معيار كيلي حجم الرهان قياس عملي

معيار كيلي هو معادلة تحدد حجم الرهان. أدخل فيها احتمال الفوز، وحجم المكسب، وحجم الخسارة، فتُخرج لك نسبة رأس المال التي تزيد معدل النمو طويل الأجل للثروة إلى أقصى حد. نشر جون كيلي هذه المعادلة في مختبرات بيل عام 1956 كنتيجة لنظرية المعلومات، واعتمدها المقامرون والمتداولون فيما بعد. تشرح هذه الصفحة المعادلة من مبادئها الأساسية، ثم تقيس ما توصي به على مدى عشر سنوات من عوائد الأسهم اليومية الحقيقية، حيث تبين أن التوصية غير قابلة للتطبيق.

ما يقوله معيار كيلي في الواقع

خذ رهانًا متكررًا يربح فيه جزءًا g من المبلغ المراهن به مع احتمال p، ويخسر جزءًا l من المبلغ المراهن به مع احتمال q، حيث q تساوي واحدًا ناقص p. الجزء الأمثل للنمو من رأس المال الذي يجب تخصيصه في كل مرة هو:

f* = p / l - q / g

في الحالة الكلاسيكية للتكافؤ، حيث يعوض الربح ما تكلفه الخسارة، يكون كل من g و l مساويين لـ 1، وتتبسط المعادلة إلى f* = p - q. هذا الفرق هو هامش الربح نفسه. الرهان الذي يفوز بنسبة 60% من الوقت بتكافؤ يحمل هامش ربح قدره 20 نقطة، ويخصص كيلي 20% من رصيد الرهان له.

الاشتقاق هو خطوة واحدة من التفاضل والتكامل تُطبق على اللوغاريتم المتوقع للثروة. تعظيم متوسط لوغاريتم الثروة لكل رهان يعادل تعظيم معدل النمو المركب على مدى سلسلة طويلة، والجزء الذي يحقق ذلك هو المذكور أعلاه. تنتج عن ذلك خاصيتان. لا يراهن كيلي أبدًا برأس المال بالكامل على رهان يمكن أن يخسر كل شيء، لأن لوغاريتم الصفر هو سالب ما لا نهاية. وأي جزء ثابت غير f، إذا تكرر لفترة كافية، سينمو بمعدل أبطأ من f.

رمية عملة يمكنك التحقق منها بنفسك

الأرقام في هذا القسم افتراضية، واختيرت لتجعل الحساب واضحًا. خذ عملة تظهر وجهها بنسبة 60% من الوقت وتدفع بتكافؤ، مع رصيد بداية قدره 1,000 دولار.

• راهن بنسبة 20% من رصيدك في كل رمية. الربح يرفع 1,000 دولار إلى 1,200 دولار؛ الخسارة تخفضه إلى 800 دولار. ربح واحد وخسارة واحدة، بأي ترتيب، يترك 960 دولارًا.
• راهن بنسبة 40% من رصيدك في كل رمية. نفس زوج الربح ثم الخسارة يحول 1,000 دولار إلى 1,400 دولار ثم إلى 840 دولارًا.
• راهن برصيدك بالكامل في كل رمية. ظهور كتاب واحد ينهي السلسلة بشكل دائم، مهما كان هامش الربح.

تكلفة الرحلة ذهابًا وإيابًا البالغة 4% عند الرهان بنسبة 20% هي ثمن مضاعفة رصيد متقلب، وعملة 60/40 تغطيها عدة مرات عبر سلسلة طويلة. عند الرهان بنسبة 40%، تبلغ تكلفة الرحلة ذهابًا وإيابًا 16%، ولم تعد العملة تغطيها: معدل النمو عند ضعف جزء كيلي يصل تقريبًا إلى الصفر. بعد هذه النقطة، الرهان ذو الهامش الحقيقي المؤكد لا ينمو شيئًا على الإطلاق، وهذه هي الحقيقة الأكثر فائدة التي تحملها المعادلة.

ما تطلبه المعادلة في رهان سهم يومي

الآن وجه نفس المعادلة نحو السوق. تعامل مع يوم تداول واحد في سهم واحد كتكرار واحد للرهان: احتمال الفوز هو نسبة الأيام التي أغلقت مرتفعة، وحجم المكسب هو متوسط حركة اليوم الصاعد، وحجم الخسارة هو متوسط حركة اليوم الهابط. عشر سنوات تقويمية كاملة من الإغلاقات اليومية، من 2016 إلى 2025، عبر ستة أسماء مألوفة:

WITH daily AS (
    SELECT ticker,
           toDate(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) AS dt,
           argMax(toFloat64(close), window_start) AS c
    FROM global_markets.delayed_stocks_minute_aggs
    WHERE ticker IN ('SPY', 'KO', 'JNJ', 'MSFT', 'NVDA', 'TSLA')
      AND window_start >= '2016-01-01 00:00:00'
      AND window_start <  '2026-01-01 00:00:00'
      AND (toHour(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) * 60
           + toMinute(toTimeZone(window_start, 'America/New_York'))) BETWEEN 570 AND 959
    GROUP BY ticker, dt
),
steps AS (
    SELECT ticker, dt, c,
           lagInFrame(c) OVER (PARTITION BY ticker ORDER BY dt
                               ROWS BETWEEN 1 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS prev
    FROM daily
),
rets AS (
    SELECT ticker, c / prev - 1 AS ret
    FROM steps
    WHERE prev > 0 AND c != prev
)
SELECT ticker,
       round(100 * countIf(ret > 0) / count(), 1) AS win_rate_pct,
       round(100 * avgIf(ret, ret > 0), 2) AS avg_gain_pct,
       round(100 * abs(avgIf(ret, ret < 0)), 2) AS avg_loss_pct,
       round(countIf(ret > 0) / count() / abs(avgIf(ret, ret < 0))
             - countIf(ret < 0) / count() / avgIf(ret, ret > 0), 1) AS full_kelly_x
FROM rets
GROUP BY ticker
HAVING countIf(ret > 0) > 0 AND countIf(ret < 0) > 0
ORDER BY full_kelly_x DESC

اقرأ الأعمدة الثلاثة الأولى وستبدو هامش الربح ضئيلًا. معدلات الفوز تتجمع حول رمية عملة، ومتوسط اليوم الصاعد ومتوسط اليوم الهابط متقاربان في الحجم لكل اسم في اللوحة. SPY أغلقت مرتفعة في 55.3% من جلساتها، رابحة 0.71% في متوسط اليوم الصاعد مقابل 0.76% في متوسط اليوم الهابط.

العمود الأخير هو حيث تبدأ المشكلة. تلك المدخلات الصغيرة والمتوازنة تقريبًا تقع في مقامات المعادلة، والمقامات الصغيرة تنتج إجابات كبيرة. الجزء الذي تعيده المعادلة لـ SPY هو 10.1 ضعف رأس المال، وأقل 6 اسم لا يزال عند 2 ضعف. كيلي الكامل على رهان سهم يومي ليس نسبة مئوية من الحساب. إنه طلب للرافعة المالية لا يقدمه أي وسيط ولا يتحمله أي حساب.

شكل المفاضلة

هذه هي النظرية. اللوحة التالية هي التجربة. خذ العوائد اليومية الفعلية لمتعقب S&P 500 على نفس السنوات العشر، وقم بقياس عائد كل يوم بحجم رهان ثابت، ثم ضاعف النتيجة. حجم الرهان 1.0x هو المؤشر بدون رافعة مالية. حجم الرهان 3.0x يخصص ثلاثة دولارات لكل دولار من رأس المال، كل يوم، مع إعادة التوازن يوميًا. كل صف هو مسار كامل لعشر سنوات، مع ثروته النهائية وأعمق انخفاض من قمة إلى قاع شهده على طول الطريق.

WITH daily AS (
    SELECT toDate(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) AS dt,
           argMax(toFloat64(close), window_start) AS c
    FROM global_markets.delayed_stocks_minute_aggs
    WHERE ticker = 'SPY'
      AND window_start >= '2016-01-01 00:00:00'
      AND window_start <  '2026-01-01 00:00:00'
      AND (toHour(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) * 60
           + toMinute(toTimeZone(window_start, 'America/New_York'))) BETWEEN 570 AND 959
    GROUP BY dt
),
steps AS (
    SELECT dt, c,
           lagInFrame(c) OVER (ORDER BY dt ROWS BETWEEN 1 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS prev
    FROM daily
),
rets AS (
    SELECT dt, c / prev - 1 AS ret
    FROM steps
    WHERE prev > 0
),
sizes AS (
    SELECT arrayJoin([0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 4.0, 5.0]) AS bet
),
paths AS (
    SELECT bet, dt,
           exp(sum(log(greatest(1 + bet * ret, 0.0001)))
               OVER (PARTITION BY bet ORDER BY dt
                     ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW)) AS equity
    FROM rets CROSS JOIN sizes
),
peaks AS (
    SELECT bet, dt, equity,
           max(equity) OVER (PARTITION BY bet ORDER BY dt
                             ROWS BETWEEN UNBOUNDED PRECEDING AND CURRENT ROW) AS peak
    FROM paths
)
SELECT concat(toString(bet), 'x') AS bet_size,
       round(argMax(equity, dt), 2) AS ending_multiple,
       round(100 * max(1 - equity / peak), 1) AS max_drawdown_pct
FROM peaks
GROUP BY bet
ORDER BY bet

عند 0.5x انتهى المسار عند 1.92 ضعف رأس المال الأولي، مع أسوأ انخفاض قدره 18.2% من أعلى مستوى سابق. عند 5x، نفس العوائد اليومية ونفس العقد، انتهى المسار عند 14.35 ضعف، مع أسوأ انخفاض قدره 94.5%.

العمودان يتحركان بشكل مختلف، وهذا هو الدرس الكامل لكيلي الجزئي. الثروة النهائية ترتفع مع حجم الرهان لفترة، ثم تستوي، ثم تنعطف نحو الأسفل عندما يتغلب سحب مضاعفة التقلبات على التعرض الإضافي. عمود الانخفاض ليس له نقطة تحول كهذه. إنه يرتفع في كل خطوة عبر صفوف 8، ويرتفع بشكل أسرع مما فعله عمود الثروة على الإطلاق. نصف نمو الرهان الأمثل متاح بنصف حجم الرهان الأمثل، بجزء صغير من الألم. هذا التباين هو الحجة للرهان بأقل من f*، وهو السبب في وجود قاعدة نصف كيلي على الإطلاق.

التقدير هو الجزء الضعيف، وليس المعادلة

المعادلة دقيقة لرهان معروفة احتمالاته. في الكازينو، الاحتمالات مطبوعة. في السوق، تُقدر من التاريخ، والتقدير يتذبذب. إليك نفس الحساب كما في اللوحة الأولى، يُجرى بشكل منفصل على كل سنة من السنوات التقويمية العشر لمتعقب مؤشر واحد.

WITH daily AS (
    SELECT toDate(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) AS dt,
           argMax(toFloat64(close), window_start) AS c
    FROM global_markets.delayed_stocks_minute_aggs
    WHERE ticker = 'SPY'
      AND window_start >= '2016-01-01 00:00:00'
      AND window_start <  '2026-01-01 00:00:00'
      AND (toHour(toTimeZone(window_start, 'America/New_York')) * 60
           + toMinute(toTimeZone(window_start, 'America/New_York'))) BETWEEN 570 AND 959
    GROUP BY dt
),
steps AS (
    SELECT dt, c,
           lagInFrame(c) OVER (ORDER BY dt ROWS BETWEEN 1 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS prev
    FROM daily
),
rets AS (
    SELECT dt, c / prev - 1 AS ret
    FROM steps
    WHERE prev > 0 AND c != prev
)
SELECT toString(toYear(dt)) AS year,
       round(100 * countIf(ret > 0) / count(), 1) AS win_rate_pct,
       round(100 * avgIf(ret, ret > 0), 2) AS avg_gain_pct,
       round(100 * abs(avgIf(ret, ret < 0)), 2) AS avg_loss_pct,
       round(countIf(ret > 0) / count() / abs(avgIf(ret, ret < 0))
             - countIf(ret < 0) / count() / avgIf(ret, ret > 0), 1) AS full_kelly_x
FROM rets
GROUP BY year
HAVING countIf(ret > 0) > 0 AND countIf(ret < 0) > 0
ORDER BY year

كل صف هو تقدير لنفس الكمية المجهولة، مبني على حوالي 250 مشاهدة. السنة 2016 أعادت 13.7، بمعدل فوز قدره 53.8%. السنة 2025 أعادت 12.3، بمعدل فوز قدره 57.8%. يوضح الرسم البياني مدى تباعد 10 قراءة لرقم واحد عندما تُستخلص كل منها من سنة واحدة.

هذا التشتت أهم من أي تحسين للمعادلة. إذا بالغت في تقدير هامش ربحك بعامل اثنين، فستعيد المعادلة ضعف حجم الرهان تقريبًا، مما يضعك عند النقطة التي يصبح فيها النمو سالبًا أو يتجاوزها. إذا قللت من تقديره، فستتخلى عن نمو كان بإمكانك مضاعفته، دون خطر الخراب. الخطآن ليسا متماثلين، والجانب الرخيص من عدم التماثل هو الجانب الصغير. الممارسون الذين يستخدمون كيلي على الإطلاق يميلون إلى الرهان بنصفه، أو ربعه، ويعاملون المعادلة كسقف وليس كهدف.

حيث يتوقف النموذج عن وصف السوق

يفترض كيلي رهانًا يمكنك تكراره باحتمالات ثابتة ومعروفة، ونتائج مستقلة من تكرار إلى آخر. السوق يخالف كل ذلك. الاحتمالات تُقدر وتتغير بمرور الوقت. العوائد اليومية تتجمع: فترات الهدوء تتبع فترات الهدوء، والأيام العنيفة تأتي في مجموعات، مما يمدد الانخفاضات إلى ما هو أبعد مما يتوقعه افتراض الاستقلالية. المراكز لا تُصفى في نهاية كل يوم، الفجوات تتجاوز السعر الذي كان سيُغلق عنده الرهان، وطلبات التغطية تأتي وفق جدول الوسيط وليس جدول النموذج.

المعادلة لا تزال تستحق مكانها كحدود. إنها تنص، في سطر واحد، على أن هناك حجم رهان بعده يؤدي المزيد من الاقتناع إلى ثروة أقل، وتحدد هذا الحد من كميات يمكن للمتداول على الأقل محاولة قياسها. هذا هو أيضًا سبب توجيه نفس المنطق نحو التنويع: عدة رهانات مستقلة جزئيًا تشارك نفس ميزانية المخاطر الإجمالية بكفاءة أكبر من رهان واحد، وهو الحساب الأساسي لـ مخاطر التركيز. وبالنسبة للمستثمر الذي يضيف أموالًا وفق جدول زمني بدلاً من تحديد حجم الرهانات المنفصلة، فإن مسألة تحديد حجم المركز تُجاب بواسطة الجدول نفسه، وهي الحالة لـ متوسط تكلفة الدولار.

الأسئلة الشائعة

ما هي صيغة معيار كيلي؟

بالنسبة لرهان يربح جزءًا g من الرهان مع احتمال p ويخسر جزءًا l مع احتمال q، فإن الجزء الأمثل للنمو من رأس المال هو f = p / l - q / g. في حالة التكافؤ، تتبسط إلى f = p - q، وهو هامش الربح نفسه.

لماذا يستخدم المتداولون نصف كيلي بدلاً من كيلي الكامل؟

النمو يكون شبه مسطح بالقرب من المستوى الأمثل بينما تستمر المخاطرة في الارتفاع بعده، لذا فإن خفض الرهان إلى النصف يتخلى عن قدر معتدل من النمو طويل الأجل ويزيل حصة كبيرة من الانخفاض. خطأ التقدير يضاعف الحجة: رهان مضاعف من هامش ربح مبالغ فيه يقع بالقرب من النقطة التي يتوقف عندها النمو.

هل يعمل معيار كيلي مع الأسهم؟

ينطبق كحساب، لكن افتراضاته المتعلقة بالاحتمالات الثابتة المعروفة والنتائج المستقلة لا تنطبق في الأسواق. عند تطبيقه بسذاجة على عوائد الأسهم اليومية، فإنه يطلب رافعة مالية تتجاوز بكثير ما يمكن لأي حساب تحمله، كما يظهر في اللوحة الأولى أعلاه.

ماذا يحدث إذا راهنت بأكثر من جزء كيلي؟

ينخفض معدل النمو طويل الأجل. عند حوالي ضعف جزء كيلي، يصل إلى الصفر تقريبًا، وما بعد ذلك، الرهان ذو الهامش الحقيقي يقلص رأس المال بمرور الوقت بينما تتعمق انخفاضاته.

هل معيار كيلي هو نفسه المخاطرة بنسبة 1% أو 2% لكل صفقة؟

لا. قاعدة النسبة المئوية الثابتة تتجاهل الاحتمالات تمامًا وتطبق نفس الرقم على كل إعداد. كيلي يقيس حجم الرهان بهامش الربح المقاس، مما يجعله أكثر استجابة عندما يكون الهامش معروفًا وأكثر هشاشة عندما يُخمن الهامش.

كل رقم أعلاه يأتي من استعلام مخزن يمكنك فتحه وتحريره وإعادة تشغيله. بدّل الرموز، أو النافذة الزمنية، أو شبكة حجم الرهان، وقس المفاضلة بنفسك على محطة ستراسمور.