पेयर्स ट्रेडिंग और कॉइंटीग्रेशन का विस्तृत विश्लेषण

पेयर्स ट्रेडिंग और कॉइंटीग्रेशन का संबंध

पेयर्स ट्रेडिंग और कॉइंटीग्रेशन एक साथ चलते हैं। यह ट्रेड दो शेयरों की कीमतों के बीच के उस अंतर पर आधारित होता है जो बार-बार एक स्थिर स्तर पर वापस आ जाता है। कॉइंटीग्रेशन वह सांख्यिकीय गुण है जो यह सुनिश्चित करता है कि ऐसा अंतर वास्तव में मौजूद है।

कोरिलेशन (सहसंबंध) कुछ और मापता है। दो शेयरों में उच्च कोरिलेशन हो सकता है, फिर भी वे हमेशा के लिए एक-दूसरे से दूर जा सकते हैं। इसके विपरीत, दो ऐसे शेयर जिनकी दैनिक चालें शायद ही कभी मेल खाती हों, वर्षों तक एक स्थिर अंतर बनाए रख सकते हैं।

0.479 यह पेज मैन्युअल रूप से हेज रेशियो, स्प्रेड और जेड-स्कोर (z score) तैयार करता है। हम वास्तविक क्लोजिंग कीमतों पर इन तीनों का मापन करते हैं, और फिर उतनी ही गहराई से यह विश्लेषण करते हैं कि यह निर्माण प्रक्रिया विफल क्यों हो सकती है।

पेयर्स ट्रेडिंग में कॉइंटीग्रेशन (cointegration) क्या है?

कोरिलेशन (correlation) दो शेयरों की दैनिक प्रतिशत चालों के बीच के घनिष्ठ संबंध को दर्शाता है। इसका मान -1 से +1 के बीच होता है, जहाँ +1 का अर्थ है कि नमूना अवधि के दौरान हर सत्र में दोनों शेयर एक साथ बढ़े और गिरे। यह दोनों कीमतों के बीच की दूरी के बारे में कुछ नहीं बताता।

कॉइंटीग्रेशन उस दूरी के बारे में एक निष्कर्ष है। स्टॉक B की कीमत लें, उसमें से स्टॉक A के एक निश्चित गुणक (multiple) को घटाएं, और देखें कि क्या शेष बचता है। यदि वह शेष श्रृंखला, यानी स्प्रेड (spread), अनियंत्रित रूप से भटकने के बजाय एक सीमित दायरे में रहती है, तो दोनों नाम कॉइंटीग्रेटेड हैं। कीमतें स्वयं कहीं भी जाने के लिए स्वतंत्र हैं, लेकिन उनका संयोजन नहीं।

पाठ्यपुस्तकों में इसके लिए पट्टे (leash) से बंधे कुत्ते का उदाहरण दिया जाता है। चलने वाला व्यक्ति और कुत्ता दोनों सड़क पर अप्रत्याशित रास्ते अपनाते हैं, लेकिन पट्टा उनके बीच की दूरी को सीमित रखता है। कोरिलेशन यह पूछता है कि क्या दोनों एक ही समय पर कदम बढ़ाते हैं। कॉइंटीग्रेशन यह पूछता है कि क्या पट्टा उन्हें जोड़े रखता है।

नीचे दिया गया पैनल वर्ष 2024 और 2025 के दौरान पांच परिचित पेयर्स पर पहले विचार को मापता है। return_corr कॉलम दैनिक प्रतिशत चालों का कोरिलेशन है, जिसका अर्थ आमतौर पर लोग इस शब्द से लेते हैं। price_corr कॉलम कच्चे क्लोजिंग भावों का कोरिलेशन है, एक ऐसी संख्या जो लगभग उन किन्हीं भी दो नामों को बेहतर दिखाती है जो दोनों ऊपर गए हैं।

WITH
    px AS (
        SELECT
            ticker,
            date,
            toFloat64(any(close)) AS close_px
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker IN ('KO', 'PEP', 'HD', 'LOW', 'XOM', 'CVX', 'V', 'MA', 'AAPL', 'MSFT')
          AND date BETWEEN '2024-01-01' AND '2025-12-31'
        GROUP BY ticker, date
    ),
    rets AS (
        SELECT
            ticker,
            date,
            close_px,
            close_px / lagInFrame(close_px) OVER (
                PARTITION BY ticker ORDER BY date
                ROWS BETWEEN 1 PRECEDING AND CURRENT ROW
            ) - 1 AS ret
        FROM px
    )
SELECT
    p.pair                                  AS pair,
    round(corr(a.ret, b.ret), 3)            AS return_corr,
    round(corr(a.close_px, b.close_px), 3)  AS price_corr
FROM
(
    SELECT
        tupleElement(t, 1) AS leg_a,
        tupleElement(t, 2) AS leg_b,
        tupleElement(t, 3) AS pair
    FROM
    (
        SELECT arrayJoin([
            ('KO',   'PEP',  'KO / PEP'),
            ('HD',   'LOW',  'HD / LOW'),
            ('XOM',  'CVX',  'XOM / CVX'),
            ('V',    'MA',   'V / MA'),
            ('AAPL', 'MSFT', 'AAPL / MSFT')
        ]) AS t
    )
) AS p
INNER JOIN rets AS a ON a.ticker = p.leg_a
INNER JOIN rets AS b ON b.ticker = p.leg_b AND b.date = a.date
WHERE isFinite(a.ret) AND isFinite(b.ret)
GROUP BY pair
ORDER BY return_corr DESC

दैनिक चाल के कोरिलेशन के आधार पर रैंक करने पर, HD / LOW पैनल में 0.868 पर सबसे ऊपर है, जबकि उसी विंडो में दोनों मूल्य स्तरों का कोरिलेशन 0.849 मापा गया है। निचली पंक्ति में, AAPL / MSFT का रिटर्न कोरिलेशन 0.479 है, जिसके बगल में मूल्य कोरिलेशन 0.508 है। कोई भी कॉलम उस प्रश्न का उत्तर नहीं देता जो एक पेयर्स ट्रेडर पूछ रहा है। दोनों केवल सह-संचलन (co-movement) को मापते हैं, जबकि ट्रेड को दूरी के माप की आवश्यकता होती है।

हेज अनुपात (hedge ratio) और स्प्रेड (spread) की गणना कैसे करें?

समापन कीमतों (closing prices) की दो सूचियों पर पांच चरण, क्रमबद्ध तरीके से। साधारण Python इसके लिए पर्याप्त है और math एकमात्र इम्पोर्ट है: किसी पैकेज, डेटा वेंडर या नेटवर्क की आवश्यकता नहीं है।

1. प्रत्येक श्रृंखला को केंद्र में लाएं। mean_a = sum(a) / len(a), और सूची b के लिए भी यही प्रक्रिया अपनाएं।
2. हेज अनुपात निर्धारित करें। यह A के मुकाबले B की एक सीधी रेखा का ढलान (slope) है: beta = sum((a[i] - mean_a) * (b[i] - mean_b) for i in range(len(a))) / sum((x - mean_a) ** 2 for x in a)। इसे A की उन इकाइयों की संख्या के रूप में पढ़ें जो B की एक इकाई को संतुलित करती हैं।
3. स्प्रेड बनाएं। spread = [b[i] - beta * a[i] for i in range(len(a))]। एक कॉइनटिग्रेडेटेड (cointegrated) जोड़ी पर यह श्रृंखला ट्रेंड करने के बजाय एक स्तर के आसपास बनी रहती है।
4. एक ट्रेलिंग विंडो (trailing window) लें। w = spread[i - win + 1 : i + 1] के साथ, विंडो का माध्य mu = sum(w) / len(w) है और नमूना मानक विचलन (sample standard deviation) sd = math.sqrt(sum((x - mu) ** 2 for x in w) / (len(w) - 1)) है। ट्रेलिंग का अर्थ है कि विंडो उस दिन समाप्त होती है जिसका मूल्यांकन किया जा रहा है और यह उसके बाद के किसी भी डेटा का उपयोग नहीं करती है।
5. स्कोर करें और प्रिंट करें। z = (spread[i] - mu) / sd, फिर एक एंट्री लाइन प्रिंट करें जब abs(z) > 1.5 और एक एग्जिट लाइन जब abs(z) < 0.5 हो। दो का z-स्कोर स्प्रेड को उसके हालिया औसत से दो मानक विचलन ऊपर रखता है।

इसे चलते हुए देखने के लिए दो हार्ड-कोडेड मूल्य सूचियां पर्याप्त हैं, और 5 का win एक छोटे उदाहरण को समझने योग्य बनाए रखता है। गंभीर कार्य के लिए 63 सत्रों के करीब का उपयोग किया जाता है, जो लगभग एक तिमाही के बराबर है। वे थ्रेशोल्ड, प्रवेश के लिए एक दशमलव पांच और निकास के लिए शून्य दशमलव पांच, एक ट्यूटोरियल से दूसरे में चले आ रहे कन्वेंशन हैं। वे कोई निष्कर्ष नहीं हैं, और नीचे दिए गए पैनलों में किसी भी चीज़ ने उन्हें नहीं चुना है।

वास्तविक कीमतों पर पेयर्स ट्रेडिंग का z-score कैसा दिखता है?

यहाँ दो प्रमुख पेय कंपनियों, KO और PEP पर समान गणना दी गई है। हेज रेशियो केवल 2023 के क्लोजिंग भावों से लिया गया है, और फिर 2024 और 2025 के दौरान स्थिर रहता है, जो कि चार्ट की अवधि है। जिस सैंपल पर आप स्कोरिंग करते हैं, उसी पर स्लोप को फिट करना बैकटेस्टिंग में लुक-अहेड बायस कहलाता है, और फिटिंग विंडो तथा स्कोरिंग विंडो को अलग-अलग रखना इससे बचने का सबसे सरल उपाय है।

WITH
    daily AS (
        SELECT
            date,
            anyIf(toFloat64(close), ticker = 'PEP') AS pep,
            anyIf(toFloat64(close), ticker = 'KO')  AS ko
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker IN ('KO', 'PEP')
          AND date BETWEEN '2023-01-01' AND '2025-12-31'
        GROUP BY date
        HAVING pep > 0 AND ko > 0
    ),
    fitted AS (
        SELECT covarSamp(pep, ko) / varSamp(ko) AS beta
        FROM daily
        WHERE date < '2024-01-01'
    ),
    spread AS (
        SELECT
            daily.date                          AS date,
            daily.pep - fitted.beta * daily.ko  AS spread_usd
        FROM daily
        CROSS JOIN fitted
    ),
    scored AS (
        SELECT
            date,
            (spread_usd - avg(spread_usd) OVER (
                 ORDER BY date ROWS BETWEEN 62 PRECEDING AND CURRENT ROW))
            / stddevSampStable(spread_usd) OVER (
                 ORDER BY date ROWS BETWEEN 62 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS z
        FROM spread
    )
SELECT
    toString(toMonday(date))   AS week,
    round(argMax(z, date), 2)  AS z_score
FROM scored
WHERE date >= '2024-01-01'
  AND isFinite(z)
GROUP BY week
ORDER BY week

यह ट्रेस 105 साप्ताहिक रीडिंग को दर्शाता है। यह विंडो को -1.53 के z-score पर खोलता है और -0.68 पर छोड़ता है। किसी एक बिंदु के बजाय इसके आकार को समझें। जो पेयर रणनीति की धारणा के अनुसार व्यवहार करता है, वह अपने थ्रेशोल्ड को पार करता है, कुछ सप्ताह शून्य की ओर वापस आने में बिताता है, और फिर से पार कर जाता है। जो पेयर मीन-रिवर्टिंग (औसत की ओर लौटना) बंद कर देता है, वह थ्रेशोल्ड के बाहर जाकर रुक जाता है और वहीं बना रहता है, जो चार्ट पर मध्य रेखा से दूर एक लंबी सपाट रेखा की तरह दिखता है।

क्या कॉइनटिग्रेडेटेड स्प्रेड हमेशा वापस लौटता है?

नहीं, और इसे समझने का ईमानदार तरीका यह है कि हर शुरुआती बिंदु के बाद क्या हुआ, उसे मापा जाए। नीचे दिया गया पैनल 2019 से 2025 के अंत तक के प्रत्येक सत्र को उस दिन के z-score के आधार पर वर्गीकृत करता है, और फिर बीस सत्रों के बाद उसी स्प्रेड का औसत z-score रिपोर्ट करता है। यह एक फिटेड स्प्रेड के बजाय मूल्य अनुपात के लॉग (log of the price ratio) का उपयोग करता है, इसलिए बाद में किया गया कोई भी रिग्रेशन विश्लेषण इस चार्ट को प्रभावित नहीं करता है।

WITH
    daily AS (
        SELECT
            date,
            anyIf(toFloat64(close), ticker = 'PEP') AS pep,
            anyIf(toFloat64(close), ticker = 'KO')  AS ko
        FROM global_markets.stocks_daily_aggs
        WHERE ticker IN ('KO', 'PEP')
          AND date BETWEEN '2018-01-01' AND '2025-12-31'
        GROUP BY date
        HAVING pep > 0 AND ko > 0
    ),
    spread AS (
        SELECT
            date,
            log(pep / ko) AS log_ratio
        FROM daily
    ),
    scored AS (
        SELECT
            date,
            (log_ratio - avg(log_ratio) OVER (
                 ORDER BY date ROWS BETWEEN 62 PRECEDING AND CURRENT ROW))
            / stddevSampStable(log_ratio) OVER (
                 ORDER BY date ROWS BETWEEN 62 PRECEDING AND CURRENT ROW) AS z
        FROM spread
    ),
    horizon AS (
        SELECT
            date,
            z,
            leadInFrame(z, 20) OVER (
                ORDER BY date ROWS BETWEEN CURRENT ROW AND 20 FOLLOWING
            ) AS z_fwd
        FROM scored
        WHERE isFinite(z)
    )
SELECT
    multiIf(z < -2, 'z below -2',
            z < -1, 'z -2 to -1',
            z <  0, 'z -1 to 0',
            z <  1, 'z 0 to 1',
            z <  2, 'z 1 to 2',
                    'z above 2')  AS z_bucket,
    round(avg(z), 2)              AS avg_z_start,
    round(avg(z_fwd), 2)          AS avg_z_20d_later,
    count()                       AS episode_count
FROM horizon
WHERE date >= '2019-01-01'
  AND date <= '2025-11-15'
  AND isFinite(z_fwd)
GROUP BY z_bucket
ORDER BY avg_z_start

z below -2 बकेट में शुरू होने वाले सत्रों का उस दिन का औसत -2.42 था, और बीस सत्रों के बाद उसी स्प्रेड का औसत -0.84 रहा, जो कुल 138 सत्रों में देखा गया। दूसरी ओर, z above 2 बकेट 2.64 पर शुरू हुआ और बीस सत्रों के बाद इसका माप 0.92 रहा। दोनों सिरों से शून्य की ओर खिंचने वाला वक्र ही मीन रिवर्जन (mean reversion) का आकार है।

इसे काउंट कॉलम को ध्यान में रखते हुए पढ़ें। बाहरी बकेट में सबसे कम सत्र होते हैं, और एक बकेट के भीतर के सत्र आपस में काफी ओवरलैप करते हैं, इसलिए कुछ लंबी अवधि की स्ट्रेच ही अधिकांश पंक्तियों का आधार बनती हैं। एक औसत किसी भी एकल प्रविष्टि के बारे में कोई वादा नहीं होता है।

पेयर्स ट्रेडिंग काम करना क्यों बंद कर देती है?

हेज रेशियो स्थिर नहीं होता है। इसे प्रत्येक कैलेंडर वर्ष पर दोबारा फिट करने पर यह बदल जाता है।

WITH daily AS (
    SELECT
        date,
        anyIf(toFloat64(close), ticker = 'PEP') AS pep,
        anyIf(toFloat64(close), ticker = 'KO')  AS ko,
        anyIf(toFloat64(close), ticker = 'LOW') AS lowes,
        anyIf(toFloat64(close), ticker = 'HD')  AS hd
    FROM global_markets.stocks_daily_aggs
    WHERE ticker IN ('KO', 'PEP', 'HD', 'LOW')
      AND date BETWEEN '2019-01-01' AND '2025-12-31'
    GROUP BY date
    HAVING ko > 0 AND pep > 0 AND hd > 0 AND lowes > 0
)
SELECT
    toYear(date)                                  AS year,
    round(covarSamp(pep, ko) / varSamp(ko), 3)    AS pep_on_ko_beta,
    round(covarSamp(lowes, hd) / varSamp(hd), 3)  AS lowes_on_hd_beta
FROM daily
GROUP BY year
ORDER BY year

PEP का KO पर ढलान (slope) 2.338 के दौरान 2019 और -0.543 के दौरान 2025 पर मापा गया, जिसमें तुलना के लिए दूसरा सेक्टर पेयर भी शामिल है। एक बैकटेस्ट जो पूरे इतिहास में एक ही ढलान को फिट करता है और पहले दिन से ही ट्रेड करता है, वह हर शुरुआती ट्रेड को ऐसी संख्या देता है जिसे उस समय कोई भी होल्ड नहीं कर सकता था। इसका समाधान सरल और प्रभावी है: इसे एक ट्रेलिंग विंडो पर दोबारा फिट करें, और प्रत्येक दिन को उस दिन उपलब्ध मापदंडों के साथ स्कोर करें। एक पुनरुत्पादनीय बैकटेस्ट उस अनुशासन को किसी अन्य व्यक्ति द्वारा जांचने योग्य बनाता है।

कॉर्पोरेट कार्रवाइयां रातों-रात एक लेग (leg) को बदल देती हैं। एक चार-के-बदले-एक (4-for-1) स्प्लिट एक शेयर को चार में बदल देता है और उद्धृत मूल्य को एक-चौथाई कर देता है, और उस तारीख पर बिना समायोजित कीमतों पर गणना किया गया स्प्रेड ऐसे स्तर पर पहुंच जाता है जिस पर कभी ट्रेड नहीं हुआ। विलय, स्पिन-ऑफ और इंडेक्स में बदलाव इसी तरह की शांत प्रक्रियाएं करते हैं। स्प्लिट-एडजस्टेड प्राइस हिस्ट्री के साथ शुरुआत करें, और ध्यान दें कि एक सिंबल को पूरी तरह से अलग कंपनी को फिर से सौंपा जा सकता है, जो कि टिकर सिंबल के डेटासेट को खराब करने का कारण है।

एक ब्रेक और एक अवसर घटित होते समय एक जैसे दिखते हैं। किसी पेयर द्वारा अब तक प्रिंट किया गया सबसे व्यापक z-score या तो उसके द्वारा प्रदान किया गया सबसे अच्छा प्रवेश बिंदु है या फिर उस संबंध का पहला सप्ताह है जो समाप्त हो चुका है। दोनों ही उस दिन एक खिंचे हुए स्प्रेड की तरह दिखते हैं। साइजिंग वह भार उठाती है जो सांख्यिकी नहीं उठा सकती: केली क्राइटेरियन पोजीशन साइजिंग और वोलैटिलिटी टारगेटिंग पोजीशन साइजिंग दो ऐसे फ्रेमवर्क हैं जो यह तय करते हैं कि एक स्प्रेड को खाते का कितना हिस्सा स्थानांतरित करने की अनुमति है, और अधिकतम ड्राडाउन यह मापता है कि माध्य (mean) के गलत पक्ष पर एक लंबा खिंचाव इक्विटी कर्व के साथ क्या करता है।

एक रोलिंग z-score कॉइनटेग्रेशन टेस्ट नहीं है। औपचारिक परीक्षण मौजूद हैं। Engle-Granger प्रक्रिया रिग्रेशन चलाती है, फिर बचे हुए स्प्रेड का स्टेशनैरिटी के लिए परीक्षण करती है, और Johansen टेस्ट इस विचार को दो नामों से आगे बढ़ाता है। एक z-score उन गुणों को मान लेता है जिनकी वे परीक्षण जांच करते हैं, और यह बिना किसी स्थिर माध्य वाले स्प्रेड पर भी खुशी-खुशी एक बड़ी संख्या प्रिंट कर देगा, क्योंकि एक ट्रेंडिंग सीरीज हमेशा अपने ट्रेलिंग औसत से काफी दूर रहती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सहसंबंध (correlation) और सह-एकीकरण (cointegration) में क्या अंतर है?

सहसंबंध यह मापता है कि क्या दो शेयर एक ही दिन और एक ही दिशा में चलते हैं, जिसे -1 से +1 के पैमाने पर मापा जाता है। सह-एकीकरण यह मापता है कि क्या उनकी कीमतों के बीच की दूरी एक स्थिर दायरे में बनी रहती है। एक जोड़ी पहले पैमाने पर उच्च स्कोर कर सकती है और दूसरे में विफल हो सकती है, जो कि आमतौर पर वह कारण है जिसकी वजह से सहसंबंध स्क्रीन ऐसी जोड़ियां दिखाती है जो बाद में एक-दूसरे से दूर हो जाती हैं।

पेयर्स ट्रेडिंग में हेज रेशियो (hedge ratio) की गणना कैसे की जाती है?

एक शेयर की कीमत को दूसरे के मुकाबले एक सीधी रेखा पर फिट करें और उसका ढलान (slope) निकालें। वह ढलान पहले शेयर की इकाइयों की वह संख्या है जो दूसरे शेयर की एक इकाई की भरपाई करती है। यह एक परिवर्तनशील मात्रा है, इसलिए अधिकांश कार्यान्वयन इसे पूरे नमूने पर एक बार करने के बजाय एक ट्रेलिंग विंडो (trailing window) पर फिर से फिट करते हैं।

पेयर्स ट्रेडर्स प्रवेश और निकास के लिए किस Z-score का उपयोग करते हैं?

ट्यूटोरियल उदाहरण आमतौर पर ट्रेलिंग माध्य (trailing mean) से 1.5 से 2 मानक विचलन (standard deviations) के आसपास प्रवेश करते हैं और 0.5 के करीब निकास करते हैं। ये संख्याएं मापे गए इष्टतम मानों के बजाय पुराने लेखों से ली गई परंपराएं हैं, और इन्हें बदलने से ट्रेडों की संख्या और प्रत्येक ट्रेड को कितनी देर तक रखा जाता है, दोनों बदल जाते हैं।

क्या दो शेयर कम सहसंबंध के साथ सह-एकीकृत हो सकते हैं?

हाँ। सहसंबंध की गणना दैनिक परिवर्तनों पर की जाती है और सह-एकीकरण की गणना अंतर के स्तर पर, इसलिए दो ऐसे नाम जिनकी दैनिक चालें शायद ही कभी मेल खाती हों, वे भी लंबी अवधि में एक स्थिर दूरी बनाए रख सकते हैं। इसका उल्टा भी होता है: उच्च दैनिक सहसंबंध के साथ-साथ एक ऐसा अंतर जो साल-दर-साल बढ़ता जाता है।

एक सह-एकीकृत जोड़ी काम करना क्यों बंद कर देती है?

अंतर को एक साथ रखने वाली कड़ी बदल सकती है: एक विलय, एक स्पिन-ऑफ, किसी कंपनी के बिजनेस मिक्स में बदलाव, या इंडेक्स में बदलाव जो यह बदल दे कि शेयर का मालिक कौन है। ब्रेक से पहले के दिनों के आंकड़े सामान्य रिवर्जन (reversion) से पहले के दिनों के समान ही दिखते हैं, और यही वह हिस्सा है जिसे अनुमान लगाने के बजाय जोखिम प्रबंधन (sizing) के जरिए नियंत्रित किया जाना चाहिए।

यहाँ प्रत्येक पैनल के साथ सटीक SQL दिया गया है, इसलिए विंडो, फिट अवधि और बकेट की सीमाएं सभी दिखाई देती हैं। जिस जोड़ी को आप ट्रैक करते हैं, उस पर वही स्प्रेड और Z-score चलाने के लिए, Strasmore टर्मिनल पर सादे अंग्रेजी में प्रश्न पूछें।