMin(yield_2_year,  date)) * 100, 0)  AS change_2y_bps,
    round((argMax(yield_10_year, date) - argMin(yield_10_year, date)) * 100, 0)  AS change_10y_bps
FROM global_markets.treasury_yields
WHERE date >= '2014-01-01'
  AND date <  '2026-08-01'
  AND yield_2_year > 0
  AND yield_10_year > 0
GROUP BY year
ORDER BY year

В 2014 изменение доходности 2-летних облигаций с начала до конца года составило 28 базисных пунктов. В 2026, по состоянию на последний день в окне, оно составило 81. Некоторые годы на графике заканчиваются с изменением в несколько десятков базисных пунктов, а некоторые — на несколько сотен. Двухлетний контракт, удерживаемый в течение одного из таких волатильных лет, имеет подверженность процентному риску, которую стоит учитывать. Для недельного опциона это неактуально.

Где процентные ставки проявляются в реальных ценах опционов

Есть два случая, когда rho становится ощутимым. Первый — это box spread, комбинация из четырех опционов, выплата по которой при экспирации является фиксированной суммой независимо от цены акции. Поскольку рыночный риск базового актива нейтрализован, остается только процентная составляющая, и цена box spread подразумевает ставку заимствования или кредитования. В статье Подразумеваемая ставка кредитования внутри box spread этот механизм разобран пошагово.

Второй случай — досрочное исполнение глубоко «в деньгах» put-опциона. Исполнение позволяет получить сумму страйка наличными сегодня, а не в конце срока, и эти деньги могут приносить процентный доход в течение оставшегося времени жизни контракта. Как только этот процентный доход превышает оставшуюся временную стоимость опциона, американский put-опцион выгоднее исполнить, чем удерживать. Это rho в чистом виде. Европейские опционы не дают такого выбора, разница между ними описана в статье Американские и европейские опционы.

Часто задаваемые вопросы

Что такое rho в торговле опционами?

Rho измеряет изменение цены опциона при изменении безрисковой процентной ставки на один процентный пункт. Call-опционы имеют положительный rho, put-опционы — отрицательный, и оба показателя растут по мере увеличения времени до экспирации.

Положителен или отрицателен rho для put-опционов?

Отрицателен. Держатель put-опциона ожидает получения суммы исполнения в будущем. Более высокая ставка дисконтирования снижает текущую стоимость этого будущего платежа, и цена put-опциона отражает эту разницу через отрицательный rho.

Важен ли rho для краткосрочных опционов?

Очень мало. В приведенном выше гипотетическом примере изменение ставки на 100 базисных пунктов меняет цену 30-дневного опциона стоимостью 3 доллара примерно на четыре цента. Delta, gamma, theta и vega влияют на краткосрочный контракт в обычную торговую сессию гораздо сильнее.

Какие опционы имеют самый высокий rho?

Долгосрочные call-опционы «в деньгах». Rho масштабируется в зависимости от оставшихся лет и вероятности исполнения страйка, и оба этих показателя близки к максимуму для LEAPS «в деньгах».

Чем rho отличается от vega?

Vega измеряет чувствительность к подразумеваемой волатильности; rho измеряет чувствительность к процентной ставке. Подразумеваемая волатильность может измениться на несколько пунктов за неделю, тогда как ставка движется по более плавной траектории, показанной на годовом графике выше.

Каждый график здесь основан на точном SQL-запросе. Откройте любой из них, замените тикер или дату экспирации и задайте тот же вопрос в терминале Strasmore.