By Matt Connor · 凯利公式 仓位管理 实际回测
基于十年美股日回报数据，衡量全凯利与半凯利策略的实际表现、最大回撤及可行性，揭示理论建议在真实市场中的承受力。
凯利公式是一个用于确定下注规模的公式。输入获胜概率、获胜金额和亏损金额，它会返回能使财富长期增长率最大化的资本比例。约翰·凯利于1956年在贝尔实验室将其作为信息论成果发表，后来被赌徒和交易员采用。本文从基本原理推导该公式，然后衡量其在十年真实每日股票回报数据上的建议，结果发现该建议在实践中难以承受。
凯利准则的实际含义
考虑一个重复进行的赌局：以概率 p 赢得所下注金额的 g 比例，以概率 q 输掉所下注金额的 l 比例，其中 q 等于 1 减去 p。每次重复中，能使资本增长最优的投入比例为：
f* = p / l - q / g
在经典的等额赔率情况下，即赢得的金额等于输掉的金额，g 和 l 都等于 1，公式简化为 f* = p - q。这个差值本身就是优势。一个在等额赔率下胜率为 60% 的赌局，其优势为 20 个百分点，凯利准则建议投入 20% 的资金。
其推导过程是对财富期望对数应用一步微积分。最大化每次下注的平均对数财富，等同于最大化长期序列中的复合增长率，而实现这一目标的投入比例就是上述公式。由此得出两个特性。凯利准则绝不会建议将全部资金投入可能血本无归的赌局，因为零的对数是负无穷。并且，任何不同于 f 的固定比例，如果长期重复，其复合增长速度都会慢于 f。
一个可手动验证的抛硬币例子
本节中的数字是假设的，旨在使计算过程清晰可见。假设一枚硬币正面朝上的概率为 60%，且为等额赔率，起始资金为 1000 美元。
- 每次抛掷投入 20% 的资金。获胜后，资金从 1000 美元增至 1200 美元；亏损后，降至 800 美元。无论顺序如何，一次获胜和一次亏损后，资金剩余 960 美元。
- 每次抛掷投入 40% 的资金。同样的先赢后亏序列，资金从 1000 美元增至 1400 美元，再降至 840 美元。
- 每次抛掷投入全部资金。一次反面朝上将永久终止序列，无论优势有多大。
在 20% 的投入比例下，4% 的往返成本是波动性资本复利增长的代价，而在长期序列中，一个 60/40 的硬币足以多次覆盖这个成本。在 40% 的投入比例下，往返成本为 16%，硬币已无法覆盖：在凯利比例两倍的情况下，增长率大致为零。超过这一点，即使是一个拥有真实、已验证优势的赌局，也无法实现任何增长，这是该公式所蕴含的最有用的事实。
公式对每日股票下注的要求
现在将同样的公式应用于市场。将一只股票的一个交易日视为一次赌局的重复：获胜概率是收盘上涨的交易日的比例，获胜金额是平均上涨日的涨幅，亏损金额是平均下跌日的跌幅。选取 2016 年至 2025 年整整十个日历年的每日收盘数据，涵盖六只知名股票：
每个数字背后的完整 SQL
WITH daily AS (
SELECT ticker,
toDate(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) AS dt,
argMax(toFloat64(close), window_start) AS c
FROM global_markets.delayed_stocks_minute_aggs
WHERE ticker IN ('SPY', 'KO', 'JNJ', 'MSFT', 'NVDA', 'TSLA')
AND window_start >= '2016-01-01 00:00:00'
AND window_start < '2026-01-01 00:00:00'
AND (toHour(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) * 60
+ toMinute(toTimeZone(window_start, 'America/New_York'))) BETWEEN 570 AND 959
GROUP BY ticker, dt
),
steps AS (
SELECT ticker, dt, c,
lagInFrame(c) OVER (PARTITION BY ticker ORDER BY dt
ROWS BETWEEN 1 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS prev
FROM daily
),
rets AS (
SELECT ticker, c / prev - 1 AS ret
FROM steps
WHERE prev > 0 AND c != prev
)
SELECT ticker,
round(100 * countIf(ret > 0) / count(), 1) AS win_rate_pct,
round(100 * avgIf(ret, ret > 0), 2) AS avg_gain_pct,
round(100 * abs(avgIf(ret, ret < 0)), 2) AS avg_loss_pct,
round(countIf(ret > 0) / count() / abs(avgIf(ret, ret < 0))
- countIf(ret < 0) / count() / avgIf(ret, ret > 0), 1) AS full_kelly_x
FROM rets
GROUP BY ticker
HAVING countIf(ret > 0) > 0 AND countIf(ret < 0) > 0
ORDER BY full_kelly_x DESC看前三列，优势似乎微乎其微。胜率接近抛硬币，并且对于面板中的每只股票，平均上涨日和平均下跌日的幅度都相近。SPY 在 55.3% 的交易时段内收盘上涨，平均上涨日涨幅为 0.71%，平均下跌日跌幅为 0.76%。
最后一列才是问题所在。这些微小且近乎平衡的输入值位于公式的分母中，而小分母会产生大结果。该公式为 SPY 返回的比例是资本的 10.1 倍，而 6 只股票中最低的也达到了 2 倍。对每日股票下注应用完整的凯利准则，得出的不是账户的一个百分比，而是对杠杆的要求，这个要求没有经纪商会提供，也没有账户能承受。
权衡的形态
这是理论。下一个面板是实验。取同一十年期间标普500指数跟踪基金的实际每日回报，将每日回报乘以一个固定的下注规模，然后计算复利。下注规模为 1.0 倍代表无杠杆的指数。下注规模为 3.0 倍意味着每天为每一美元资本投入三美元，并每日重新平衡。每一行代表一个完整的十年路径，包括其最终财富以及在此过程中经历的最大峰值到谷底的跌幅。
每个数字背后的完整 SQL
WITH daily AS (
SELECT toDate(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) AS dt,
argMax(toFloat64(close), window_start) AS c
FROM global_markets.delayed_stocks_minute_aggs
WHERE ticker = 'SPY'
AND window_start >= '2016-01-01 00:00:00'
AND window_start < '2026-01-01 00:00:00'
AND (toHour(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) * 60
+ toMinute(toTimeZone(window_start, 'America/New_York'))) BETWEEN 570 AND 959
GROUP BY dt
),
steps AS (
SELECT dt, c,
lagInFrame(c) OVER (ORDER BY dt ROWS BETWEEN 1 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS prev
FROM daily
),
rets AS (
SELECT dt, c / prev - 1 AS ret
FROM steps
WHERE prev > 0
),
sizes AS (
SELECT arrayJoin([0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0, 5.0]) AS bet
),
paths AS (
SELECT bet, dt,
exp(sum(log(greatest(1 + bet * ret, 0.0001)))
OVER (PARTITION BY bet ORDER BY dt
ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW)) AS equity
FROM rets CROSS JOIN sizes
),
peaks AS (
SELECT bet, dt, equity,
max(equity) OVER (PARTITION BY bet ORDER BY dt
ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) AS peak
FROM paths
)
SELECT concat(toString(bet), 'x') AS bet_size,
round(argMax(equity, dt), 2) AS ending_multiple,
round(100 * max(1 - equity / peak), 1) AS max_drawdown_pct
FROM peaks
GROUP BY bet
ORDER BY bet在 0.5x 倍下注规模下，路径结束时财富是起始资本的 1.92 倍，最大跌幅为 18.2%。在 5x 倍下注规模下，同样的每日回报和同样的十年，路径结束时财富是起始资本的 14.35 倍，最大跌幅为 94.5%。
这两列的变化趋势不同，而这正是部分凯利准则的全部教训。随着下注规模的增加，最终财富先上升，然后趋于平缓，最后随着波动性复利的拖累超过额外敞口带来的收益而下降。回撤列则没有这样的转折点。它在 8 行中的每一步都在上升，并且上升速度比财富列曾经达到的速度更快。最优下注规模一半的增长潜力，可以在最优下注规模一半的水平上实现，而所承受的痛苦却小得多。这种不对称性是主张投入少于 f* 的理由，也是半凯利准则存在的原因。
估计是薄弱环节，而非公式本身
对于一个赔率已知的赌局，该公式是精确的。在赌场中，赔率是印好的。在市场中，赔率是根据历史数据估计的，而估计值会波动。以下是针对单一指数跟踪基金，分别对十个日历年中每一年运行与第一个面板相同的计算。
每个数字背后的完整 SQL
WITH daily AS (
SELECT toDate(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) AS dt,
argMax(toFloat64(close), window_start) AS c
FROM global_markets.delayed_stocks_minute_aggs
WHERE ticker = 'SPY'
AND window_start >= '2016-01-01 00:00:00'
AND window_start < '2026-01-01 00:00:00'
AND (toHour(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) * 60
+ toMinute(toTimeZone(window_start, 'America/New_York'))) BETWEEN 570 AND 959
GROUP BY dt
),
steps AS (
SELECT dt, c,
lagInFrame(c) OVER (ORDER BY dt ROWS BETWEEN 1 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS prev
FROM daily
),
rets AS (
SELECT dt, c / prev - 1 AS ret
FROM steps
WHERE prev > 0 AND c != prev
)
SELECT toString(toYear(dt)) AS year,
round(100 * countIf(ret > 0) / count(), 1) AS win_rate_pct,
round(100 * avgIf(ret, ret > 0), 2) AS avg_gain_pct,
round(100 * abs(avgIf(ret, ret < 0)), 2) AS avg_loss_pct,
round(countIf(ret > 0) / count() / abs(avgIf(ret, ret < 0))
- countIf(ret < 0) / count() / avgIf(ret, ret > 0), 1) AS full_kelly_x
FROM rets
GROUP BY year
HAVING countIf(ret > 0) > 0 AND countIf(ret < 0) > 0
ORDER BY year每一行都是对同一个未知量的估计，基于大约 250 个观测值构建。2016 年返回 13.7，胜率为 53.8%。2025 年返回 12.3，胜率为 57.8%。该图表显示了当每个读数都来自单一年份时，10 个对同一个数字的读数之间可能相差多远。
这种离散程度比任何公式的改进都更重要。将你的优势高估一倍，公式会返回大约两倍的下注规模，这将使你处于或超过增长变为负值的临界点。低估你的优势，你会放弃本可以复利增长的机会，但不会面临破产风险。这两种错误并不对称，而错误中代价较小的一方是保守的一方。实际使用凯利准则的从业者倾向于投入一半或四分之一的比例，并将该公式视为一个上限而非目标。
模型不再描述市场的情况
凯利准则假设一个赌局可以以固定的、已知的赔率重复进行，并且每次重复的结果是独立的。市场打破了所有这些假设。赔率是估计的，并且随时间变化。每日回报存在聚集性：平静期之后往往跟着平静期，剧烈波动的日子会成群出现，这使得回撤幅度超出了独立性假设的预测。头寸并非在每个交易日结束时结算，价格跳空会越过赌局本应平仓的价格，而追加保证金的通知则按照经纪商的时间表而非模型的时间表到来。
该公式仍然作为一个边界有其价值。它用一行公式表明，存在一个下注规模，超过它之后，更多的信心反而会产生更少的财富，并且它根据交易员至少可以尝试测量的数量来定位这个边界。这也是同样的逻辑指向分散化的原因：几个部分独立的赌局比一个赌局能更有效地共享相同的总风险预算，这是 集中度风险 背后的算术原理。对于按计划投入资金而非进行离散下注的投资者来说，头寸规模问题由计划本身来回答，这也是 平均成本法 的论据。
常见问题解答
凯利准则的公式是什么？
对于一个以概率 p 赢得所下注金额 g 比例、以概率 q 输掉所下注金额 l 比例的赌局，使资本增长最优的比例是 f = p / l - q / g。在等额赔率情况下，它简化为 f = p - q，即优势本身。
为什么交易员使用半凯利而不是全凯利？
因为在最优比例附近增长接近平缓，而风险却持续上升，所以将下注减半会牺牲少量长期增长，但能大幅减少回撤。估计误差加剧了这一论点：由于高估优势而导致下注规模翻倍，会使其接近增长停止的临界点。
凯利准则适用于股票吗？
它作为算术公式是适用的，但其固定已知赔率和独立结果的假设在市场中并不成立。如上文第一个面板所示，将其天真地应用于每日股票回报，会要求远超任何账户能承受的杠杆。
如果下注超过凯利比例会怎样？
长期增长率会下降。在大约两倍凯利比例时，增长率降至接近零，超过这一点后，即使拥有真实优势的赌局也会导致资本随时间缩水，同时其回撤会持续加深。
凯利准则等同于每笔交易冒 1% 或 2% 的风险吗？
不。固定百分比规则完全忽略了赔率，对每个交易设置都应用相同的数字。凯利准则根据测量到的优势来调整下注规模，这使得它在优势已知时反应更灵敏，在优势是猜测时则更脆弱。
以上每个数字都来自一个可打开、编辑和重新运行的存储查询。在斯特拉斯莫终端上，你可以自行更换股票代码、时间窗口或下注规模网格，并衡量其中的权衡关系。